Bài 2 liên hệ giữa cung và dây

CHƯƠNG GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN BÀI LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết cung dây cung + Trình bày định lí mối quan hệ cung dây cung  Kĩ + Biết cách chuyển toán so sánh hai cung sang toán so sánh hai dây cung ngược lại + Biết cách vận dụng định lí mối quan hệ cung dây cung để chứng minh tốn hình học Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Với hai cung nhỏ đường trịn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây b) Hai dây căng hai cung Định lí AB CD   AB CD Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn b) Dây lớn căng cung lớn AB  CD   AB  CD Bổ sung a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song  AB∥ CD  AC BD b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (khơng qua tâm) qua điểm cung bị căng dây c) Trong đường trịn, đường kính qua AK KB   HA HB điểm cung vng góc với AK KB   OH ⊥ AB dây căng cung ngược lại Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA SO SÁNH DÂY VÀ CUNG CUNG BỊ CHẮN GIỮA HAI DÂY SONG SONG ĐƯỜNG KÍNH ĐI QUA ĐIỂM CHÍNH GIỮA CUNG AK KB   HA HB AK KB   OH  AB II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai cung Phương pháp giải Để giải toán chứng minh hai cung Ví dụ: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Từ nhau, cần nắm định nghĩa góc tâm kết A B vẽ hai dây cung AC BD song song với hợp với liên hệ cung dây để tìm Chứng minh AC BD góc chắn cung Hướng dẫn giải  Xét ACB , ADB : ADB BCD 90 (góc nội  tiếp chắn nửa đường trịn) ABD BAC (2 góc so le trong), cạnh AB chung Trang Suy ACB BDA  AC BD Ví dụ mẫu Ví dụ Cho  O  , hai dây AB, CD song song với không qua tâm  sđ AC Chứng minh : sđ BD Hướng dẫn giải Kẻ đường kính EF ∥ AB∥ CD Trường hợp 1: AB CD phía so với EF   Ta có: OAB (vì OAB cân O, OBA OA OB R )    Lại có: OAB  AOE ; OBA BOF (hai góc so le EF ∥ AB )  Do AOE BOF (1)   Tương tự: OCD (vì OCD cân O, ODC OC OD R )     Lại có: OCD ; ODC COE DOF (hai góc so le EF ∥ CD )   Do COE (2) DOF  Từ (1) (2) suy AOC BOD  sđ AC Vậy sđ BD Trường hợp 2: AB CD khác phía so với EF Chứng minh tương tự Ví dụ Cho đường trịn  O  đường kính AB cung AC có số đo nhỏ 90 Vẽ dây CD vng góc với AB dây DT song song với AB Chứng minh AOC BOT Trang Hướng dẫn giải Gọi N trung điểm CT CDT có: NC  ND  NT (tính chất tam giác vng) Lại có: OC OD OT (cùng bán kính) Do N trùng O hay ba điểm C; O; T thẳng hàng  Khi đó: AOC BOT (hai góc đối đỉnh) Xét AOC , BOT có OC OA OB OT  (cùng bán kính) AOC BOT Vậy AOC BOT (c.g.c) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho hai đường tròn  O   O cắt hai điểm A B Kẻ đường kính AOC, AOD Gọi E giao điểm thứ hai AC với đường tròn  O , khác điểm A a) So sánh cung nhỏ BC, BD  b) Chứng minh B điểm EBD Câu Cho đường tròn  O  đường kính MN Trên nửa đường trịn lấy hai điểm C, D Kẻ CH ⊥ MN , CH cắt  O  điểm thứ hai E Kẻ MK ⊥ CD , MK cắt  O  điểm thứ hai F Chứng minh rằng:   sđ DN  a) sđ CF b) DE BF Bài tập nâng cao Câu Vẽ phía ngồi tam giác ABC nửa đường trịn đường kính BC Trên nửa đường trịn  DE  EC  Các tia AD, AE cắt cạnh BC M N lấy hai điểm D E cho BD Chứng minh BM MN  NC Câu Chứng minh đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Mệnh đề đảo có không? Hãy nêu điều kiện để mệnh đề đảo Câu Cho đường tròn  O  đường kính AB, dây EF khơng cắt đường kính AB (F nằm AE ) Gọi I, K chân đường vng góc kẻ từ A B đến EF Chứng minh KE IF Trang Câu a) Điểm B nằm đường tròn đường kính AC nằm đường trịn đường kính AD nên ABC  ABD 90  ABC ABD (ch – cgv)  BC  BD   BD  Đường tròn  O   O  nhau, suy BC b) Điểm E nằm đường trịn đường kính AD nên AED 90 Xét ECD vng E, có EB đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên EB  BD   BD  , tức B điểm cung Suy EB  EBD Câu a) Kéo dài MF cắt CD K Ta có CD∥ FN (do vng góc với MK)   sđ DN  Suy sđ CF (hai cung bị chắn hai dây song song nhau) b) Ta có: CH ⊥ MN  HC  HE (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Suy CNE cân N (do đường trung tuyến đồng thời đường cao)   sđ NE   CN  NE  sđ CN   sđ DN  Mặt khác sđ CF (chứng minh trên)   sđ CF  sđ NE   sđ DN   sđ CN   DF  NE (liên hệ cung   sđ NE  sđ DF dây) Trang Câu  Xét OBD có OB OD   R  BOD 60 (vì sđ  60 ) BD  Vậy OBD đều, nên OBD 60 Xét hai tam giác BMD AMC có:    M  (hai góc đối đỉnh), MBD MCA M  60  Do đó: BMD ∽ CMA (g.g)  BM BD  CM CA Mà BD OB  BC AC BM BM      2 CM BM  CM Mà BM  MC  BC  BM  Chứng minh tương tự: CN  BC BC  BM  MN  NC Câu +) Xét đường tròn  O  , đường kính IK qua điểm cung AB   IB   IA  IB Ta có: IA Mà OA OB   R   IO đường trung trực đoạn thẳng AB Gọi H  IK  AB  HA  HB +) Mệnh đề đảo: Nếu đường kính qua trung điểm dây căng cung qua điểm cung Xét trường hợp dây AB không qua O: OAB cân O  OA OB  Khi đó, OH đường trung tuyến  HA  HB  nên đồng thời đường phân giác AOB  AOI  BOI    AI BI Trường hợp AB đường kính mệnh đề đảo khơng Do cần bổ sung điều kiện dây AB khơng qua O để mệnh đề đảo Trang Câu Gọi H trung điểm EF Thế OH ⊥ EF (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Ta có: AI ⊥ EF ; BK ⊥ EF  AI ∥ BK (quan hệ vuông góc song song) Do đó: AIKB hình thang Mà hình thang AIKB có OH ∥ AI ∥ BK OA OB nên HI  HK (1) (tính chất đường trung bình hình thang) Lại có HE  HF (2) Từ (1) (2)  HI  HF  HK  HE , hay KE  IF Dạng 2: Chứng minh hai cung không Phương pháp giải Để giải toán chứng minh hai cung Ví dụ Cho đường trịn  O  đường kính AB khơng nhau, cần vận dụng thành thạo mối đường trịn  O đường kính AO Các điểm C, D liên hệ cung dây, kết hợp với định lý Py-ta-go, Ta-let,… tìm góc chắn thuộc đường trịn cung khơng tính độ lớn cung  O  cho B  CD   BD  BC Các dây cung AC AD cắt đường tròn  O theo thứ tự E F Hãy: a) So sánh độ dài đoạn thẳng OE OF b) So sánh số đo cung AE AF đường tròn  O Hướng dẫn giải a) Ta có: OE OA OO  AO nên AEO Trang vng E (tính chất tam giác vng) Khi OE ⊥ AC nên E trung điểm AC (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Do đó: OE đường trung bình ABC nên OE  BC Tương tự OF  DB   BD  nên OE  OF Mà BC  BD BC b) Theo chứng minh ta có: AOE AOF vng nên AE  AO  OE ; AF  AO  OF Mà OE  OF  AE  AF  AE  AF Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ đường vng góc OH, OK với BC  H  BC , K  BD  Hãy: a) So sánh độ dài đoạn thẳng OH OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC Hướng dẫn giải a) Trong tam giác ABC ta có BC  BA  AC (bất đẳng thức tam giác) Mà AC  AD  BC  BA  AD BD Mà OH ⊥ BC ; OK ⊥ BD  OH  OK (Liên hệ dây cung khoảng cách đến tâm) b) Ta có BC  BD (chứng minh trên) nên suy   BD  (liên hệ cung dây) BC Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho ABC cân A nội tiếp đường tròn  O  Biết A 50 , so sánh cung nhỏ AB, AC BC Trang Câu Cho đường tròn  O  Trên dây cung AB, lấy hai điểm C, D cho AC BD CD Kéo dài OC,   EF  OD cắt  O  E, F Chứng minh AE FB Bài tập nâng cao Câu Cho đường tròn  O  hai dây AB, CD song song với Gọi I, K trung điểm AB, CD Chứng minh I, O, K thẳng hàng Câu Giả sử ABC tam giác nhọn có đỉnh thuộc đường tròn  O  Đường cao AH cắt đường tròn  O D Kẻ đường kính AE đường trịn  O  Chứng minh rằng: Tứ giác BCED hình thang cân Câu Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M, N hai điểm bên hình vng Chứng minh MN a LỜI GIẢI Câu  C  180  50 65 nên    A , suy Ta có: B B C AC  AB  BC  Do AC  AB  BC Câu   OBA +) AOB cân O  OA OB   OAB Mà AO  BO, AC  BD nên AOC BOD (c.g.c)    AOC  BOD  AE  FB nên AE  FB +) Ta có D nằm đường trịn nên AO  DO Gọi C  trung điểm OA Ta có CC ' đường trung bình AOD  CC   OD AO  CO COD  ; C O  C (so le 2 trong)  CO Xét OCC  có: CC   C O  AOC  C   EF  Vậy AE  FB Trang 10 Câu Gọi MN đường kính qua tâm O MN ⊥ AB Dễ thấy MN ⊥ CD (quan hệ vng góc song song) MN ⊥ AB  MN qua I, với I trung điểm AB (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Tương tự MN ⊥ CD  MN qua K, với K trung điểm CD (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Suy I, K, O thẳng hàng (Vì nằm MN) Câu Xét ADE có OA OD OE  R (ba điểm nằm đường tròn)  OD  AE  ADE vuông D (trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh đó) Dễ thấy AD ⊥ DE ; AD ⊥ BC  DE ∥ BC nên BDEC hình thang  CD   BE CD Từ ta có: BE (cung bị chắn hai dây song song nhau)  BDEC hình thang cân Câu ABCD hình vng, gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD Ta có OA OB OC OD  AC (tính chất hình vng) AC a (định lý Py-ta-go) AC a Vẽ đường trịn  O  , bán kính R   2 Vẽ dây cung M N  đường tròn tâm O qua M, N hai điểm bên hình vng Ta có MN  M N  Ta lại có M N   AC (trong đường trịn đường kính dây cung lớn nhất) Mà AC a nên MN a (điều phải chứng minh) Trang 11