Bài 4 vị trí tương đối giữa hai đường thẳng góc và khoảng cách đáp án p1

Bài VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A LÝ THUYẾT I Vị trí tương đối hai đường thẳng     u Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng có vectở phương , u2 Khi   a) 1 cắt  u1 , u2 không phương     u b) song song với , u2 phương có điểm thuộc đường thẳng mà không thuộc đường thẳng lại   c) 1 trùng với  u1 , u2 phương có điểm thuộc hai đường thẳng Chú ý   - 1 vng góc với  u1 , u2 vng góc với - Khi xét vị trí tương đối hai đường thẳng, dựa vào cặp vectơ pháp tuyến hai đường thẳng Ví dụ Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a) 1 : x  y  0  :  x  y  0  x 1  2t 4 :   y 3  2t b)  : x  y  0 Giải   a) Đường thẳng 1 có vectơ phương u1 (1; 2) , đường thẳng  có vectơ phương u2 ( 2;  1) Do      nên u1 , u2 không phương, suy 1 cắt       ,  u  (1;1), u  (2; 2) u  u 4 Chọn t 0 , ta có b) Đường thẳng có vectơ phương Suy điểm M (1;3)   Do   0 nên M (1;3)   Vậy  song song với  Ta xét vị trí tương đối hai đường thẳng dựa vào số giao điểm chúng Nhận xét: Cho hai đường thẳng 1  có phương trình a1 x  b1 y  c1 0 ; a2 x  b2 y  c2 0 Xét hệ phương trình:  a1 x  b1 y  c1 0   a2 x  b2 y  c2 0 (I) Khi a) 1 cắt  hệ (I) có nghiệm b) 1 song song với  hệ (I) vô nghiệm c) 1 trùng với  hệ (I) có vơ số nghiệm Ví dụ Xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 : x  y  0 ;  : x  y  0 Giải Tọa độ giao điểm đường thẳng 1 đường thẳng  nghiệm hệ phương trình:  x  y  0  2 x  y  0 Hệ có vơ số nghiệm Như vậy, 1  có vô số điểm chung, tức 1 trùng với  Trang II Góc hai đường thẳng Hai đường thẳng 1  cắt tạo thành bốn góc - Nếu hai đường thẳng 1  khơng vng góc với góc nhọn bốn góc tạo thành gọi góc hai đường thẳng 1  - Nếu hai đường thẳng 1  vng góc với ta nói góc hai đường thẳng 1  90  ,    ,    Góc hai đường thẳng kí hiệu  Quy ước: Khi 1 song song trùng với  , ta nói góc hai đường thẳng 1       ,   90 Nhận xét: Góc hai đường thẳng ln bé 90 , tức Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng 1  có vectơ phương   u1  a1 ; b1  , u2  a2 ; b2  cos  1 ,    Ta có: a1a2  b1b2 a  b12  a22  b22 Nhận xét - 1    a1a2  b1b2 0   - Cho hai đường thẳng 1  có vectơ pháp tuyến n1 , n2 Ta có:   n1 n2   cos  1 ,    cos  n1, n2     n1 n2 Ví dụ Tính số đo góc hai đường thẳng 1  trường hợp sau:  x   3t1  x   3t2 1 :  2 :   y 1  t1  y 4  t2 a) b) 1 : x  y  10 0  :  x  y  0 Giải  a) 1 có vectơ phương u1 ( 3;1)   có vectơ phương u2 ( 3;  1) cos  1 ,    |   1( 1) |    ,   60 ( 3)  12  ( 3)  ( 1) Do đó, ta có: Vậy   b) 1 có vectơ pháp tuyến n1 (3;1),  có vectơ pháp tuyến n2 ( 2;1) Do đó, ta có:   n1 n2   | ( 2)  1| cos  1 ,    cos  n1 , n2       n1 n2 1 ,   45 32  12  ( 2)2  12  Vậy III KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG   a2  b2  Oxy ax  by  c   Trong mặt phẳng toạ độ , cho đường thẳng có phương trình điểm M  x0 ; y0  Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  , kí hiệu d ( M ,  ) , tính cơng thức sau: Trang d (M , )  ax0  by0  c a  b2 Chú ý: Nếu M   d ( M ,  ) 0 Ví dụ Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  trường hợp sau: a) M ( 2;1)  : x  y  0  x   3t :  y 2  4t b) M (1;  3) Giải a) Ta có: | ( 2)  1  | 2 13 d (M , )    13 13 22  ( 3)  b) Đường thẳng  qua điểm N ( 2; 2) , có vectơ pháp tuyến n (4;3) Phương trình tổng quát đường thẳng  4( x  2)  3( y  2) 0 hay x  y  0 | 1  ( 3)  |  d ( M , )   42  32 PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng nghiệm hệ phương trình Δ : a1 x+b1 y +c =0 a1 x +b1 y +c =0 a2 x+ b2 y +c =0 { Hệ có nghiệm: Δ1 cắt Δ Hệ vô nghiệm: Δ1 // Δ Δ :a2 x +b2 y + c2 =0 ta xét số Hệ có vơ số nghiệm: Δ1  Δ Đặc biệt: Nếu a2 b2 c ≠0 thì: a b1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 ≠ = ≠ = = Δ1 cắt Δ  a2 b2 , Δ1 // Δ  a2 b2 c2 , Δ1 = Δ  a2 b2 c2 Để tim giao điểm đường thẳng ta giải hệ phương trình Tìm hình chiếu điểm A lên đường thẳng d Cách 1: lập phương trình đường thẳng d’ qua A vng góc với d Hình chiếu H giao điểm d d’ AH u =0 để Cách 2: điểm H thuộc d có tọa độ theo tham số t (hoặc x, y), cho điều kiện AH  d   tìm t Tìm điểm đối xứng A’ A qua đường thẳng d: tìm hình chiếu H, dùng công thức tọa độ trung điểm để suy A’ Tìm đường thẳng d’ đối xứng đường thẳng d qua điểm I cho trước Cách 1: d’ song song trùng với d nên có VTPT Lấy điểm A thuộc d tìm điểm B đối xứng qua I B thuộc d’ Cách 2: Lấy M(x; y) thuộc d Gọi M’(x’; y’) điểm đối xứng M qua I, ta có: x+x '=2 x , y + y '=2 y  x=2 x0 −x ' , y=2 y − y ' Câu Thế vào phương trình d thành phương trình d’ Xét vị trí tương đối tìm giao điểm có hai đường thẳng: a) x  y  0 x  y  0 b) x  y  0 0,5 x  1,5 y  0 Trang c) 10 x  y  0 x  y  1,5 0 Lời giải −5 ≠ a)Ta có nên hai đường thẳng cắt { 29 21 y= 29 x= y+3=0 {25 x−5 x +2 y−3=0 Tọa độ giao điểm nghiệm hệ Vậy hai đường thẳng cắt M (299 ; 2129 )  −3 = ≠ b)Vì 0,5 −1,5 nên hai đường thẳng song song 10 −3 = = c)Vì −1,5 nên hai đường thẳng trùng Câu Xét vị trí tương đối tìm giao điểm có cặp đường thẳng: d : x=−1−5 t y=2+4 t a) d ': x=−6+5t ' y=2−4 t ' d : x=1−4 t y=2+2t b) d ':2 x+4 y−10=0 d : x=−2+t y=2+2 t c) x y−3 d ': = −2 { { { { Lời giải Ta chuyển đường thẳng dạng tổng quát: a) d : x  y  0 d ' : x  y  14 0 Ta có −6 = ≠ 14 nên d, d’ song song b) d : x  y  0 d ' : x  y  10 0 −5 = = Ta có −10 nên d, d’ trùng c) d : x  y  0 d' : x  y  0 1 ≠ Ta có Trang nên d, d’ cắt Tọa độ giao điểm nghiệm hệ Câu −2=0 {2x+x +yy−3=0 {x=1 y=1 I(1; 1)  Biện luận theo tham số m vị trí tương đối hai đường thẳng: mx  y  0 x  my  m  0 Lời giải mx+ y +2=0 mx+ y=−2 {x +my { +m−1=0 x+my=−m+1 Xét hệ Ta lập định thức: m D=| 1 D x=| m m D y =|  |=m2 −1= ( m−1 ) ( m+1 ) m −2 | −m+1 = m+1 −2 |=−m2 +m+2=−( m+1 ) ( m−2 ) −m+1 Vậy m 1, m  D 0 : hai đường thẳng cắt D x≠0 : hai đường thẳng song song Nếu m 1 D=0 , Nếu m  Câu D=D x =D y =0 : hai đường thẳng trùng Với giá trị tham số m hai đường thẳng sau vng góc Δ : mx+ y +8=0 Δ : x− y +m=0 Lời giải Δ1 có VTPT n1 =( m;1 ) n2=( 1;−1 ) Δ có VTPT  Ta có: Câu Δ ⊥ Δ2 ⇔  n1  n2=0⇔ m−1=0 ⇔m=1 Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy: d :2 x + y −4=0 , d :5 x−2 y+3=0 d :mx+3 y −2=0 Lời giải Tọa độ giao điểm I ( 59 ; 269 ) d1 d2 nghiệm hệ: {5 2x−2x+ y=4 y=−3 d Để ba đường thẳng d , d , 26 m+ −2=0 ⇔m=−12  đồng quy ta phải có I thuộc  { 26 y= x= Vậy d3 Trang d1 : Câu Cho hai đường thẳng { x=x +at y= y +bt d2 : { x=x +ct ' y= y + dt ' ( x1 , x2 , y1 , y số) Tìm điều kiện a, b, c, d để hai đường thẳng d d : a)Cắt b)Song song với c)Vng góc với Lời giải d1 qua v ( c ;d ) M ( x1 ; y1) a) d cắt d  u và có VTCP v u (a;b) d2 , qua M ( x2 , y2) có VTCP không phương  ad – bc ≠   M x ; y  d  ad  bc 0 d x  x c  y1  y2  b) d1 // d  u v phương  1    u c) d ≡d  d ( x 1−x ) =c ( y − y ) v phương M ( x ; y ) ∈d ⇔ad−bc=0 và   d  d  u  v  ad  bc 0 d) M ( x ; x2 ) Cho đường thẳng d qua hai điểm phân biệt điều kiện cần đủ để đường thẳng Ax  By  C 0 song song với d Câu M ( x ; y 2) Chắng minh Ax + By +C= Ax + By +C≠0 Lời giải  M M = x −x1 ; y 2− y ) ( VTCP đường thẳng d là: VTPT đường thẳng Ax  By  C 0 Vậy để hai đường thẳng A ( x 2−x ) + B ( y 2− y ) =0 song n ( A ;B ) song trước hết cần có M M n 0 Ax + By =Ax + By ⇔ Ax1 + By +C= Ax +By +C M ( x1 ; y1) Mặt khác, điểm không nằm Ax  By  C 0 nên Ax + By +C≠0   Câu Cho hai đường thẳng: Δ :(m+1) x−2 y−m−1=0 ; Δ : x+(m−1) y−m2 =0 a)Tìm tọa độ giao điểm Δ1 Δ b)Tìm điều kiện m để giao điểm nằm trục Oy Lời giải a)Ta có: Trang (đpcm) m+1 −2 D| |=m2 +1 m−1 D x=3 m −1 D y =m + m2 −m−1 Vì D m  0 với m nên  Δ cắt giao điểm I chúng có tọa độ: { x= y= D x m 2−1 = D m +1 D y m +m −m−1 = D m +1 3m  1 0  3m  0  m  b) I  Oy  m  Câu Cho đường thẳng  : 3x  y  0 điểm I (1; 2) Tìm phương trình đường thẳng ’ đối xứng với  qua điểm I Lời giải Lấy điểm M nằm đường thẳng : x  y 1 0 , chẳng hạn M = (0; 1) Điểm M’ đối xứng với M qua điểm I (1; 2) có tọa độ M' (2; 3) Đường thẳng ’ đối xứng với  qua I đường thẳng qua điểm M’ song song với , tức có VTPT ’ là: 2( x  2)  ( y  3) = hay x  y  0 Câu 10 Cho hai đường thẳng d : x+ y−1=0 n=(2;−1) Vậy phương trình d : x−3 y +3=0 Hãy lập phương trình d đối xứng với d qua d đường thẳng Lời giải Giao điểm M ( x; y ) d d có tọa độ nghiệm hệ phương trình: x+ y−1=0 x=0 ⇔ ⇒ M (0 ;1 ) x −3 y+3=0 y =1 { { Lấy A(1;0) thuộc d , phương trình đường thẳng AH 3( x  1)  1( y  0) 0  3x  y  0 Tọa độ H nghiệm 3 12 x + y−3=0 ⇔ ⇒H ; ⇒B ; x−3 y +3=0 5 5 y= { Phương ( x−0 ) { x= trình đường ( ) ( thẳng d2 vng góc với hệ phương trình ) MB ( 125 −1)−( y−1 )( 15 −0)=0 ⇔7 x− y +1=0 hay đường thẳng d3 Câu 11 Cho đường thẳng : ax  by  c 0 Viết phương trình đường thẳng ’ đối xứng với đường thẳng : Trang a)Qua trục hoành b)Qua trục tung c)Qua gốc tọa độ Lời giải M ( x M ; yM ) Xét điểm tùy ý thuộc  N ( xN ; y N ) a)Gọi điểm đối xứng với M qua Ox Khi đó: { x N =x M x =x ⇔ M N y N =− y M y M =− y N { Do M    ax M +by M +c=0  ax N −by N +c=0  N  Δ1  ax  by  c 0 Vậy phương trình đường thẳng đối xứng với  qua Ox ax  by  c 0 b)Gọi P ( xP ; yP ) Khi ta có điểm đối xứng với M qua Oy x P =−x M x =−x P ⇒ M y P= y M y M= y P { { ax P −by P −c=0 P Δ ax M +by M +c=0 Do M     ax  by  c 0  Vậy phương trình đường thẳng đối xứng vơi  qua Oy ax  by  c 0 c)Gọi Q ( xQ ; yQ ) Khi ta có điểm đối xứng với M qua O { x Q=−x M x =−xQ ⇒ M y Q=− y M y M =− y Q { Do M    ax M +by M +c=0  −ax Q−byQ +c=0 Q Δ  ax  by  c 0 Vậy phương trình đường thẳng đối xứng với  qua O ax  by  c 0 Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M ( 1; 2) hai đường thẳng d1 : x  y  0 , d : x  y  0 Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt d1 A, cắt d B cho MA 2MB Lời giải Ta có   d1 = A suy A  d1 nên A(  2a; a ) ,   d = B suy B  d nên B(b;   2b) MA   2a; a   MB  b  1;  2b   Suy Do  qua M nên A, B, M thẳng hàng Hơn MA 2MB , suy Trang [  MA=2  MB  MA=−2 MB b=− Suy { −2 a=2(b+1 ) MA=2  MB  a−2=2(−2b−4 )  Với  { a= A− ; 3 ( ) B− ; 3 ( )   2 AB  ;   1;1  3 Khi đường thẳng  qua M ( 1; 2) nhận Làm véc tơ pháp tuyến nên : x  y  0   2a  2(b  1) a     Với MA  MB   a   2(  2b  4)   b  Suy A(3;  2) B ( 3; 4)  M (  1; 2) Khi đường thẳng  qua nhận AB ( 6;6) làm véc tơ pháp tuyến nên : x  y  0  Vậy có hai đường thẳng cần tìm : x  y  0 : x  y  0 Cách Gọi n=(a;b) với a +b ≠0 véc tơ pháp tuyến đường thẳng  Suy : a ( x  1)  b( y  2) 0 hay ax  by  a  2b 0 Δ∩d =A Do A nên a−5 b 2b ; ( 2b−2 a b−2 a ) tọa độ điểm A thỏa mãn {ax+by+a−2b=0 x +2 y+1=0 hệ {ax+b+a−2 b=0 x + y +2=0 Do Δ∩d =B nên tọa độ điểm B thỏa mãn hệ  −4 b 4a b −2 a   MA= ; MB ; b−2 a b−2 a a−2 b a−2b Theo giả thiết Ta có ( MA=2 MB ⇔  [ √ ) √(  −4 b 4a + b−2 a b−2 a )( ( −4 b ( 4a−2b−ab ; a−2 b) ) ) B = √( b −2 a + a−2 b a−2 b )( ) b−2a=a−2b b +a b2 +a2 =4 [ 2 2 ( b−2 a ) ( a−2 b )  ( b−2 a ) =( a−2b )  b−2a=−(a−2b)  a−b=0 a+b=0 √ Với a  b 0 , ta chọn a 1 suy b 1 Khi : x  y  0 Với a  b 0 , ta chọn a 1 suy b  Khi : x  y  0 Vậy có hai đường thẳng cần tìm : x  y  0 : x  y  0 Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng  qua điểm M (2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích Lời giải Trang Gọi a 2b ,   Oy = B (b;0) với : x  y  0 Phương trình tắc đường thẳng d: x y + =1 a b Theo giả thiết, ta có: M ∈d S Δ OAB=4 {  2b+a=8 ab=8 { Với { + =1 a b |ab|=8  {2b+a=8 ab=8 {2b+a=−8 ab=−8 suy : X  y  0 2b+a=−8 ⇔ a=−4∓4 √ ab=−8 b=−2±2 √ { Với { [ Suy Δ: ( 1− √2 ) x+2 ( + √2 ) y−4=0 Δ: ( 1+ √2 ) x+2 ( 1−√ ) y+4=0 Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phuong trình đường  thẳng song song với đường thẳng d: x  y  2015 0 cắt hai trục tọa độ M N cho MN =3 √5 Lời giải Do  qua M (m;0)  Ox N (0; n)  Oy (với m, n ≠ 0) nên Δ: x y + =1 m n hay : nx  my  mn 0 Theo giả thiết,  song song với d: x  y  2015 0 nên √ n m = ⇔ n=−2m −1 (*) Hơn nữa, MN =3 √ ⇔ m +n =3 √ Kết hợp với (*), ta Với m 3 suy n  Ta : x  y  0 Với m  suy n 6 Ta : x  y  18 0 √ m2=3 √ 5⇔ m=±3 Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng  qua M (3; 2) cắt tia Ox A , cắt tia Oy B cho OA  OB 12 Lời giải Gọi n=(a;b) với a +b ≠0 véc tơ pháp tuyến đường thẳng  Suy : a ( x  3)  b( y  2) 0 hay ax  by  3a  2b 0 Ta có Ox = A nên Theo giả thiết, ta có: A ( a+2a b ;0) Oy = B nên ( B 0; a+2 b a+2 b OA+OB=12⇔| |+| |=12 a b a+2 b a+2 b a=2 b + =12 ⇔3 a2 −7 ba+2b 2=0⇔[ a b a=b  Với a = 2b, ta chọn b = suy a = Ta : 2x + y – = Với 3a = b, ta chọn a = suy b = Ta : x + 3y – = Cách Do  qua A(a; 0)  Ox B(0; b)  Oy (với a, b > 0) Trang 10 a+2 b b )