Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHƯƠNG GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN BÀI LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY Mục tiêu Kiến thức + Nhận biết cung dây cung + Trình bày định lí mối quan hệ cung dây cung Kĩ + Biết cách chuyển toán so sánh hai cung sang toán so sánh hai dây cung ngược lại + Biết cách vận dụng định lí mối quan hệ cung dây cung để chứng minh tốn hình học Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Với hai cung nhỏ đường trịn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây b) Hai dây căng hai cung Định lí AB CD AB CD Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn b) Dây lớn căng cung lớn AB CD AB CD Bổ sung a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song AB∥ CD AC BD b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (khơng qua tâm) qua điểm cung bị căng dây c) Trong đường trịn, đường kính qua AK KB HA HB điểm cung vng góc với AK KB OH ⊥ AB dây căng cung ngược lại Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA SO SÁNH DÂY VÀ CUNG CUNG BỊ CHẮN GIỮA HAI DÂY SONG SONG ĐƯỜNG KÍNH ĐI QUA ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG AK KB HA HB AK KB OH AB II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai cung Phương pháp giải Để giải toán chứng minh hai cung Ví dụ: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Từ nhau, cần nắm định nghĩa góc tâm kết A B vẽ hai dây cung AC BD song song với hợp với liên hệ cung dây để tìm Chứng minh AC BD góc chắn cung Hướng dẫn giải Xét ACB , ADB : ADB BCD 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ABD BAC (2 góc so le trong), cạnh AB chung Trang Suy ACB BDA AC BD Ví dụ mẫu Ví dụ Cho O , hai dây AB, CD song song với không qua tâm sđ AC Chứng minh : sđ BD Hướng dẫn giải Kẻ đường kính EF ∥ AB∥ CD Trường hợp 1: AB CD phía so với EF Ta có: OAB (vì OAB cân O, OBA OA OB R ) Lại có: OAB AOE ; OBA BOF (hai góc so le EF ∥ AB ) Do AOE BOF (1) Tương tự: OCD (vì OCD cân O, ODC OC OD R ) Lại có: OCD ; ODC COE DOF (hai góc so le EF ∥ CD ) Do COE (2) DOF Từ (1) (2) suy AOC BOD sđ AC Vậy sđ BD Trường hợp 2: AB CD khác phía so với EF Chứng minh tương tự Ví dụ Cho đường trịn O đường kính AB cung AC có số đo nhỏ 90 Vẽ dây CD vng góc với AB dây DT song song với AB Chứng minh AOC BOT Trang Hướng dẫn giải Gọi N trung điểm CT CDT có: NC ND NT (tính chất tam giác vng) Lại có: OC OD OT (cùng bán kính) Do N trùng O hay ba điểm C; O; T thẳng hàng Khi đó: AOC BOT (hai góc đối đỉnh) Xét AOC , BOT có OC OA OB OT (cùng bán kính) AOC BOT Vậy AOC BOT (c.g.c) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho hai đường tròn O O cắt hai điểm A B Kẻ đường kính AOC, AOD Gọi E giao điểm thứ hai AC với đường tròn O , khác điểm A a) So sánh cung nhỏ BC, BD b) Chứng minh B điểm EBD Câu Cho đường tròn O đường kính MN Trên nửa đường trịn lấy hai điểm C, D Kẻ CH ⊥ MN , CH cắt O điểm thứ hai E Kẻ MK ⊥ CD , MK cắt O điểm thứ hai F Chứng minh rằng: sđ DN a) sđ CF b) DE BF Bài tập nâng cao Câu Vẽ phía ngồi tam giác ABC nửa đường trịn đường kính BC Trên nửa đường trịn DE EC Các tia AD, AE cắt cạnh BC M N lấy hai điểm D E cho BD Chứng minh BM MN NC Câu Chứng minh đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Mệnh đề đảo có không? Hãy nêu điều kiện để mệnh đề đảo Câu Cho đường tròn O đường kính AB, dây EF khơng cắt đường kính AB (F nằm AE ) Gọi I, K chân đường vng góc kẻ từ A B đến EF Chứng minh KE IF Trang Câu a) Điểm B nằm đường tròn đường kính AC nằm đường trịn đường kính AD nên ABC ABD 90 ABC ABD (ch – cgv) BC BD BD Đường tròn O O nhau, suy BC b) Điểm E nằm đường trịn đường kính AD nên AED 90 Xét ECD vng E, có EB đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên EB BD BD , tức B điểm cung Suy EB EBD Câu a) Kéo dài MF cắt CD K Ta có CD∥ FN (do vng góc với MK) sđ DN Suy sđ CF (hai cung bị chắn hai dây song song nhau) b) Ta có: CH ⊥ MN HC HE (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Suy CNE cân N (do đường trung tuyến đồng thời đường cao) sđ NE CN NE sđ CN sđ DN Mặt khác sđ CF (chứng minh trên) sđ CF sđ NE sđ DN sđ CN DF NE (liên hệ cung sđ NE sđ DF dây) Trang Câu Xét OBD có OB OD R BOD 60 (vì sđ 60 ) BD Vậy OBD đều, nên OBD 60 Xét hai tam giác BMD AMC có: M (hai góc đối đỉnh), MBD MCA M 60 Do đó: BMD ∽ CMA (g.g) BM BD CM CA Mà BD OB BC AC BM BM 2 CM BM CM Mà BM MC BC BM Chứng minh tương tự: CN BC BC BM MN NC Câu +) Xét đường tròn O , đường kính IK qua điểm cung AB IB IA IB Ta có: IA Mà OA OB R IO đường trung trực đoạn thẳng AB Gọi H IK AB HA HB +) Mệnh đề đảo: Nếu đường kính qua trung điểm dây căng cung qua điểm cung Xét trường hợp dây AB không qua O: OAB cân O OA OB Khi đó, OH đường trung tuyến HA HB nên đồng thời đường phân giác AOB AOI BOI AI BI Trường hợp AB đường kính mệnh đề đảo khơng Do cần bổ sung điều kiện dây AB khơng qua O để mệnh đề đảo Trang Câu Gọi H trung điểm EF Thế OH ⊥ EF (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Ta có: AI ⊥ EF ; BK ⊥ EF AI ∥ BK (quan hệ vuông góc song song) Do đó: AIKB hình thang Mà hình thang AIKB có OH ∥ AI ∥ BK OA OB nên HI HK (1) (tính chất đường trung bình hình thang) Lại có HE HF (2) Từ (1) (2) HI HF HK HE , hay KE IF Dạng 2: Chứng minh hai cung không Phương pháp giải Để giải toán chứng minh hai cung Ví dụ Cho đường trịn O đường kính AB khơng nhau, cần vận dụng thành thạo mối đường trịn O đường kính AO Các điểm C, D liên hệ cung dây, kết hợp với định lý Py-ta-go, Ta-let,… tìm góc chắn thuộc đường trịn cung khơng tính độ lớn cung O cho B CD BD BC Các dây cung AC AD cắt đường tròn O theo thứ tự E F Hãy: a) So sánh độ dài đoạn thẳng OE OF b) So sánh số đo cung AE AF đường tròn O Hướng dẫn giải a) Ta có: OE OA OO AO nên AEO Trang vng E (tính chất tam giác vng) Khi OE ⊥ AC nên E trung điểm AC (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Do đó: OE đường trung bình ABC nên OE BC Tương tự OF DB BD nên OE OF Mà BC BD BC b) Theo chứng minh ta có: AOE AOF vng nên AE AO OE ; AF AO OF Mà OE OF AE AF AE AF Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ đường vng góc OH, OK với BC H BC , K BD Hãy: a) So sánh độ dài đoạn thẳng OH OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC Hướng dẫn giải a) Trong tam giác ABC ta có BC BA AC (bất đẳng thức tam giác) Mà AC AD BC BA AD BD Mà OH ⊥ BC ; OK ⊥ BD OH OK (Liên hệ dây cung khoảng cách đến tâm) b) Ta có BC BD (chứng minh trên) nên suy BD (liên hệ cung dây) BC Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho ABC cân A nội tiếp đường tròn O Biết A 50 , so sánh cung nhỏ AB, AC BC Trang Câu Cho đường tròn O Trên dây cung AB, lấy hai điểm C, D cho AC BD CD Kéo dài OC, EF OD cắt O E, F Chứng minh AE FB Bài tập nâng cao Câu Cho đường tròn O hai dây AB, CD song song với Gọi I, K trung điểm AB, CD Chứng minh I, O, K thẳng hàng Câu Giả sử ABC tam giác nhọn có đỉnh thuộc đường tròn O Đường cao AH cắt đường tròn O D Kẻ đường kính AE đường trịn O Chứng minh rằng: Tứ giác BCED hình thang cân Câu Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M, N hai điểm bên hình vng Chứng minh MN a LỜI GIẢI Câu C 180 50 65 nên A , suy Ta có: B B C AC AB BC Do AC AB BC Câu OBA +) AOB cân O OA OB OAB Mà AO BO, AC BD nên AOC BOD (c.g.c) AOC BOD AE FB nên AE FB +) Ta có D nằm đường trịn nên AO DO Gọi C trung điểm OA Ta có CC ' đường trung bình AOD CC OD AO CO COD ; C O C (so le 2 trong) CO Xét OCC có: CC C O AOC C EF Vậy AE FB Trang 10 Câu Gọi MN đường kính qua tâm O MN ⊥ AB Dễ thấy MN ⊥ CD (quan hệ vng góc song song) MN ⊥ AB MN qua I, với I trung điểm AB (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Tương tự MN ⊥ CD MN qua K, với K trung điểm CD (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Suy I, K, O thẳng hàng (Vì nằm MN) Câu Xét ADE có OA OD OE R (ba điểm nằm đường tròn) OD AE ADE vuông D (trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh đó) Dễ thấy AD ⊥ DE ; AD ⊥ BC DE ∥ BC nên BDEC hình thang CD BE CD Từ ta có: BE (cung bị chắn hai dây song song nhau) BDEC hình thang cân Câu ABCD hình vng, gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD Ta có OA OB OC OD AC (tính chất hình vng) AC a (định lý Py-ta-go) AC a Vẽ đường trịn O , bán kính R 2 Vẽ dây cung M N đường tròn tâm O qua M, N hai điểm bên hình vng Ta có MN M N Ta lại có M N AC (trong đường trịn đường kính dây cung lớn nhất) Mà AC a nên MN a (điều phải chứng minh) Trang 11