Bài 2 đồ thị hàm số y = ax2 (a khác 0)

BÀI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) Mục tiêu  Kiến thức + Mơ tả hình dạng đồ thị hàm số y ax  a 0  phân biệt chúng hai trường hợp a  0; a  + Phát biểu tính chất đồ thị liên hệ tính chất đồ thị với tính chất hàm số y ax  a 0   Kĩ + Vẽ đưực đồ thị hàm số y ax  a 0  + Vận dụng kiến thức học để làm tập có liên quan Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đồ thị hàm số y ax  a 0  Đồ thị hàm số y ax  a 0  đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong gọi parabol với đỉnh O * Nếu a  đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị * Nếu a  đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm cao đồ thị Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Hàm số nghịch biến x  Hàm số đồng biến x  đồng biến x  nghịch biến x  a0 a0 Hàm số Đồ thị hàm số y ax đường cong: * Đi qua gốc tọa độ O * Nhận Oy làm trục đối xứng Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y ax  a 0  Phương pháp giải Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y  x Bước Lập bảng giá trị tương ứng x y a) Ta có bảng giá trị hàm số y ax  a 0  x -2 -1 2 2 1 y x 2 2 Đồ thị hàm số y  x parabol (P) qua Bước Biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ vẽ đồ thị dạng parabol hàm số qua điểm vừa biểu diễn điểm 1  1  O  0;  ; A  1;  ; B   1;  ; C  2;  2  2  D   2;  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  m   x a) Biết đồ thị hàm số qua điểm A  1;   Vẽ đồ thị hàm số với giá trị m tìm b) Với giá trị m vừa tìm trên, I) Tìm điểm thuộc parabol có hồnh độ -4 II) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ -16 Hướng dẫn giải a) Đồ thị hàm số qua điểm A  1;   nên   m   12  m    m  Vậy với m  đồ thị hàm số qua điểm A  1;   Ta có hàm số y  x Ta có bảng giá trị: x -2 -1 Trang y  x -8 -2 -2 -8 Đồ thị hàm số y  x parabol (P) qua điểm O  0;  ; A  1;   ; B   1;   , C  2;   D   2;   2 Chú ý: Điểm M  xM ; yM  thuộc đồ thị hàm số y ax  yM axM b) Ta có hàm số y  x 2 I) Với x  thay vào hàm số y  x , ta được: y      32 Vậy đồ thị hàm số qua điểm M   4;  32  II) Với y  16 , thay vào hàm số y  x , ta được: 16 2 x  x 8  x 2    Vậy đồ thị hàm số qua điểm N 2;  16 P  2;  16  Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Vẽ đồ thị hàm số y  x y  x mặt phẳng tọa độ 2 Câu 2: Cho hàm số y  x có đồ thị parabol (P) a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ 1  b) Trong điểm M   2; 1 ; N  1; 1 Q   1;  điểm thuộc (P), điểm không thuộc (P)? 4  Câu 3: Cho hàm số y  x có đồ thị parabol (P) a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ b) Trong điểm A  2;  20  , B   1;   C  0;  3 điểm thuộc (P), điểm không thuộc (P)? Dạng 2: Xác định hệ số a hàm số y ax  a 0  Phương pháp giải 2 Để xác định hệ số a hàm số y ax  a 0  , ta Ví dụ: Cho hàm số y ax Tìm a để đồ thị hàm Trang vận dụng kết sau: Điểm M  xM ; yM  thuộc đồ thị hàm số y ax 3  số qua điểm M  ;  4  Hướng dẫn giải  yM axM2 3  Đồ thị hàm số qua điểm M  ;  4  khi: 32  3 a   2  a 2  a  12  4 Vậy a  32 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y mx Tìm m biết đồ thị hàm số qua điểm M   3;   Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số qua điểm M   3;   nên  m   3  m  Vậy với m  đồ thị hàm số qua điểm M   3;   2 Ví dụ Cho hàm số y  m   x a) Tìm m biết đị thị hàm số qua điểm M  1;  b) Với m tìm đồ thị hàm số có qua điểm B  2;  hay không? Hướng dẫn giải a) Đồ thị hàm số qua điểm M  1;  nên  m   12  m2  2  m2 4  m 2 Vậy m 2 m  b) Với m 2 , ta có y 2 x Thay tọa độ điểm B  2;  vào hàm số trên, ta có: 2.22  8 (vơ lí) Vậy đồ thị hàm số y 2 x không qua điểm B  2;  Bài tập tự luyện dạng a Câu 1: Cho hàm số y  x  a 0  Trang a) Xác định hệ số a hàm số biết đồ thị hàm số qua điểm A  2;   Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm b) Với giá trị a vừa tìm trên, hãy: I) Tìm điểm thuộc parabol nói có hồnh độ II) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ -9 III) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ gấp đơi hồnh độ Câu 2: Cho hàm số y  n  1 x  n 1 có đồ thị parabol (P)  a) Xác định n để (P) qua điểm A  6;  b) Với giá trị n vừa tìm trên, hãy: I) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ II) Tìm điểm (P) có hồnh độ III) Tìm điểm (P) cách hai trục tọa độ Dạng 3: Tương giao parabol đường thẳng Phương pháp giải 2 Cho parabol  P  : y ax  a 0  đường thẳng Ví dụ: Cho  P  : y ax  d  : y bx  c Xác  d  : y bx  c Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) (P) (d) ta làm sau: Bước Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): ax bx  c (*) Giải phương trình (*) để tìm nghiệm (nếu có) Bước Thay giá trị x tìm vào phương trình (P) (d) để tìm y Từ suy tọa độ giao điểm định tọa độ giao điểm (P) (d) Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) x  x   x  x  0  x  x  x  0  x  x     x   0 Chú ý: Số nghiệm (*) số giao điểm  x 1   x  1  x  3 0    x  (P) (d): +) Với x 1  y  2.1  1  A  1; 1 (P) (d) - Nếu (*) vơ nghiệm (d) khơng cắt (P) - Nếu (*) có nghiệm kép (d) tiếp xúc với (P) +) Với x   y    3  9  B   3;  A  1; 1 - Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt (d) cắt (P) Vậy giao điểm (P) (d) hai điểm phân biệt B   3;  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho  P  : y  x  d  : y  x  Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) Hướng dẫn giải Trang Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d), ta có x  x   x  x    x  x  x  0  x  x     x      x    x   0  x  0     x  0  x 4  x   +) Với x 4 ta có y 4  8  A  4;  +) Với x  ta có y   2  B   2;  Vậy giao điểm (P) (d) A  4;  B   2;  Ví dụ Cho parabol  P   x đường thẳng (d) có phương trình y m  (m tham số) Tìm m để: a) (d) (P) có điểm chung b) (d) (P) cắt hai điểm phân biệt c) (d) (P) khơng có điểm chung Hướng dẫn giải Ta có bảng giá trị x y  x -2 -4 -1 -1 0 -1 -4 Đồ thị  P  y  x qua điểm O  0;  ; A  1;  1 ; B   1;  1 ; C  2;   D   2;   Đồ thị  d  y m  đường thẳng song song với trục Ox Dựa vào đồ thị ta có kết quả: a) Để (d) (P) có điểm chung  m  0  m 2 b) Để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt  m    m  c) Để (d) (P) khơng có điểm chung  m   m  Bài tập tự luyện dạng Trang Bài tập Câu 1: Không vẽ đồ thị, tìm tọa độ giao điểm đò thị hàm số sau: a) y  x y  x b) y  x y 2 x  Câu 2: Cho hai hàm số: y  x y  x  2 a) Vẽ hai đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị Câu 3: Cho hàm số y  m   x y 2 x  a) Tìm m để đồ thị hai hàm số cắt điểm A có hồnh độ b) Với m tìm câu a) vẽ đồ thị hàm số y  m   x Bài tập nâng cao Câu 4: Cho  P  : y  x  d  : y m  a) Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm A B (P) (d) c) Tính diện tích ∆OAB (đvdt) Câu 5: Cho parabol  P  : y 3 x đường thẳng (d) có phương trình y  m  Tìm m để a) (d) (P) có điểm chung b) (d) (P) cắt hai điểm phân biệt c) (d) (P) khơng có điểm chung Câu 6: Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình  x  3m  0 theo m Dạng 4: Giải bất phương trình đồ thị Phương pháp giải Cho bất phương trình f  x   g  x  Ví dụ Giải bất phương trình sau đồ thị: x2  x   Hướng dẫn giải Bước Vẽ đồ thị y  f  x  y  g  x  mặt phẳng tọa độ x2  x    2x2  x  Xét  P  : y 2 x  d  : y x  Ta có đồ thị (P) (d): Trang Bước Xác định hoành độ giao điểm haì đồ thị đồ thị giải phương trình hồnh độ giao điểm Bước Tập nghiệm bất phương trình Dựa vào đồ thị, ta thấy (P) cắt (d) B   1;  f  x   g  x  tập hợp giá trị x hình chiếu phần đồ thị y  f  x  nằm đồ thị y  g  x  lên trục hoành  9 F ;   2  Phần parabol nằm phía (d) cung BOF (P) Chiếu vng góc cung lên Ox ta nghiệm bất phương trình   x  Ví dụ mẫu Ví dụ Giải bất phương trình sau đồ thị x  x   Hướng dẫn giải x2  x    x2  x  Xét  P  : y 2 x  d  : y  x  Ta có đồ thị (P) (d):  9 Dựa vào đồ thị, ta thấy (P) cắt (d) B   1;  F  ;   2 Trang 10 Xét phần parabol nằm phía (d) (chính parabol bỏ cung BOF) Chiếu vng góc phần lên Ox ta nghiệm bất phương trình x   x  Chú ý: Tập nghiệm bất phương trình f  x   g  x  tập hợp giá trị x hình chiếu phần đồ thị y  f  x  nằm đồ thị y  g  x  trục hồnh Ví dụ Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình: x  x Hướng dẫn giải Gọi  P  : y  x  d  : y  x Vẽ  P  : y  x  d  : y  x mặt phẳng tọa độ Dựa vào đồ thị, ta nhận thấy (P) cắt (d) điểm O điểm F xF   Xét phần parabol nằm phía (d) (parabol (P) trừ phần cung OAF (P)) Chiếu vuông góc phần lên Ox ta nghiệm bất phương trình x  x 0 Lưu ý: Hoành độ giao điểm hai đồ thị khó xác định thơng qua đồ thị, ta giải trực tiếp phương trình hồnh độ giao điểm để tìm nghiệm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho parabol  P  : y  3x đường thẳng  d  : y 2 x  a) Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ giao điềm (P) (d) c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình 3x  x  0 Trang 11 Câu 2: Cho parabol  P  : y  3x đường thẳng  d  : y 2 x  a) Vẽ (P) (d) mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) c) Dựa vào đò thị, giải bất phương trình x  x  Trang 12 ĐÁP ÁN Dạng Vẽ đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) Câu Ta có bảng giá trị x -2 -1 y  x2 3 y  x -6   -6 3  3   Đồ thị hàm số y  x parabol (P) qua điểm O  0;  ; A  1;  ; B   1;  ; C  2;  2    D   2;  Đồ thị hàm số y  3 3   x parabol (P') qua điểm O  0;  ; E  1;   ; F   1;   ; G  2;   2 2   H   2;   Câu a) Ta có bảng giá trị; x -4 -2 y  x2 4 1 Đồ thị hàm số y  x parabol (P) qua điểm O  0;  ; A  2; 1 ; B   2; 1 ; C  4;  D   4;  b) 2 +) Thay toạ độ điểm M   2; 1 vào phương trình hàm số y  x , ta có      1 (thỏa mãn) 4 Trang 13 Vậy điểm M   2; 1 thuộc đồ thị hàm số y  x 2 +) Thay toạ độ điểm N  1; 1 vào phương trình hàm số y  x , ta có    (vơ lí) 4 Vậy điểm N  1; 1 không thuộc đồ thị hàm số y  x 1 1 1  +) Thay toạ độ điểm Q   1;  vào phương trình hàm số y  x , ta có    1   (thỏa 4 4 4  mãn) 1  Vậy điểm Q   1;  thuộc đồ thị hàm số y  x 4  Câu a) Ta có bảng giá trị; x -2 -1 y  x -20 -5 -5 -20 Đồ thị hàm số y  x parabol (P) qua điểm O  0;  ; A  1;   ; B   1;   ; C  2;  20  D   2;  20  b) +) Thay toạ độ điểm A  2;  20  vào hàm số y  x , ta có:  20      20  20 (thỏa mãn) Trang 14 Vậy điểm A  2;  20  thuộc đồ thị hàm số y  x 2 +) Thay toạ độ điểm B   1;   vào hàm số y  x , ta có:     1    (thỏa mãn) Vậy điểm B   1;   thuộc đồ thị hàm số y  x +) Thay toạ độ điểm C  0;  3 vào phương trình hàm số y  x , ta có:   5.02   0 (vơ lí) Vậy điểm C  0; 3 không thuộc đồ thị hàm số y  x Dạng Xác định hệ số a hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Câu a a a) Đồ thị hàm số qua điểm A  2;          a  3 2 Vậy với a  Với a  đồ thị hàm số qua điểm A  2;  y  x 2 Ta có bảng giá trị: x y  x Đồ thị hàm số y  -2 -1 -2   2 -2 1  1  x parabol (P) qua điểm O  0;  ; A  1;   ; B   1;   ; C  2;   2  2  D   2;   b) (I) Với x 4 thay vào hàm số y  1 1 x , ta y     16  2 Vậy đồ thị hàm số qua điểm M  4;   Trang 15 (II) Với y  thay vào hàm số y  1 x , ta được:   x  x 18  x 3 2    Vậy đồ thị hàm số qua điểm N 2;  P  2;   (III) Giả sử M  x0 ; y0    P  có tung độ gấp đơi hồnh độ nên y0 2 x0 Ta có: x0   x0 0 1 x0  x02  x0 0  x0  x0   0   2  x0  Với x0 0 y 0  M  0;  Với x0  y   M   4;  Vậy điểm M  0;  M   4;  hai điểm phải tìm Câu    a) Đồ thị hàm số qua điểm A  6; nên  n  1   Vậy với n 2 đồ thị hàm số qua điểm A  6;   n  1  n 2  b) Với n 2 y  x I) Ta có bảng giá trị: x -2 -1 y x2 1 Đồ thị  P  : y  x qua điểm O  0;  ; A  1; 1 ; B   1; 1 ; C  2;  D   2;  II) Với x 2 thay vào phương trình hàm số y  x , ta y 22 4 Vậy đồ thị hàm số qua điểm C  2;  II) Giả sử điểm N  x0 ; y0    P  y0  x0 Theo đề bài, N cách Ox, Oy nên ta có:  x0  x02 x0  y0  y0 x0  x02 x0    x0  x0 Trang 16  x0 0  x0  x0  1 0     x0 1   x0  x0  1 0  x0   x0 0; y0 0  x 1; y 1   x0  1; y0 1 Vậy điểm cần tìm N1  0;  ; N  1; 1 ; N   1; 1 Dạng Tương giao parabol đường thẳng Bài tập Câu a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị, ta có:  x 0 1 1  x  x  x  x 0  x  x   0    x 1 4 4   Với x 0  y 0  M  0;  1 1  Với x   y   N  ;  16  16  1  Vậy giao điểm hai đồ thị hàm số y  x y  x M  0;  N  ;   16  b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị, ta có  x  x 2 x   x  x  0  x  x  x  0  x  x  3   x  3 0   x  1  x  3 0    x 3 * Với x   y 1  M  1; 1 * Với x 3  y 9  N  3;9  Vậy giao điểm hai đồ thị hàm số y  x y 2 x  M  1;1 N  3;9  Câu a) Ta có bảng giá trị: x -2 -1 y  x2 2 2 1  1  Đồ thị  P  : y  x qua điểm O  0;0  ; A  1;  ; B   1;  ; C  2;  D   2;  2  2  y  x x 3 Đồ thị  d  : y  x  qua điểm E  0;3 C  2;  Trang 17 b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị, ta có 1 x  x   x  x     x    x   0  2  x 2  x   * Với x 2  y 2  C  2;  9  * Với x   y   N   3;  2  9  Vậy giao điểm hai đồ thị hàm số y  x y  x  C  2;  N   3;  2 2  Câu a) Điểm A thuộc đường thẳng y 2 x  Mà A có hồnh độ nên thay x 3 vào hàm số y 2 x  , ta được: y 2.3  2  A  3;  Lại có A giao điểm parabol y  m   x đường thẳng y 2 x  , suy A thuộc parabol 16 y  m   x nên  m   32  m    m  9 Vậy m  16 đồ thị hai hàm số cắt điểm A có hồnh độ b) Với m  16  y  x2 9 Trang 18 Ta có bảng giá trị: x -3 -1 y  x2 2 9 2 2  1  Đồ thị hàm số y  x qua điểm O  0;0  ; A  1;  ; B   1;  ; C  3;  D   3;  9  2  Bài tập nâng cao Câu a) Ta có bảng giá trị: x -2 -1 y  x -4 -1 -1 -4 Đồ thị  P  : y  x qua điểm O  0;0  ; A  1;  1 ; B   2;   ; C  2;   D   1;  1 x y x  -2 -1 Đồ thị  d  : y  x  qua điểm E  0;   A  1;1 b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) ta có:  x 1  x  x   x  x  0   x  1  x   0    x  * Với x 1 y   A  1;  1 * Với x  y   B   2;   Vậy giao điểm (P) (d) A  1;  1 B   2;   Trang 19 b) Gọi G, H hình chiếu A, B trục hồnh Ta có: S OAB  S ABHG  S BHO  S AGO Lại có: S ABHG  BH  AG 1 1 HG  7,5 (đvdt) ; S BHO  BH HO  4.2 4 (đvdt) 2 2 1 S AGO  AG.OG  1.1 0,5 (đvdt)  S OAB 7,5   0,5 3 (đvdt) 2 Câu Ta có bảng giá trị: x -2 -1 y 3 x 12 3 12 Đồ thị  P  : y 3 x qua điểm O  0;0  ; A  1;3 ; B   1;3 ; C  2;12  D   2;12  Đồ thị  d  : y  m  đường thẳng song song với trục Ox Dựa vào đồ thị, ta có kết quả: a) Để (d) (P) có điểm chung   m  0  m 4 b) Để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt   m    m  c) Để (d) (P) khơng có điểm chung   m    m  Trang 20