Bài 2 hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn + Nắm cách minh họa tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn + Hiểu khái niệm hệ phương trình tương đương  Kĩ + Biết kiểm tra số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn mà khơng cần giải hệ phương trình + Xác định cặp số  x0 ; y0  có phải nghiệm hệ phương trình + Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp đồ thị Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn Ví dụ: Cho hai phương trình x  y 3 x  y 1 , Cho hai phương trình ax  by c x  y 3 ax  by c ta có hệ phương trình bậc ta có hệ phương trình bậc hai ẩn x  y 1  hai ẩn  Ví dụ: Thay x 1; y 1 vào ax  by c (1) ax  by c +) phương trình x  y 3 , ta có  2.1 3 Nghiệm hệ phương trình bậc hai Vậy cặp số ẩn - Nếu hai phương trình ax  by c ax  by c có nghiệm chung  x0 ; y0  +) phương trình x  y 1 , ta có 2.1  1  x0 ; y0  nghiệm hệ phương trình x  y 3 x  y 1 Ví dụ 1: Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn gọi nghiệm hệ (1) - Nếu hai phương trình ax  by c   1;1 ax  by c khơng có nghiệm chung ta nói hệ (1) vơ nghiệm x  y 3 biểu diễn đường thẳng y  x  Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn x  y 4 biểu diễn đường thẳng y  x  - Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm (tập nghiệm) hệ Minh họa tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn Mỗi nghiệm phương trình ax  by c biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ Oxy thuộc đường thẳng ax  by c Vậy mặt phẳng tọa độ gọi  d  đường thẳng ax  by c  d  đường thẳng ax  by c , tập nghiệm hệ Hai đường thẳng y  x  y  x  có giao điểm phương trình  ax  by c tập hợp A  1;  Vậy nghiệm hệ phương trình x  y 3 ax  by c x  y 4  điểm chung  d   d  Chú ý: Đối với hệ  x; y   1;  phương trình Ví dụ 2: Hệ phương trình  ax  by c ta có ax  by c  x  y 3 vô nghiệm x  y 2 đường thẳng y  x  song song với đường thẳng y  x  Trang - Nếu  d  cắt  d  hệ (1) có nghiệm - Nếu d trùng  d  hệ (1) có vơ số nghiệm - Nếu d song song  d  hệ (1) vơ nghiệm Vậy đốn số nghiệm hệ phương trình  ax  by c dựa vào xét vị ax  by c trí tương đối hai đường thẳng d x  y 3 x  y 3 Ví dụ: x  y 1  x  y 2 chúng có tập  d    nghiệm S   1;1  Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình tương đương chúng có tập nghiệm Dùng kí hiệu  để tương đương hai hệ phương trình SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xác định số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn mà khơng giải hệ phương trình Trang Bài toán 1: Xác định số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn mà khơng giải hệ phương trình Phương pháp giải Xác định số nghiệm hệ phương trình  Ví dụ: Xác định số nghiệm hệ phương trình ax  by c mà khơng giải hệ phương trình ax  by c  Bước Xác định phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm hai phương trình ax  by c ax  by c Bước Xét tương giao hai đường thẳng  d  : ax  by c  d  : ax  by c x  y  mà khơng giải hệ phương trình x  y 2 Hướng dẫn giải Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y  y  x  Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 3x  y 2 y 3x  Bước Kết luận Xét vị trí tương đối hai đường thẳng - Nếu d song song d  hệ phương trình vơ y  x  y 3x  nghiệm - Nếu d cắt d  hệ phương trình có nghiệm Vì  3 nên đường thẳng y  x  cắt đường thẳng y 3x  điểm - Nếu d trùng d  hệ phương trình có vơ số Vậy hệ phương trình nghiệm  x  y  có nghiệm x  y 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Xác định số nghiệm hệ phương trình  x  y 5 mà khơng giải hệ phương trình x  y 7 Hướng dẫn giải Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y 5 y  x 3 Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y 7 y  Xét vị trí tương đối hai đường thẳng y  x x  y  x  3     Vì  nên đường thẳng y  x  song song với đường thẳng y  x  3   3 Vậy hệ phương trình  x  y 5 vơ nghiệm x  y 7 Trang Ví dụ Xác định số nghiệm hệ phương trình  x  y 5 mà khơng giải hệ phương trình x  y 10 Hướng dẫn giải Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y 5 y 2 x  Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y 10 y 2 x  Hai đường thẳng y 2 x  y 2 x  trùng Vậy hệ phương trình  x  y 5 có vơ số nghiệm x  y 10 Bào tốn 2: Tìm m để hệ phương trình bậc hai ẩn có số nghiệm thỏa mãn Phương pháp giải Xác định điều kiện tham số m để hệ phương Ví trình  ax  by c có số nghiệm thỏa mãn yêu cầu ax  by c đề dụ: Tìm m để hệ phương trình  mx  y 5  2m  3 x  y 7 có nghiệm  Hướng dẫn giải Bước Xác định phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm biểu diễn tập nghiệm hai phương trình phương trình mx  y 5 y  mx  ax  by c ax  by c Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm Bước Dựa vào yêu cầu số nghiệm - Hệ phương trình có nghiệm hai đường thẳng  d  : ax  by c  d  : ax  by c cắt - Hệ phương trình vơ nghiệm hai đường thẳng  d  : ax  by c  d  : ax  by c song song - Hệ phương trình có vơ số hai đường thẳng  d  : ax  by c  d  : ax  by c trùng Bước Thiết lập phương trình chứa tham số m phương trình  2m  3 x  y 7 y   2m  3 x   mx  y 5 Để hệ phương trình  2m  x  y 7 có nghiệm   hai đường thẳng y  mx  y   2m  3 x  cắt Để đường thẳng y  mx  cắt đường thẳng y   2m  3 x   m  2m  dựa vào quan hệ đường thẳng +)  m  2m   m 3 Bước Giải kết luận  mx  y 5 Vậy để hệ phương trình  2m  x  y 7 có   nghiệm m 3 Ví dụ mẫu x  y 5 Ví dụ Tìm m để hệ phương trình mx  y 3 vơ nghiệm  Hướng dẫn giải Trang Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y 5 y  x  Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình mx  y 3 y  mx  Để hệ phương trình  x  y 5 vơ nghiệm hai đường thẳng y  x  y  mx  song song mx  y 3 với Để đường thẳng y  x  song song với đường thẳng y  mx  Vậy để hệ phương trình     m  m 2 3 x  y 5 vơ nghiệm m 2 mx  y 3  x  y m Ví dụ Tìm m để hệ phương trình  có vơ số nghiệm  2mx  y 1 Hướng dẫn giải Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình  2x  y m y 2 x  m Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 2mx  y 1 y  2mx   x  y m Để hệ phương trình  có vơ số nghiệm hai đường thẳng y 2 x  m y  2mx  mx  y   trùng   2m  m  Để đường thẳng y 2 x  m trùng với đường thẳng y  2mx    m 1  x  y m Vậy để hệ phương trình  có vơ số nghiệm m   2mx  y 1 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm số nghiệm hệ phương trình    x  y 4 mà không giải hệ phương trình x  y 3  x  y 7 Câu 2: Tìm số nghiệm hệ phương trình  x  y 11 mà khơng giải hệ phương trình Câu 3: Tìm số nghiệm hệ phương trình x  y 2 mà khơng giải hệ phương trình  x  y   mx  y 6 Câu 4: Tìm m để hệ phương trình x  y 3 có nghiệm   x  my 6 Câu 5: Tìm m để hệ phương trình  x  3m  y 3 vô nghiệm     m x  y m Câu 6: Tìm m để hệ phương trình  có vơ số nghiệm  x  y 2  2m  1 x  y 2 Câu 7: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình  có nghiệm 3mx  y 3 Trang  mx   2m  1 y 4 Câu 8: Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình  vô nghiệm 3 x   2m  1 y 3 ĐÁP ÁN Câu 1: Đường thẳng x  y 4  y  x  cắt đường thẳng x  y 3  y  x  điểm  Vậy hệ phương trình x  y 4 có nghiệm x  y 3 Câu 2: Đường thẳng  x  y 7  y 2 x  song song với đường thẳng  x  y 11  y 2 x  11  x  y 7 Vậy hệ phương trình  x  y 11 vơ nghiệm  Câu 3: Đường thẳng 3x  y 2  y  x  trùng với đường thẳng  x  y   y  3x   Vậy hệ phương trình x  y 2 có vơ số nghiệm  x  y  Câu 4: Để hệ phương trình   mx  y 6 có nghiệm hai đường thẳng  mx  y 6  y mx  x  y 3 x  y 3  y  x  cắt Suy m  Vậy với m  hệ phương trình cho có nghiệm Câu 5:  x  my 6 Để hệ phương trình  x  3m  y 3 vô nghiệm hai đường thẳng x  my 6  y  x    m m   m 0  x   3m  1 y 3  y  1  m  3m   Suy     m 3m  Vậy với m  1  x  m   song song với 3 3m  3m    m 5  m  m   hệ phương trình  x  my 6  x   3m  1 y 3 vô nghiệm  Câu 6:  m2 x  y m Để hệ phương trình  có vơ số nghiệm hai đường thẳng m x  y m  y  m x  m x  y    m   m 2 x  y 2  y  x  trùng Suy   m 2 Trang  m x  y m Vậy với m 2 hệ phương trình  có vơ số nghiệm  x  y 2 Câu 7: Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn  2m  1 x  y 2 y   2m  1 x  Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn 3mx  y 3 y  3m x 2  2m  1 x  y 2 Để hệ phương trình  có nghiệm hai đường thẳng y   2m  1 x  3mx  y 3 y  3m x  cắt 2 Hai đường thẳng y    2m  1   3m x  y   2m  1 x  cắt 2  3m  m  3m  m 2  2m  1 x  y 2 Vậy với m 2 hệ phương trình  có nghiệm 3mx  y 3 Câu 8: Hệ phương trình Xét m  a b c ax  by c a 0 '; b 0 c 0 ) vô nghiệm   ( ax  by c a b c 1 hệ phương trình có dạng Vậy với m  Xét m   1 hệ phương trình 1 để hệ   x  y 4  2 3 x 3 9  y    x 1  mx   2m  1 y 4 có nghiệm  3 x   2m  1 y 3  mx   2m  1 y 4 m 2m    vơ nghiệm  2m  3 x   2m  1 y 3 Xét m   m 4 (1) 3 Xét m 2m    m  2m  1 3  2m  1  2m  m 6m   2m  5m  0 2m   2m  2m  3m  0  2m  m  1   m  1 0   2m  3  m  1 0 Trang Trường hợp 1: 2m  0  m  (2) Trường hợp 2: m  0  m 1 (3) Từ (1); (2); (3) suy với m  ; m 1 hệ phương trình  mx   2m  1 y 4 vô nghiệm  3 x   2m  1 y 3 Dạng 2: Xét cặp  x0 ; y0  có phải nghiệm hệ phương trình khơng? Bài tốn 1: Xét cặp  x0 ; y0  có phải nghiệm hệ phương trình khơng? Phương pháp giải Xét cặp  x0 ; y0  có phải nghiệm hệ phương Ví dụ: Cặp số  x; y   1;  có phải nghiệm  Bước Thay  x0 ; y0   x  y 5 hệ phương trình x  y 5 hay không?  ax  by c ax  by c khơng? vào hệ phương trình ax  by c ax  by c Bước Kiểm tra giá trị vế phương trình hệ Bước Kết luận  ax  by c - Nếu  ax0  by0 c  x0 ; y0  nghiệm  hệ phương trình Hướng dẫn giải x  y 5 Xét hệ phương trình x  y 5  Với cặp số  x; y   1;  thay vào hệ ta có   2.2 5 5  3.1  5 5  Vậy cặp số  x; y   1;  nghiệm hệ phương x  y 5 trình x  y 5  - Nếu hai phương trình ax0  by0 c ; ax0  by0 c không thỏa mãn  x0 ; y0  khơng phải nghiệm hệ phương trình Ví dụ mẫu x  y 3 Ví dụ Cặp số  x; y   2;  1 có phải nghiệm hệ phương trình  x  y 4 hay không?  Hướng dẫn giải  2.2    1 3 3  Với cặp số  x; y   2;  1 , thay vào hệ ta có   4 (vơ lí)  2.2        x  y 3 Vậy cặp số  x; y   2;  1 nghiệm hệ phương trình  x  y 4  x 3 Ví dụ Xét cặp số  x; y   3;   có phải nghiệm hệ phương trình x  y  không?  Trang Hướng dẫn giải 3 3 3 Với cặp số  x; y   3;   , thay vào hệ ta có 3           Vậy cặp số  x; y   3;   nghiệm hệ phương trình  x 3 x  y  Bài toán 2: Tìm m để cặp  x0 ; y0  nghiệm hệ phương trình Tìm m để cặp  x0 ; y0  nghiệm hệ phương Ví dụ: Tìm m để cặp số trình  ax  by c ax  by c  x0 ; y0  Bước Thay  hệ phương trình  x; y   1;1  x  y 2 mx  y 7  x  y 2 mx  y 7 nghiệm vào hệ phương trình Hướng dẫn giải Xét hệ phương trình ax  by c ax  by c Bước Thiết lập giải phương trình chứa tham số m Bước Kết luận Vì cặp số   x; y   1;1 nghiệm hệ x  y 2  2 2  nên mx  y 7 m.1  7 m 6   Vậy với m 6 hệ phương trình  x  y 2 mx  y 7 nhận  x; y   1;1 làm nghiệm Ví dụ mẫu  x  Ví dụ Tìm m để cặp số  x; y    1;  nghiệm hệ phương trình  mx  m  y 5    Hướng dẫn giải  x  Xét hệ phương trình  mx  m  y 5       Vì cặp số  x; y    1;  nghiệm hệ phương trình nên  m   m  5             m  5 m 7   x  Vậy với m 7 hệ phương trình  mx  m  y 5 nhận  x; y    1;  nghiệm     x   m  1 y 5 Ví dụ Tìm m để cặp số  x; y   2;1 nghiệm hệ phương trình   m x   3m  1 y 3 Hướng dẫn giải Trang 10  x   m  1 y 5 Xét hệ phương trình   m x   3m  1 y 3  x   m  1 y 5 Vì cặp số  x; y   2;1 nghiệm hệ phương trình   m x   3m  1 y 3 2.2   m  1 5  nên  m   3m  1 3 m  1  2m  3m  0 +) m  1  m 2 ; +) 2m  3m  0  2m  4m  m  0  2m  m     m   0   2m  1  m   0 1  m    m 2  Kết hợp ta m 2 giá trị cần tìm  x   m  1 y 5 Vậy với m 2 hệ phương trình  nhận cặp số  x; y   2;1 nghiệm  m x   3m  1 y 3 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cặp số  x; y   1;   có phải nghiệm hệ  x  y  khơng? Vì sao? x  y 0 Câu 2: Cho cặp số  x; y     2;1 ;  1;  ;  2;  1 ;   1;   Cặp số nghiệm hệ phương trình  x  y 0 ? x  y 5 Câu 3: Cặp số  x; y   3;1 nghiệm hệ phương trình hệ phương trình sau? a)  x  y 5 x  y 3 b)  x  y 4 x  y 2 c)  x 3 x  y  d)  x  y 7 x  y 2  x  y 3 Câu 4: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình mx  y 2 nhận  x; y    1;1 nghiệm Câu 5: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình   x m nhận cặp số  x; y   2;3 nghiệm x  y 4  mx  y 5 Câu 6: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình  nhận cặp số  x; y   2;1 nghiệm  m x  6my  ĐÁP ÁN Câu 1: Xét hệ phương trình  x  y  x  y 0 Trang 11 1         Thay  x; y   1;   vào hệ phương trình ta có  0  2.1     0  Vậy cặp số  x; y   1;   nghiệm hệ phương trình  x  y  x  y 0 Câu 2: Thay cặp số vào ta thấy có cặp  x; y   2;1 thỏa mãn nên cặp  x; y   2;1 nghiệm hệ phương trình Câu 3: Thay cặp số  x; y   3;1 vào hệ phương trình ta thấy thỏa mãn hệ phương trình  x; y   3;1 nghiệm hệ   x  y 7 nên cặp x  y 2 x  y 7 không nghiệm hệ phương trình cịn lại x  y 2 Câu 4:     1  2.1 3  m  Thay x  1; y 1 vào hệ ta có   m   1  2 Vậy với m  hệ phương trình   x  y 3 nhận  x; y    1;1 làm nghiệm mx  y 2 Câu 5: Để hệ phương trình nhận cặp số  x; y   2;3 làm nghiệm  m m  (vơ lí) 2.2  4 4  x m Vậy không tồn m để hệ phương trình x  y 4 nhận cặp số  x; y   2;3 nghiệm  Câu 6: m.2  5  m 2   Để hệ phương trình nhận cặp số  x; y   2;1 nghiệm  m  6m.1   2m  6m  0  m 1 2 Xét phương trình 2m  6m  0  m  3m  0   m  1  m   0   m 2   mx  y 5 Vậy với m 2 hệ phương trình  nhận cặp số  x; y   2;1 nghiệm  m x  6my  Dạng Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp đồ thị Phương pháp giải Giải hệ phương phương pháp đồ thị trình  ax  by c x  y 3 ax  by c Ví dụ: Giải hệ phương trình  x  y   phương pháp đồ thị Trang 12 Bước Biểu diễn tập nghiệm hai phương Hướng dẫn giải trình ax  by c ; ax  by c Xét hệ phương trình hệ trục tọa độ  x  y 3  x  y  Bước Xác định giao điểm hai đường Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm thẳng ax  by c ax  by c phương trình x  y 3 có dạng  d  : y  x  Bước Kết luận giao điểm hai đường Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm thẳng ax  by c ax  by c nghiệm hệ phương trình  ax  by c ax  by c phương trình  x  y  có dạng  d  : y 2 x  Xét đường thẳng  d  : y  x  x y Đường thẳng  d  qua hai điểm  0;3 ;  1;1 Xét đường thẳng  d  : y 2 x  x y 1 Đường thẳng  d  qua hai điểm  0;  1 ;  1;1 Tọa độ giao điểm hai đường thẳng  d   d  A  1;1 Vậy nghiệm hệ phương trình  x  y 3  x  y   x; y   1;1 Ví dụ mẫu Trang 13 Ví dụ Giải hệ phương trình  y 2 phương pháp đồ thị x  y 3 Hướng dẫn giải Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình y 2 qua điểm A  0;  song song với trục Ox Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y 3  d  : y  x  Xét đường thẳng  d  : y  x  x y 3 Đường thẳng  d  qua hai điểm  0;3 ;  3;0  Đồ thị hai hàm số y 2 y  x  hình vẽ Tọa độ giao điểm hai đường thẳng y 2 y  x  M  1;  Vậy nghiệm hệ phương trình  y 2 x  y 3  x; y   1;  x  y 2 Ví dụ Giải hệ phương trình x 2 phương pháp đồ thị  Hướng dẫn giải Xét phương trình x 2 Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x 2 qua điểm A  2;0  song song với trục Oy Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y 2  d  : y 2 x  Xét đường thẳng  d  : y 2 x  x y 2 Đường thẳng  d  qua hai điểm  0;   ;  1;0  Đồ thị hai hàm số x 2 y 2 x  hình vẽ Trang 14 Tọa độ giao điểm hai đường thẳng x 2 y 2 x  M  2;  x  y 2 Vậy nghiệm hệ phương trình x 2  x; y   2;   Bài tập tự luyện dạng  3x  y  Câu 1: Xác định nghiệm hệ phương trình x  y 3 phương pháp đồ thị Câu 2: Xác định nghiệm hệ phương trình   x  y 5 phương pháp đồ thị x  y 4 ĐÁP ÁN Câu 1: Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình  x  y  y 3x  x y 2 Đường thẳng y 3x  qua hai điểm  0;   ;  1;1 Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y 3 y  x  x y Đường thẳng y  x  qua hai điểm  0;3 ;  1;1 Đồ thị hai hàm số y 3x  y  x  hình vẽ: Trang 15 Tọa độ giao điểm hai đường thẳng y 3x  y  x  A  1;1  3x  y  Vậy nghiệm hệ phương trình x  y 3  x; y   1;1  Câu 2: Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x  y 5 y  x  x y Đường thẳng y  x  qua hai điểm  0;5  ;  2;1 Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình 3x  y 4 y  x  x y 2 Đường thẳng y  x  qua hai điểm  0;   ;  2;1 Đồ thị hai hàm số y  x  y  x  hình vẽ: Trang 16 Tọa độ giao điểm hai đường thẳng y  x  y  x  A  2;1 2 x  y 5 Vậy nghiệm hệ phương trình x  y 4  x; y   2;1  Trang 17