Chuyên đề 4 số nguyên tố ước chung bội chung

1 CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ - ƯỚC CHUNG – BỘI CHUNG ĐỀ BÀI TỪ BÀI ĐẾN BÀI 10 Bài Tìm tất số nguyên tố p q cho số p  q pq  11 số nguyên tố Bài a) Tìm UCLN (7n  3,8n  1)  n   * Tìm điều kiện n để hai số nguyên tố b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu chúng 84, UCLN chúng 28 số khoảng từ 300 đến 400 Bài Tìm chữ số x, y để A x183 y chia cho 2;5;9 dư Bài Chứng tỏ p số nguyên tố lớn p  chia hết cho Bài 2 Tìm số nguyên tố x, y cho x  117  y Bài a) Tìm tất số nguyên tố p cho p  11 số nguyên tố b) Tìm tất số nguyên tố p để p  8, p  10 số nguyên tố Bài Chứng minh rằng: p p  số nguyên tố p  số nguyên tố Bài a) Tìm số tự nhiên a, b biết: a  b 96 UCLN (a; b) 6 Bài Tìm số nguyên tố abcd cho ab, ac số nguyên tố b cd  b  c Bài 10 Tìm hai số tự nhiên a, b biết: BCNN (a, b) 420;UCLN (a, b) 21 a  21 b ĐÁP ÁN TỪ BÀI ĐẾN BÀI 10 Bài Nếu pq  11 số ngun tố phải số lẻ (vì pq  11  2)  pq số chẵn  số phải chẵn, tức +giả sử p 2 Khi p  q 14  q; pq  11 2q  11 Thử q 2(ktm), q 3(tm), q  có số hợp số  p 2, q 3 +Giả sử q 2, cmtt  p 3  p 2, q 3  p 3, q 2 Vậy  Bài a) Gọi UCLN (7 n  3,8n  1) d với n   * Ta có: 7n  3d ,8n  1d  8. n  3  7. 8n  1 d  31d  d   1;31 Để hai số ngun tố d 31 Mà 7n  331  n   3131   n   31  n  431 (vì 31 nguyên tố nhau)  n 31k   k   Do d 31  n 31k  Vậy hai số 7n  3,8n  nguyên tố n 31k   k   b) Gọi hai số phải tìm a, b  a, b  *, a  b  a 28k UCLN (a, b) 28    k , q  *,  k , q  1 b 28q  Ta có: Ta có: a  b 84  k  q 3 Theo : 300 b  a 440  10  q  k  16 Chỉ có số 11, 14 nguyên tố có hiệu  q 11, k 14 a 28.11 308   b 28.14 392 Vậy hai số phải tìm 308,392 Bài Do A x183 y chia cho dư  y 1 Vì A x1831chia cho dư  x1831  19  x18309  x 6 Vậy x 6, y 1 Bài a) Xét số nguyên tố p chia cho Ta có: p 3k  p 3k   k   * 2 Nếu p 3k   p   3k  1  9k  6k 3 2 p  k   p   k   9k  12k  33   Nếu Vậy p  13 Bài 2 Với x 2, ta có:  117  y  y 121  y 11 (là số nguyên tố) 2 Với x  mà x số nguyên tố nên x lẻ  y x  117 số chẵn nên y chẵn Kết hợp với y số nguyên tố  y 2( ktm) Vậy x 2; y 11 Bài a) Nếu p lẻ  p  11 số chẵn lớn 11 nên không số nguyên tố Suy p chẵn nên p 2 b) Nếu p chia dư p+8 số lớn chia hết không số nguyên tố Nếu p chia dư p+10 số lớn chia hết không số nguyên tố Suy p3  p 3 Bài a) Ta nhận xét với số nguyên tố lớn chia cho có dạng p 3k  p 3k   k   * 2 Với p 3k  p  9k  6k  chia hết cho 2 Với p 3k  p  9k  6k  chia hết cho Vì p nguyên tố nên p 2 , trường hợp p  đền lớn chia hết cho Tức p  hợp số  p  số nguyên tố p 3 (khi p  11 số nguyên tố)  p3  27  29 số nguyên tố Vậy p p  số nguyên tố p  số nguyên tố Bài  m, n  1 Từ UCLN  a; b  6, đặt a 6m, b 6n m n a b Bài Ta có: a  b 6  m  n  hay  m  n  96  m  n 16 Ta có trường hợp sau: 15 13 11 15 13 11 90 78 18 66 30 90 18 78 30 66 54 42 42 54 Vì abcd ; ab; ac số nguyên tố nên b, c, d số lẻ khác Ta có: b cd  b  c  b  b  1 9c  d  b 7 b 4    b 9 Do: 9c  d 10 nên 39  d   c  ( ktm)  9c  d 42  d 3    d 9  c 33 ( ktm)  Với b 7, ta có:  d 9 b 9  9c  d 72  d 9    c 7 Với a9; a7 số nguyên tố nên a 1 Vậy số cần tìm abcd 1979 Bài 10 a 21m UCLN (a, b) 21   ,  m, n  1 b  21 n  Vì Vì BCNN (a, b) 420  BCNN (21m,21n) 420 21.20  BCNN (m, n) 20 Vì a  21 b  21m  21 21n  m  n (*)  m 4, n 5  m 2, n 3 Trong trường hợp cần xét có  thỏa (*)  m 4, n 5 a 21.4 84  m 2, n 3  b 21.5 105   Vậy với ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11 2016 Cho p số nguyên tố lớn Hỏi p  2018 số nguyên tố hay hợp số Bài 12 a) Tìm số nguyên tố p để p  6; p  8; p  12; p  14 số nguyên tố Bài 13 Có ba chồng sách : Văn, Âm nhạc, Toán, chồng gồm loại sách Mỗi văn dày 15mm, âm nhạc dày 6mm, toán dày 8mm Người ta xếp cho chồng sách cao Tính chiều cao nhỏ ba chồng sách Bài 14 Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 48 học sinh, lớp 6C có 42 học sinh Trong ngày khai giảng, ba lớp xếp thành số hàng dọc để diễu hàng mà khơng lớp có người lẻ hàng Tính số hàng dọc nhiều xếp Bài 15 Tìm n   * biết n  30 để số 3n  4;5n  có ước chung lớn Bài 16 Tìm tất số nguyên tố p, q cho p  q; pq  11 đầu số nguyên tố Bài 17 p Tìm tất số nguyên tố p cho p  số nguyên tố Bài 18 Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố Bài 19 Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n  2006 số nguyên tố hay hợp số Bài 20 Tìm UCLN 777….7 (51 chữ số 7) 777777 ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11 Vì p số nguyên tố lớn nên p chia cho dư p chia cho dư  p chia cho dư p 2016  p  1008 2016 nên p chia cho dư p 2016  2018  3  2018 Mặt khác: chia cho dư 2, đó: 2016 2016 p  2018  3  p 2016  2018    Vì nên p  2018 hợp số Mà Bài 12 Xét phép chia p cho ta thấy p có dạng sau p 5k , p 5k  1, p 5k  2, p 5k  3, p 5k  +Nếu p 5k p nguyên tố nên k 1  p 5 +Nếu p 5k   p  14 5  k  3 5 p  nên hợp số (loại) +Nếu p 5k   p  5  k   5, p  nên hợp số (loại) +Nếu p 5k   p  12 5  k  3 5, p  nên hợp số (loại) +nếu p 5k   p  5  k   5, p  nên hợp số (loại) Thử lại với p 5 thỏa mãn Bài 13 Gọi chiều cao nhỏ chồng a (mm) Ta có a BCNN (8,6,15) 120 Chiều cao nhỏ chồng sách 120mm Bài 14 Gọi số hàng dọc a ta phải có: 54a,42a,48a a lớn Do a UCLN (54,42,48) 6 Bài 15 Gọi d ước chung 3n  4;5n  1 d   * 3n  4d   3n     5n  1 d  17d  d   1;17  5n  1d Ta có Để 3n+4 5n+1 có ước chung lớn 1, ta phải có 3n  417  3n   3417   n  10  17  n  1017  n  10 17k , Do n  , n  30   10 n  10  20  k   0;1 Với k 0  n 10(tm) k 1  n 27(tm) Vậy n   10;27 Bài 16 Ta có p,q số nguyên tố nên pq  11 số nguyên tố lớn 11  pq  11 số lẻ nên pq số chẵn Do p  q số nguyên tó lớn nên p, q khơng thể chẵn *)Th1: p 2;7 p  q 14  q Ta thấy 14 chia dư +)Nếu q chia hết cho 3, q nguyên tố nên q 3  p  q 17; pq  11 17(tm) +)Nếu q chia cho dư  14  q chia hết cho  p  q hợp số +)Nếu q chia cho dư 2q chia cho dư  pq  11 2q  113 nên pq+11 hợp số *)Th2: q 2;7 p  q 7 p  +)Nếu p3  p3  p 3  p  q 17; pq  11 17(tm) +)Nếu 7p chia dư p  chia hết p  hợp số +)Nếu p chia cho dư p : du  p chia cho dư  pq  11 2 p  11 chia hết pq  11 hợp số  p 2; q 3  p 3; q 2 Vậy  Bài 17 p  p với p số nguyên tố p 2 Với p 2 ta có: p  2  8 không số nguyên tố Với p 3 ta có:  9  17 số nguyên tố p  p  p  1   p  1 p  Với ta có: Ta có: p   p  1  p  1 tích số chẵn liên tiếp nên chia hết cho p    1 M chia hết cho p p Nên p  chia hết p  không số nguyên tố p Vậy với p 3 p  số nguyên tố Bài 18 Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n  2n   n   Gọi d ước số chung chúng Ta có 2n  1d ,2n  3d Nên  2n  3   2n  1 d  2d d khơng thể d ước chung số lẻ, d 1 tức hai số lẻ liên tiếp nguyên tố Bài 19 n số nguyên tố nên n  không chia hết cho Vậy n chia cho dư n  2006 3m   2006 3m  2007 3  m  669  3 Vậy n  2006 hợp số Bài 20 45 39 777 777      777777.10  777777.10   777777.10  777 Ta có: 51chu so 777777. 10 45  1039   103   777 777 7777     Suy 51chu so chia cho 777777 dư 777 45 39 777 77     A;777777 B;10  10   10 C Đặt 51chu so Ta có : A B.C  777 hay A  B.C 777 Từ ước chung A B có ước 777 Mặt khác 777 ước số A B A 777. 1048  1045   1 ; B 777.1001   Vậy 777 UCLN A B ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Bài 21 Thay dấu "*" chữ số thích hợp để 359 ** chia cho 5;6 có số dư Bài 22 Tổng ba số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số nguyên tố Bài 23 Khối trường chưa tới 400 học sinh, xếp hàng 10;12;15 dư xếp hàng 11 khơng dư Tính số học sinh khối Bài 24 Tìm số nguyên tố p cho số p  2, p  số nguyên tố Bài 25 Tìm số tự nhiên nhỏ có tính chất sau: Số chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư chia hết cho 13 Bài 26 2 Tìm số nguyên tố x, y cho: x  45  y Bài 27 Cho p, p  số nguyên tố  p  3 Chứng minh p  hợp số Bài 28 Cho số 18,24,72 a) Tìm tập hợp tất ước chung số b) Tìm BCNN số Bài 29 a (1 điểm) Tìm n để n  2006 số phương b (1 điểm) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n  2006 số nguyên tố hay hợp số Bài 30 Cho p p  số nguyên tố  p  3 Chứng minh p  hợp số ĐÁP ÁN TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Bài 21 Theo ta suy ra:  359 **  1 chia hết cho BCNN (5,6,7); BCNN (5;6;7) 210 Hay 359ab 35700  200  ab  359ab  210.170  199  ab  199  ab chia hết cho 210  ab k 210  199  k    k 1  ab 11 Vậy số cần tìm 35911 Bài 22 Tổng ba số nguyên tố 1012 nên ba số có số chẵn Vậy số nguyên tố nhỏ Bài 23 Gọi x số học sinh khối  x   Theo đề ta có: x   BC  10,12,15  x11, x  400 BCNN (10,12,15) 60 x   3;63;123;183;243;303;363;423;543  , mà x11, x  400  x 363 Vậy số học sinh khối 363 em Bài 24 Số p có dạng 3k ,3k  1,3k  với k   * Nếu p 3k p 3 (vì p số nguyên tố) Khi p  5, p  7 số nguyên tố Nếu p 3k   p  3k  33, p  nên p+2 hợp số (trái với đề bài) Nếu p 3k   p  3k  63, p  nên p  hợp số (trái đề bài) Vậy p 3 giá trị phải tìm Bài 25 Gọi x số phải tìm x  chia hết cho 3,4,5,6 nên x  bội chung 3,4,5,6 BCNN (3;4;5;6) 60 nên x  60n  x 60n   n 1,2,3  Do x số nhỏ có tính chất chia hết cho 13 Ta có n 10 thỏa mãn Vậy số cần tìm 598 Bài 26 10 x  45  y  y  45, y số nguyên tố lẻ Suy x số nguyên tố chẵn nên x 2 từ ta có: y 4  45 49  y 7 Bài 27 P có dạng 3k  1,3k   k   Dạng p 3k   p  hợp số trái với đề  p 3k   p  3k  93  p  hợp số Bài 28 a) Tìm Ư(18); Ư(24); Ư(72)  UC (18,24,72)  1;2;3;6 b) Ta có: 72  B(18);72  B (24)  BCNN (18;24;72) 72 Bài 29 a) Giả sử n  2006 số phương ta đặt n  2006 a  a    a  n 2006   a  n   a  n  2006(*) Thấy a, n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) Nếu a, n tính chẵn lẻ  a  n  2,  a  n  2 nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết cho Vậy không tồn n để n  2006 số phương b) n số nguyên tố nên n  không chia hết cho Vậy n chia cho dư n  2006 3m   2006 3m  2007 3  m  669  3 Vậy n  2006 hợp số Bài 30 Cho p p  số nguyên tố  p  3 Chứng minh p  hợp số ĐỀ BÀI TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 40 Bài 31 Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84,UCLN chúng Bài 32 a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho 3, cho 4, cho 5, cho dư 2, chia cho dư b) Tìm hai số tự nhiên biết tổng UCLN BCNN 23