CHƯƠNG ĐƯỜNG TRỊN BÀI ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN Mục tiêu Kiến thức + Biết đường kính dây lớn dây đường trịn + Nắm hai định lí đường kính vng góc với dây đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm Kĩ + Thành thạo vẽ hình + Tìm mối liên hệ đường kính dây cung + Vận dụng định lí vào tốn so sánh, tính tốn độ dài đoạn thẳng, chứng minh vng góc I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM So sánh độ dài đường kính dây cung Định lí Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính Quan hệ vng góc đường kính dây cung Định lí Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Định lí Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây AB vng góc với CD IA IB SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN Quan hệ vng góc đường kính dây cung Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây So sánh độ dài đường kính dây cung Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng không Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC , đường cao BH CK Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, K , H , C thuộc đường tròn b) HK BC Hướng dẫn giải a) Gọi O trung điểm BC Vì tam giác BHC vng H có trung tuyến HO ứng với cạnh huyền nên OB OC OH (1) Vì tam giác BKC vng K có trung tuyến KO ứng với cạnh huyền nên OB OC OK (2) Từ (1) (2) suy OB OC OK OH Vậy bốn điểm B, C , H , K thuộc đường tròn tâm O , đường kính BC b) Vì HK dây cung đường trịn O , HK khơng qua O BC đường kính nên BC HK Ví dụ Cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm AB, BC Gọi I giao điểm AN DM Chứng minh a) Bốn điểm B, M , I , N nằm đường tròn b) BI MN Hướng dẫn giải a) Xét hai tam giác ADM BAN có AB AD ( ABCD hình vng); BN AM AB ; DAM ABN 90 D Do ADM BAN c.g.c A 1 M 90 A M 90 Xét tam giác ADM có D 1 1 90 AIM 90 AN DM Xét tam giác AIM có A1 M Vì tam giác MIN vng I nên ba điểm M , I , N thuộc đường trịn đường kính MN Vì tam giác MBN vuông B nên ba điểm M , B, N thuộc đường trịn đường kính MN Vậy bốn điểm B, M , I , N thuộc đường trịn đường kính MN b) Vì MN đường kính IB dây cung khác đường kính đường tròn qua bốn điểm B, M , I , N nên MN BI Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho tứ giác ABCD có góc A C 90 a) Chứng minh bốn điểm A, B, C , D thuộc đường tròn b) Chứng minh AC BD Câu Cho tam giác ABC nhọn có đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh bốn điểm A, D, H , E thuộc đường tròn b) Chứng minh AH DE Bài tập nâng cao Câu Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh bốn điểm A, B, D, C thuộc đường tròn b) Chứng minh AD BC Câu Cho đường tròn O; R ba dây AB, AC , AD Gọi M , N hình chiếu B đường thẳng AC , AD Chứng minh MN R Câu Cho đường tròn O; R Vẽ hai dây AB CD vng góc với Chứng minh SACBD 2 R Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường trịn O đường kính AB , dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CH DK Hướng dẫn giải Vì AH CD BK CD nên AH ∥ BK tứ giác ABKH hình thang vng Dựng OI CD Khi OI ∥ BK ∥ AH Vì O trung điểm AB nên I trung điểm HK Tức IH IK Mặt khác IC ID Khi IH IK IC CH ID DK CH DK (vì IC ID ) Ví dụ Cho đường trịn O có dây AB CD nhau, tia AB CD cắt điểm E nằm bên ngồi đường trịn Gọi H , K theo thứ tự chân đường vng góc O xuống AB, CD Biết EH EK , chứng minh a) EB ED b) EA EC Hướng dẫn giải Vì OH AB nên H trung điểm AB HA HB AB Vì OK CD nên K trung điểm CD KC KD CD Mặt khác AB CD HA HB KC KD a) Theo giả thiết ta có EH EK EB BH ED DK EB ED b) Ta có EA EH HA; EC EK KC Mà HA KC nên EH HA EK KC hay EA EC Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho hai đường tròn O; R O; R1 ( R1 R ) Một đường thẳng không qua O cắt đường tròn O; R1 theo thứ tự A, B , cắt đường tròn O; R theo thứ tự C , D (các điểm theo thứ tự A, C , D, B ) Chứng minh AC BD Bài tập nâng cao Câu Cho đường trịn O có hai dây cung AB CD cắt điểm E nằm bên đường tròn BE AE; DE CE Gọi H , K theo thứ tự hình chiếu vng góc O lên AB, CD Biết EH EK , chứng minh a) EA EC b) EB ED Câu Cho đường tròn O; R Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M , N cho OM ON Vẽ dây CD qua M , N ( M C N ) a) Chứng minh CM DN b) Giả sử AOB 90 Tính OM theo R cho CM MN ND ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng không Bài tập Câu a) Gọi O trung điểm BD Vì tam giác ABD vng A có trung tuyến AO ứng với cạnh huyền nên OA OB OD Vì tam giác CBD vng C có trung tuyến CO ứng với cạnh huyền nên OB OD OC Do OA OB OC OD Vậy bốn điểm A, B, C , D thuộc đường tròn O đường kính BD b) Vì BD đường kính, AC dây cung đường tròn O nên BD AC Dấu “=” xảy AC đường kính O Câu a) Vì tam giác ADH vng D nên A, D, H thuộc đường tròn đường kính AH Vì tam giác AEH vng E nên A, E , H thuộc đường tròn đường kính AH Vậy bốn điểm A, D, H , E thuộc đường trịn đường kính AH b) Vì AH đường kính DE dây cung khác đường kính đường trịn đường kính AH nên AH DE Bài tập nâng cao Câu a) Tứ giác BDCH có hai đường chéo BC HD cắt trung điểm M đường nên BDCH hình bình hành BD ∥ CH DC ∥ BH Vì CH vng góc với AB nên DB vng góc với AB Khi tam giác ABD vuông B nên ba điểm A, B, D thuộc đường trịn đường kính AD Vì BH vng góc với AC nên DC vng góc với AC Khi tam giác ACD vng C nên ba điểm A, C , D thuộc đường trịn đường kính AD Vậy bốn điểm A, B, C , D thuộc đường trịn đường kính AD b) Vì AD đường kính BC dây cung đường tròn qua bốn điểm A, B, C , D nên AD BC Dấu “=” xảy BC đường kính đường tròn qua bốn điểm A, B, C , D Câu Vì M , N theo thứ tự hình chiếu B AC , AD nên BM AC , BN AD Vì tam giác ABN vuông N nên ba điểm A, B, N nằm đường trịn đường kính AB Vì tam giác ABM vng M nên ba điểm A, B, M nằm đường tròn đường kính AB Suy bốn điểm A, B, M , N nằm đường trịn đường kính AB Vì AB đường kính MN dây cung khác đường kính đường trịn qua bốn điểm A, B, M , N nên AB MN (1) Mặt khác A, B nằm đường tròn O; R nên AB 2 R (2) Từ (1) (2) suy MN R Câu Gọi I giao điểm AB CD Diện tích tam giác ABC SABC AB.CI Diện tích tam giác ABD SABD AB.DI 1 Diện tích tứ giác ACBD SACBD SABC SABD AB CI DI AB.CD 2 Vì AB CD hai dây cung nên AB 2 R CD 2 R 1 Vậy SACBD AB.CD R 2 R 2 Dấu “=” xảy AB CD hai đường kính đường trịn O; R Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng Bài tập Câu Dựng OI AB I Theo định lí đường kính dây cung ta có I trung điểm AB CD Tức IA IB, IC ID Khi AC IA IC BD IB ID Mà IA IC IB ID nên AC BD Bài tập nâng cao Câu a) Theo giả thiết ta có OH AB, OK CD Theo định lí đường kính dây cung suy HA HB KC KD (vì AB CD ) Ta có EA EH HA, EC EK KC Mặt khác EH EK nên EH HA EK KC EA EC b) Ta có AB CD EC EA Suy AB EA CD EC EB ED Câu a) Dựng OH CD H Theo định lí đường kính dây cung ta có HC HD Xét tam giác OMN có OM ON (giả thiết) nên tam giác OMN cân O Mặt khác OH MN nên OH đường cao đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác tam giác OMN Suy HM HN Ta có HC HD HM CM HN DN CM DN (vì HM HN ) Vậy CM DN b) Đặt HM x Ta có CM MN ND (giả thiết) HM HN (chứng minh trên) nên CH 3 x Vì AOB 90 (giả thiết) nên tam giác OMN vuông cân O tam giác OHM vuông cân H Suy OH HM x Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng OCH , ta có OC OH HC R x 3x x R 10 Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng MOH , ta có OM OH HM Vậy OM R R2 R2 R2 R OM 10 10 5