Bài 4 vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

CHƯƠNG ĐƯỜNG TRỊN BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn + Nắm hệ thức khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường trịn  Kĩ + Xác định vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn + So sánh khoảng cách từ tâm đường trịn đến đường thẳng bán kính đường trịn I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ba vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Đường thẳng đường tròn cắt Khi đường thẳng a  O  có hai điểm chung A B , ta nói đường thẳng a đường trịn  O  cắt Đường thẳng a gọi cát tuyến đường tròn  O  Khi OH  R HA HB  R  OH Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Khi đường thẳng a đường tròn  O  có điểm chung C , ta nói đường thẳng a đường trịn  O  tiếp xúc Khi a cịn gọi tiếp tuyến đường tròn  O  Điểm C gọi tiếp điểm Khi OC OH R Định lí: Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm Đường thẳng đường trịn khơng giao Khi đường thẳng a đường trịn  O  khơng có điểm chung ta nói đường thẳng a đường trịn  O  khơng giao Khi OH  R Hệ thức khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường trịn Đặt OH d Khi ta có: Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Đường thẳng đường tròn cắt Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường trịn khơng cắt Số điểm Hệ thức chung d R d R d R d R SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Đường thẳng cắt đường trịn hai điểm Đường thẳng tiếp xúc với đường trịn VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN Đường thẳng khơng cắt đường tròn II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn  Phương pháp giải Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Sử dụng kiến thức sau đây: Vị trí tương đối Số đường thẳng đường điểm tròn Đường thẳng đường chung tròn cắt Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường trịn khơng cắt Hệ thức điểm A   1;  Hãy xác định vị trí tương d R đối đường trịn  A;  trục tọa d R d R d R độ Hướng dẫn giải Ta có khoảng cách từ tâm A đến trục Ox R nên trục Ox tiếp xúc với đường trịn  A;  Ta có khoảng cách từ tâm A đến trục Oy  R nên trục Oy cắt đường tròn  A;  hai điểm  Ví dụ mẫu Ví dụ Điền vào chỗ trống (….) bảng sau ( R bán kính đường trịn, d khoảng cách từ tâm đến đường thẳng): R cm cm cm d cm … cm Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn … Tiếp xúc … Hướng dẫn giải R cm cm cm d cm cm cm Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Đường thẳng cắt đường tròn hai điểm Tiếp xúc Đường thẳng khơng cắt đường trịn Ví dụ Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh Gọi O tâm hình vng M , N theo thứ tự trung điểm AB, BC Dựng đường tròn  O;  Hãy xác định vị trí tương đối đường thẳng CD, MN với đường tròn  O;  Hướng dẫn giải Ta có khoảng cách từ O đến đường thẳng CD OJ 2 R nên CD tiếp xúc với đường tròn  O;  1 Ta có khoảng cách từ O đến đường thẳng MN OI  BD    R nên MN cắt 4 đường tròn  O;  hai điểm  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  1;3 Hãy xác định vị trí tương đối đường tròn  A;  với hai trục tọa độ Câu Cho hình chữ nhật ABCD có AB 6, AC 10 Gọi O giao điểm hai đường chéo Hãy xác định vị trí tương đối đường thẳng AB, BC với đường tròn  O;3 Bài tập nâng cao Câu Cho tam giác ABC Gọi O giao điểm hai đường phân giác ngồi góc B C Dựng đường tròn tâm O , tiếp xúc với cạnh BC Hãy xác định vị trí tương đối đường thẳng AB, AC với đường tròn tâm O Câu Cho tam giác ABC cân A , I giao điểm phân giác Xác định vị trí đường thẳng AC với đường trịn ngoại tiếp tam giác BIC Dạng Tìm tâm đường trịn có bán kính cho trước tiếp xúc với đường thẳng cho trước  Phương pháp giải Bước Xác định khoảng cách từ tâm đường Ví dụ: Cho đường thẳng xy Tâm tròn đến đường thẳng đường trịn có bán kính cm tiếp xúc với đường thẳng xy nằm đường nào? Hướng dẫn giải Gọi  O;1 đường trịn thỏa mãn điều kiện tốn Vì  O;1 tiếp xúc với đường thẳng xy nên tâm O nằm đường thẳng song song với đường thẳng xy cách đường thẳng xy khoảng R 1 cm Bước Sử dụng tính chất điểm cách Vậy O nằm hai đường thẳng a, b đường thẳng cho trước khoảng cho trước song song với đường thẳng xy cách xy khoảng không đổi R 1 cm  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho góc nhọn xOy Xác định tâm đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy góc Hướng dẫn giải Dựng Oz tia phân giác góc xOy Lấy điểm I Oz Dựng IA  Ox, IB  Oy Theo tính chất đường phân giác ta có IA IB Khi đường trịn tâm I bán kính R IA IB ln tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy Vì I điểm tia Oz nên tâm đường trịn tiếp xúc với cạnh góc xOy nằm tia phân giác Oz góc  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho hai đường thẳng a b song song với nhau, cách khoảng cm Một đường tròn  O  tiếp xúc với a b Hỏi tâm O di động đường nào? Câu Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC khơng đổi Vẽ đường tròn tâm A tiếp xúc với cạnh BC Giả sử diện tích tam giác ABC khơng thay đổi điểm A thay đổi Hỏi A di động đường nào? Bài tập nâng cao Câu Cho hình thoi ABCD Vẽ đường trịn  O  tiếp xúc với hai cạnh AB CD Hỏi tâm O di động đường nào? Dạng Tính độ dài đoạn thẳng  Phương pháp giải Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý Ví dụ: Cho đường trịn tâm O bán kính tính chất tiếp tuyến định lý Py-ta- cm điểm A cách O cm Kẻ go đường thẳng AB tiếp xúc với đường trịn  O B Tính độ dài đoạn AB Hướng dẫn giải Vì AB tiếp xúc với đường tròn  O  B nên AB  OB Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng ABO có AO  AB  OB  52  AB  32  AB 4  cm  Vậy AB 4 cm  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường trịn tâm O , đường kính AB 10 cm Dựng đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn  O  I (khác A, B ) Từ A, B dựng đường thẳng vng góc với d theo thứ tự D, C , biết CD 8 cm Tính diện tích tứ giác ABCD ? Hướng dẫn giải Vì đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn  O  I nên OI  d Vì OI  d , AD  d BC  d  AD ∥ BC ∥ OI Do tứ giác ABCD hình thang vng Vì O trung điểm AB nên OI đường trung bình hình thang Diện tích hình thang ABCD là: S ABCD   AD  BC  CD OI CD 40  cm  Ví dụ Cho đường tròn  O;13 dây AB 24 Vẽ tiếp tuyến song song với AB , cắt tia OA, OB M N Tính diện tích tam giác OMN ? Hướng dẫn giải Giả sử MN tiếp xúc với đường tròn  O  J Khi OJ  MN , OJ  AB OJ cắt AB I Vì OI  AB nên I trung điểm AB hay IA IB 12 Xét tam giác vuông OIA có OA2 OI  IA2  132 OI  122  OI 5 Ta có tam giác OAB đồng dạng với tam giác OMN theo tỉ số đồng dạng k  Khi AB 312   MN  MN 13 OI  OJ 13 1 312 2028  Vậy diện tích tam giác OMN SOMN  OJ MN  13 2 5  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho đường tròn  O  Lấy điểm A nằm ngồi đường trịn cho OA 13 cm Kẻ AB tiếp xúc với đường tròn  O  B , biết AB 12 cm Tính bán kính đường trịn  O  Câu Cho đường tròn  O; cm  Cát tuyến qua A  O  cắt  O  B C Cho biết AB BC kẻ đường kính COD Tính độ dài đoạn thẳng AD Bài tập nâng cao Câu Cho Ax, By tiếp tuyến song song đường tròn  O  ( A, B tiếp điểm) a) Chứng minh AB đường kính đường tròn b) Một tiếp tuyến thứ ba đường tròn  O  cắt Ax, By M N Tính bán kính đường trịn  O  , biết AM 3, 2; BN 5 Câu Cho hình vng ABCD Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đường thẳng AB, AD cắt cạnh BC , CD thành hai đoạn có độ dài cm 23 cm Tính bán kính đường trịn ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Câu Ta có khoảng cách từ điểm A đến trục Ox  R 2 nên đường trịn  A;  khơng cắt trục Ox Khoảng cách từ điểm A đến trục Oy  R 2 nên đường tròn  A;  cắt trục Oy hai điểm phân biệt Câu Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng ABC có AC  AB  BC  102 62  BC  BC 8  cm  Khoảng cách từ O đến đường thẳng AD, BC AB 3 nên AD, BC tiếp xúc với  O;3 Khoảng cách từ O đến AB, CD AD 4 nên AB CD khơng cắt đường trịn  O;3 Bài tập nâng cao Câu Dựng OD  BC , OE  AC , OF  AB  D  BC ; E  AC ; F  AB  Vì  O  tiếp xúc với BC nên D tiếp điểm OD R Xét tam giác OBD tam giác OBF có Cạnh OB chung;  D  90 ; F   OBD OBF Do OBD OBF (cạnh huyền – góc nhọn)  OD OF R Vì khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng AB OF R nên AB tiếp xúc với đường tròn  O  F Chứng minh tương tự ta có AC tiếp xúc với đường tròn  O  E Câu Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Vì I O thuộc đường trung trực BC nên điểm A, I , O thẳng hàng AO  BC   , ICA       Ta có OCI nên OCI OIC ICB  ICA OIC  ICB 90  ACO 90  AC  OC Vì AC cắt đường trịn  O  C OC  CA nên AC tiếp tuyến đường trịn  O  Dạng Tìm tâm đường trịn có bán kính cho trước tiếp xúc với đường thẳng cho trước Câu Dựng EF  a EF  b  EF 4 cm , gọi O trung điểm song với đường thẳng a, b EF cách đường thẳng a, b Đường tròn tâm O bán kính R 2 cm tiếp xúc với đường khoảng R 2 cm thẳng a, b điểm E F Vì EF thay đổi đường thẳng a, b thỏa mãn EF đoạn vng góc chung nên tâm O chạy đường thẳng c song Câu Dựng đường cao AH Vì đường trịn tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC nên AH bán kính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC Diện tích tam giác ABC là: S ABC  BC AH Vì BC khơng đổi nên để diện tích tam giác ABC khơng đổi độ dài AH khơng thay đổi Hay khoảng cách từ A đến cạnh BC không thay đổi Vậy A di động đường thẳng a song song với đường thẳng BC cách BC đoạn AH Bài tập nâng cao Câu Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Dựng đường tròn  O  tiếp xúc với hai cạnh AB CD Vì AB ∥ CD nên O muốn cách hai đường thẳng AB, CD O nằm đường thẳng qua giao điểm hai đường chéo song song với AB, CD Vậy tâm O đường tròn tiếp xúc với hai cạnh AB, CD di chuyển đường thẳng d qua giao điểm hai đường chéo hình thoi song song với AB, CD Dạng Tính độ dài đoạn thẳng Câu Vì AB tiếp xúc với đường trịn  O B nên OB  AB Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng ABO có AO  AB  OB  132 122  OB  OB 5  cm  Vậy bán kính đường trịn  O  R OB 5 cm Câu Xét tam giác CBD có O trung điểm CD OB OC OD R nên tam giác BCD vuông B Xét tam giác DAC có BD  AC DB đường trung tuyến tam giác DAC nên tam giác DAC cân D Suy DA DC 2 R 4 cm Bài tập nâng cao Câu Vậy AD 4 cm a) Vì Ax tiếp xúc với đường tròn  O  A nên OA  Ax Vì By tiếp xúc với đường tròn  O  B nên OB  By Mặt khác Ax ∥ By (giả thiết) nên A, O, B thẳng hàng Vậy AB đường kính đường trịn  O  b) Gọi I tiếp điểm tiếp tuyến thứ với đường tròn  O   OI  MN Xét tam giác BON ION có  I 90 ; B Cạnh DN chung; OI OB R Do BON ION (cạnh huyền-cạnh góc vng)  O   BN IN 5 O  O  Chứng minh tương tự ta có AM IM 3, O  O  O  O  180  2O   2O  180  O  O  90 Ta có O 3 Hay OM  ON Xét tam giác vuông MON có OI đường cao Theo hệ thức lượng tam giác vng có OI IM IN 5.3, 16  OI 4 Vậy bán kính đường trịn  O  R 4 Câu Hình Hình Gọi I giao điểm đường tròn  O  với cạnh BC Theo giả thiết ta có BI 2 cm, IC 23 cm Suy AB BC CD DA 23  25  cm  Ta có OI R BH R  IH R  Mặt khác OH  AB  R  25  R Xét tam giác vng OIH Áp dụng định lí Py-ta-go ta có 2 OI OH  HI  R  25  R    R    R  54R  629 0  R 17  cm  R 37  cm  Vậy R 17 cm (ứng với hình 1) R 37 cm (ứng với hình 2)