Chuyên đề 16 số nguyên tố

111Equation Chapter Section 1CHUYÊN ĐỀ 16: SỐ NGUYÊN TỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN a  1 cần chứng rỏ a không chia hết cho số Để kết luận số a số nguyên tố  nguyên tố mà bình phương khơng vượt q a Để chứng tỏ số tự nhiên a  hợp số, cần ước khác khác a - Cách xác định số lượng ước số: x y z Nếu số M phân tích thừa số nguyên tố M a b c số lượng ước x  1  y  1  z  1 M  Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Từ suy +Số phương chia hết cho 2, phải chia hết cho 2 +Số phương chia hết cho phải chia hết cho 3 +Số phương chia hết cho phải chia hết cho +Số phương chia hết cho phải chia hết cho - Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố: Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p ap bp n Đặc biệt a p ap + ước nhỏ khác hợp số số ngun tố bình phương lên khơng vượt q +Mọi số nguyên tố lớn có dạng : 4n 1 +Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n 1 Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố đơn vị Một số tổng ước (khơng kể số đó) gọi “ Số hồn chỉnh” Ví dụ 1   nên số hoàn chỉnh B CÁC DẠNG BÀI TẬP C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) Bài Tìm số nguyên tố p cho p  2; p  số nguyên tố Bài Cho p số nguyên tố lớn Biết p  số nguyên tố Chứng minh p  chia hết cho p  3 Chứng minh p  hợp số Bài Cho p, p  số nguyên tố  n Bài Cho a, n  *, biết a 5 Chứng minh : a  15025 Bài Cho a  b  p, p số nguyên tố Chứng minh a b nguyên tố 2 2 Bài Nếu a  b số nguyên tố a  b a  b Bài Chứng minh tổng bình phương số nguyên lớn số nguyên tố n 8 a ; n  , n  n  Bài 8.Cho Định m để a số nguyên tố Bài Dùng bảng số nguyên tố nhỏ 100 nêu cách kiểm tra số nhỏ 1000 có số nguyên tố hay khơng ? Xét tốn số 259; 3531 Bài 10.Có tồn 1000 số tự nhiên liên tiếp hợp số hay không ? Đáp án từ đến 10 Bài Vì p số ngun tố nên p có dạng sau: 3k ,3k  1,3k  với k số tự nhiên Nếu p 3k p 3  p  5,p  7 số nguyên tố Nếu p 3k  p  3k  3(k  1) chia hết cho lớn nên p+2 hợp số, trái giả thiết p  3k  3  k   chia hết cho lớn nên p  Nếu p 3k  hợp số, trái với giả thiết Vậy p 3 số nguyên tố cần tìm Bài Do p số nguyên tố lớn nên p lẻ  p  số chẵn nên p  12 p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k  3k  2( k  ) (1) Dạng p 3k  không xảy Dạng p 3k  cho ta p  3k  33 (2) Từ (1) (2) suy p  16 Bài p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k  3k   k   Nếu p 3k  p  3k  chia hết hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k  p  3k  chia hết cho Nên p  hợp số n Bài Có a 5 mà số nguyên tố nên a5  a 25 Mặt khác 15025 nên a  15025 Bài Giả sử a b không nguyên tố nhau, ta suy a b có ước số d  ad , bd  a  bd  pd , d  Điều vơ lý p số nguyên tố Vậy a, b hai số nguyên tố Bài 2 a  b  a  b   a  b  Ta có: 2 Nếu a  b   a  b   a  b hợp số, trái với giả thiết Do ta có a  b 1  1 2 Mặt khác a  b số nguyên tố  a  b (2) 2 Từ (1) (2)  a  b 1 Vậy a  b a  b Bài Số nguyên tố lớn có dạng dạng 6m  1, m   k  1 k   mà k 1 nên bình phương chúng có Do tổng bình phương số nguyên tố 6n  33, n  Điều chứng tỏ tổng bình phương số nguyên tố lớn hợp số Bài Ta có 2n  hai số nguyên tố Suy a    2a   Ta có: 2a   n    2n    21 21  1  2n  2n  2n   2n     1;3;7;21 Vì 2a số tự nhiên nên ta có: 212n   2n  2n  2n  2n  1  n 3  a 11(tm) 3  n 4  a 4(ktm) 7  n 6  a 2(tm) 26  n 13  a 1( ktm) Vậy n 3; n 6 Bài Cho số n  10000  n  1 Nếu n chia hết cho số k hợp số Nếu n khơng chia hết cho số nguyên tố p  p2  n   k  n  n n số nguyên tố Số 259 chia hết hợp số Số 353 không chia hết cho tất số nguyên tố Bài 10 Có Gọi a 2.3.4 1001 Các số A  2; A  3; A  4; ; A  1001 1000 số tự nhiên liên tiếp rõ ràng hợp số (đpcm) ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11.Chứng minh có hữu hạn số nguyên tố Bài 12.Cho số tự nhiên n  Chứng minh số n ! có ước ngun tố lớn n 2 Bài 13.Chứng minh tồn vô số số tự nhiên n cho n x  p p số nguyên tố x số tự nhiên n  n  1 1 Bài 14.Tìm tất số nguyên tố có dạng m n Bài 15.Chứng minh số  số nguyên tố n 2 p p Bài 16 Giả sử p số nguyên tố Chứng minh tổng  biểu diễn m dạng x (x m hai số tự nhiên m  1) m n Bài 17.Chứng minh số  số nguyên tố n 2 Bài 18.Chứng minh với số nguyên tố p  không tồn đẳng thức  p  1 !  p m với m tự nhiên Bài 19.Cho a,b, p số tự nhiên Chứng minh ta tìm hai số k, l nguyên tố cho ak  pl chia hết cho p c b a Bài 20.Cho ba số tự nhiên a, b, c cho số q b  a, q a  c, r c  b số nguyên tố Chứng minh hai ba số p,q,r ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11.Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p1 , p2 , , pn , pn số lớn số nguyên tố p  i  n Xét số A  p1 p2 pn  A chia hết cho số nguyên tố i  dư (1) Mặt khác A hợp số (vì lớn số nguyên tố lớn pn ) , A phải chia hết cho số nguyên tố đó, tức A chia hết cho số số pi   i  n  (2), mâu thuẫn với (1) Vậy có hữu hạn nguyên tố (đpcm) Bài 12 Gọi a n! Do n   a  Một số tự nhiên lớn có ước nguyên tố Gọi p ước nguyên tố a Ta chứng minh p  n Thật vậy, giả sử p  n tích 1.2.3 n chia hết cho p, ta có n ! chia hết cho p, mà a chia hết cho p nên chia hết cho p, vô lý 2 Bài 13.Lấy n 3k  (k số tự nhiên) Từ đẳng thức n x  p Suy p n  x  n  x   n  x  Vì p nguyên tố n  x nên n  x 1 n  x  p Từ p 2n  3  2k  1 , điều xảy Vậy số có dạng 3k  (có vơ số thế) khơng thể biểu diễn dạng x  p n  n  1 n  n  1  n  1  n    1 1 2 Bài 14.Với n  , từ đẳng thức ta thấy số hợp số Thật thế, với n 2k Ta có : n  n  1 n  n  1   2k  1  k  1  k  2k  3 2 với n 2k  , ta có Nếu n 2 ta có số nguyên tố 2, n=3 ta có số nguyên tố Bài 15.Giả sử n 2m , viết dạng n tk , k lẻ lớn  2n  2tk   2t  1 t ( k  1)  2t ( k  2)   2t  1) hợp số n Vậy điều giả sử sai  theo đề số nguyên tố 2 m Bài 16.Nếu p 2   13  x (trong x, m số tự nhiên m  1) Giả sử p số ngun tố Thế p  p   3  p   p  2.3  p  3.32   p   5a p p p Trong a 2    k Lưu ý k 3k    5 Bk     , Bk số nguyên Vậy : A 2 p   p   B1    p   B2  22     B p   p   5 B  p.2 p  , : B  B0  B1  p  3B2   B p  p  p 5  B  p.2 p   25 B  p.2 p  Suy p p m Đặt   x , x, m số tự nhiên m  Ta có : 25 B  p.2 p   x Do x chia hết cho p m Nhưng m  nên x 25 Lại có p 5  p.2 không chia hết cho 25) 5 m Nếu p 5  275  x với m  Bài 17 Giả sử n 2m , viết dạng n tk , k số lẻ lớn Suy 2n  2tk   2t  1 t ( k  1)  t  k     2t  hợp số n Vậy điều giả sử sai  theo đề số nguyên tố p  1 !  p m , p  1 Bài 18.Giả sử với m tự nhiên ta có đẳng thức     m  p  1 p m  p m   p  p  chia hết cho  p m  1   p m      p  1  m t Vì p-1 chia hết p  với t 1, 2, , m  nên suy p  chia hết m Vì m  p  1& p m  p p    p  1 p   ( p  1)! , điều trái giả thiết Bài 19 UCLN số b p-a d Suy b kd , p  a ld , k l nguyên tố Nhưng ak  bl a b p a b  b  p kp p (dfcm) d d d Bài 20.Hai số a, b, c có tính chẵn lẻ, giả sử hai số a, b c c Vì b tính chẵn lẻ b nên p b  a chẵn Nhưng p số nguyên tố nên p 2  a b 1 Khi q 1b  c c n  r ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Bài 21.Giả sử p>2 số nguyên tố Chứng minh p biểu diễn cách 1   p x y với x, y hai số nguyên dương khác dạng Bài 22.Tìm tất số tự nhiên N (theo hệ thập phân) thỏa mãn điều kiện sau : N aabb, aab abb số nguyên tố Bài 23.Tìm số tự nhiên p cho p p  số nguyên tố Bài 24.Tìm số nguyên tố p cho p  p  số nguyên tố Bài 25.Chứng tỏ p a  b số nguyên tố a, b hai số nguyên tố Bài 26.Cho a, b hai số nguyên tố Chứng minh ab; a  b nguyên tố Bài 27.Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 601 100 Bài 28.Cho A 5     a) Số A số nguyên tố hay hợp số b) Số A có phải số phương hay khơng ? Bài 29.Số 54 có ước ? Viết tất ước Bài 30 Gọi d( N ) số ước N Tìm tất số N cho N/d(N)=p với p số nguyên tố (lưu ý: số N coi ước N) ĐÁP ÁN TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 1   p x y với 2xyp chuyển 2xp yp từ Bài 21.Nhân hai vế phương trình vế phải sang vế trái , sau cộng thêm p vào vế, ta biến đổi phương trình thành 2x  p   y  p   p2  dạng Do x y số phân biệt nên thừa số vế trái phương trình phân biệt Vậy tích chúng p trường hợp hai thừa số 1, thừa số p Giả sử x  p 1; y   p x p 1 p 1 , y  p 2 Trường hợp thứ hai khác x y đổi chỗ cho Bài 22.Do aab số nguyên tố, tức 110a  b số nguyên tố ta có b 1,3,7 N 11 100a  b  Từ điều kiện thứ nhất, ta có : Theo bảng số nguyên tố ta tìm cặp số nguyên tố aab abb thỏa mãn điều kiện thứ sau :  223;233 ,  227;277  ,  331;311 ,  443;433 ,  449;499  ,  557;577  ,  773;733 ,  881;811 ,  887;877  ,  991;911 ,  997;977  Tương ứng với 100a  b số sau : 203 7.29; 207 9.23; 301 7.43 403 13.31, 409 = số nguyên tố 507 3.132 ;703 19.37;801 32.89,807 3.269;901 17.53;907 số nguyên tố Vậy N 8877 3.11.269 Bài 23 Một số tự nhiên có hai dạng : 2n,2n  1 n   Nếu p 2n  p  2n  42 Ta có p   p  32  p  hợp số (trái với đề bài) Do p 2n mà p nguyên tố nên p 2  p  5 nguyên tố Vậy p=2 Bài 24.Bất kỳ số tự nhiên có dạng 3n;3n  1;3n   n   Nếu p 3n  p  3n  93(ktm) Nếu p 3n   p  3n  63 (ktm) Do p 3n mà p nguyên tố nên p=3 p  7; p  11 nguyên tố Vậy p=3 Bài 25.Giả sử a b hai số không nguyên tố Ta suy a b phải có USC d>1 a d , bd   a  b  d  p d Số tự nhiên p, p cịn có USC d>1 nên p hợp số, trái với đề cho Vậy a b nguyên tố p a  b số nguyên tố Bài 26 Giả sử ab a  b không nguyên tố Ta suy ab a  b có USC nguyên tố d abd ; a  bd Vì abd , d nguyên tố nên ad bd Nếu ad mà a  bd  bd a, b 1 Suy a b có USC ngun tố d, vơ lý  