Thuvienhoclieu com so hoc 6 chuyen de 5 chu de 2 so nguyen to hop so

thuvienhoclieu.com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUYÊN TỐ PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1,chỉ có ước -Số ngun tố nhỏ vừa số nguyên tố chẵn số -Không thể giới hạn số nguyên tố tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố vô hạn -Khi số nguyên tố nhân với tích chúng khơng số phương -Ước tự nhiên nhỏ khác số tự nhiên coi số nguyên tố -Để kết luận số tự nhiên a số nguyên tố ( ),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho số nguyên tố mà bình phương khơng vượt q a -Nếu tích -Đặc biệt (p số nguyên tố) (p số nguyên tố) -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: -Hai số ngun tố sinh đơi hai số nguyên tố đơn vị PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm số nguyên tố để hay nhiều biểu thức đồng thời số nguyên tố I Phương pháp giải -Dựa vào dấu hiệu chia hết tính chất số nguyên tố ,hợp số, để giải toán chứng minh giải thích - Trong số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho - Nắm tính chất đặc trưng số nguyên tố để giải toán II Bài toán Bài 1: Tìm số nguyên tố cho số sau số nguyên tố a, b, Lời giải: a, - Với hợp số, nên không thỏa mãn đề thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com - Với số nguyên tố Do - Với , số nguyên tố nên có dạng + Nếu hợp số + Nếu Vậy thỏa mãn đề không thỏa mãn đề hợp số khơng thỏa mãn đề số nguyên tố b, - Với hợp số, nên không thỏa mãn đề - Với hợp số, nên không thỏa mãn đề - Với mãn đề - Với số nguyên tố, nên số nguyên tố nên nên có dạng + Nếu hợp số không thỏa mãn đề + Nếu hợp số không thỏa mãn đề + Nếu hợp số + Nếu Vậy không thỏa mãn đề hợp số thỏa khơng thỏa mãn đề số nguyên tố Bài 2: Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố Lời giải: Gọi số lẻ liên tiếp là: Trong số lẻ liên tiếp ln có số chia hết cho - Nếu mà số nguyên tố Mà không số nguyên tố nên - Nếu kiện - Nếu nguyên tố Mà số nguyên tố trái với điều (vì số nguyên tố) thỏa mãn đề Vậy số tự nhiên lẻ cần tìm Bài 3: Tìm số nguyên tố số cho vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Giả sử số ngun tố cần tìm ta có ( số nguyên tố ) Để số nguyên tố chẵn Giả sử có hai số số chẵn có hai số số Ta có: Ta thấy số nguyên tố lẻ liên tiếp Theo câu Thử lại: Vậy số cần tìm Bài 4: Tìm để dãy số chứa nhiều số nguyên tố Lời giải: -Nếu Ta có dãy số có số nguyên tố -Nếu Ta có dãy số có số nguyên tố -Nếu Ta có dãy số có số nguyên tố -Nếu Dãy số chẵn liên tiếp Có số nguyên tố Có số nguyên tố Có số nguyên tố gồm số lớn bao gồm số lẻ liên tiếp sơ Vì số dãy lớn nên suy số chẵn liên tiếp hợp số số lẻ liên tiếp tồn số chia hết cho số hợp số Vậy giá trị cần tìm Bài 5: Tìm số nguyên tố Lời giải: cho: - Với số nguyên tố nên - Với đề số nguyên tố - Với , số nguyên tố nên + Nếu hợp số Do khơng thỏa mãn đề số nguyên tố Do có dạng hợp số + Nếu Vậy số nguyên tố hợp số không thỏa mãn đề không thỏa mãn đề số nguyên tố cần tìm Bài 6: Tìm số nguyên tố cho số nguyên tố thuvienhoclieu.com Trang thỏa mãn thuvienhoclieu.com Lời giải: - Với ta có - Với ta có - Với hợp số không thỏa mãn đề số nguyên tố, , p số nguyên tố nên p có dạng + Nếu + Vậy khơng thỏa mãn đề hợp số, không thỏa mãn đề số nguyên tố cần tìm Bài 7: Tìm số nguyên tố Lời giải: - Với số nguyên tố - Với số nguyên tố - Với hợp số Nếu thỏa mãn đề , cho: số nguyên tố hợp số không thỏa mãn đề số nguyên tố số nguyên tố nên p có dạng + Nếu hợp số + Nếu thỏa mãn đề không thỏa mãn đề hợp số, khơng thỏa mãn đề Vậy số nguyên tố cần tìm Bài 8: Tìm số nguyên tố cho: a, số nguyên tố b, Lời giải: số nguyên tố a, - Với số nguyên tố - Với - Với thỏa mãn đề số nguyên tố , p số nguyên tố nên p có dạng thỏa mãn đề + Nếu hợp số + Nếu hợp số nên Vậy b, số nguyên tố - Với số nguyên tố , không thỏa mãn đề số nguyên tố cần tìm - Với - Với không thỏa mãn đề hợp số không thỏa mãn đề số nguyên tố số nguyên tố nên p có dạng thỏa mãn đề + Nếu hợp số + Nếu hợp số nên thuvienhoclieu.com không thỏa mãn đề không thỏa mãn đề Trang thuvienhoclieu.com Vậy số nguyên tố cần tìm Bài 9: Tìm tất số tự nhiên để Lời giải: - Với - Với - Với - Với thì thì - Với Do thì thỏa mãn đề - Với n có có dạng , , hợp số Do hợp số Do hợp số Do hợp số Do , , , số nguyên tố không thỏa mãn đề không thỏa mãn đề không thỏa mãn đề không thỏa mãn đề số nguyên tố + Với hợp số Do khơng thỏa mãn + Với hợp số Do khơng thỏa mãn + Với Do hợp số Do thỏa mãn đề Bài 10: Tìm tất số nguyên tố Lời giải: Nếu Suy , cho số ngun tố số ngun tố phải số lẻ số ngun tố lớn số chẵn, số Giả sử số nguyên tố + Nếu hợp số, + Nếu thỏa mãn đề + Nếu , không thỏa mãn số nguyên tố, số nguyên tố nên có dạng + Với hợp số khơng thỏa mãn + Với hợp số Vậy làm tương tự ta Vậy Bài 11: Tìm số nguyên tố Lời giải: - Nhận thấy cho số nguyên tố số nguyên tố, và số ngun tố Nếu Vậy khơng thỏa mãn Xét tiếp TH - Với không thỏa mãn số ngun tố có dạng hợp số, nên khơng thỏa mãn số nguyên tố cần tìm thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com hai số tự nhiên liên tiếp, khơng có số ngun tố khác Tìm số Bài 12: Ta gọi nguyên tố liên tiếp cho số nguyên tố Lời giải: Nếu số nguyên tố Khi khác có dạng nên suy chia cho dư hợp số Vậy , số ngun tố Bài 13: Tìm số nguyên tố Lời giải: cho số nguyên tố Ta có : Từ 25 đến 45 có số nguyên tố là : Nên ta có bảng sau : Mà số nguyên tố nên Vậy Bài 14: Tìm số nguyên tố Lời giải: cho Vì Giả sử , số nguyên tố Ta có Vậy Bài 15: Ta gọi số nguyên tố liên tiếp nguyên tố liên tiếp cho khơng có số ngun tố khác.Tìm số số nguyên tố Lời giải: +Nếu khác mà số nguyên tố chia dư dư ( hay dư -1 ) chia dư thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com chia hết cho Vậy tồn số + TH1: Bộ số thỏa mãn tương ứng là: Khi + TH2: Bộ số thỏa mãn đề tương ứng là: Khi Vậy số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: Bài 16: Tìm số nguyên tố hợp số Do ba số khơng số ngun tố Do ba số cho: Lời giải: Vì r số lẻ ( số nguyên tố ) có số lẻ số chẵn Giả sử số chẵn chẵn ( p số nguyên tố ) + Nếu Mặt khác số lẻ ( Vì ( Loại +Nếu số nguyên tố ) số nguyên tố nên ) số nguyên tố ( Thỏa mãn ) Vậy Bài 17: Tìm tất ba số nguyên tố liên tiếp cho tổng bình phương ba số số nguyên tố Lời giải: Gọi ba số nguyên tố liên tiếp Nếu Mà khơng chia hết cho nên Do có số chia dư hợp số ( Trái với GT, loại ) chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com + Nếu Khi + Nếu số ngun tố ( Thỏa mãn ) Khi +Nếu không số nguyên tố ( Trái với GT, loại ) (Vơ lí số ngun tố, loại ) Vậy số nguyên tố cần tìm : Bài 18: Tìm tất ba số cho Lời giải: Vì có vai trị nên giả sử Với số nguyên tố ta có ( + Nếu + Nếu Vậy cặp số tố số nguyên tố ) thỏa mãn với số nguyên tố cần tìm Bài 19: Tìm tất số tự nhiên a, hốn vị chúng, với số nguyên để : số nguyên tố b, số nguyên tố Lời giải: a, Ta có : Để b, Nếu Nếu , Vì có thêm ước là số nguyên tố số nguyên tố thỏa mãn đề số nguyên tố hợp số Vậy Bài 20: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư Tìm biết thuvienhoclieu.com không số nguyên tố Trang thuvienhoclieu.com Lời giải: Gọi số ngun tố ( ) Ta có: Vì số nguyên tố nên không chia hết cho Số nguyên dương không số nguyên tố nhỏ 30 khơng chia hết cho Vậy có số Bài 21: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư Tìm biết hợp số Lời giải: Gọi số nguyên tố ( ) Ta có: Vì số ngun tố nên khơng chia hết cho Số nguyên dương hợp số nhỏ 42 khơng chia hết cho Vậy có số 25 Bài 22: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố cịn lại số ngun tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn Bài 23: Tìm tất số nguyên tố để số nguyên tố Lời giải: Với ta có khơng số ngun tố Với ta có số ngun tố Với ta có Vì , hợp số Vậy với lẻ không chia hết số nguyên tố Dạng 2 : Các toán chứng minh số nguyên tố Bài 24: Chứng minh với khơng thể đồng thời số nguyên tố Lời giải: Xét dãy số: số tự nhiên liên tiếp thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vì Vì dãy số: Mà số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết hai số Suy chia hết cho đồng thời số nguyên tố Bài 25: Chứng minh với số tự nhiên số Lời giải: ln tìm số tự nhiên liên tiếp hợp Chọn số tự nhiên Khi ta có số tự nhiên liên tiếp chia hết cho hợp số số ( điều phải chứng minh) Bài 26: Chứng minh số gnuyeen tố lớn m chia hết cho Lời giải: Các số nguyên tố lớn số lẻ Nếu số lẻ Đặt số chẵn lớn nên không số nguyên tố Suy m số chẵn Nếu ba số cho là: Nếu chia cho dư Nếu chia cho dư Vậy khơng có dạng , không thỏa mãn đề , không thỏa mãn đề Hoàn toàn tương tự ta chứng minh khơng có dạng Do Vậy m chia hết cho Bài 27: a) Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Khi chia cho 60 kết sao? b) Chứng minh tổng lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên tố Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com a) Giả sử số nguyên tố với Nhưng với số nguyên tố Nếu hợp số chia hết cho 2; 3; (vơ lí) Vậy Khi chia cho 60 kết khơng nữa, chẳng hạn b) Số nguyên tố chia cho 30 dư Với Với Suy có ước ngun tố mà 49 hợp số (mod 30) (mod 30) (mod 30) Giả sử số nguyên tố lớn Khi (mod 30) Bài 28: Hai số số nguyên tố nên số ngun tố hay khơng ? Vì ? Lời giải: Vì số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3.Mà nguyên tố nên Mà Từ số không chia hết , suy số phải chia hết cho Hai số số nguyên tố Bài 29: Cho số nguyên tố lớn 3,trong số sau lớn số trước đơn vị.Chứng minh Lời giải: Các số nguyên tố lớn nên có dạng Có số mà có dạng nên tồn hai số thuộc dạng, hiệu chúng ( hết cho Mặt khác chia hết cho hiệu hai số lẻ.Vậy chia hết cho ) chia Bài 30: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp.Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho Lời giải: Gọi số nguyên tố lơn Mà số nguyên tố lớn nên lẻ nên có dạng thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com Dạng Từ khơng xảy , hợp số (Loại) ĐPCM Bài 31: Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Lời giải: số nguyên tố Giả sử Nếu hợp số có ước ngun tố Nhưng với Vậy có dạng cho p chia hết cho ( Vô lý ) số nguyên tố Bài 32: Cho dãy số nguyên dương xác định sau: ước nguyên tố với Chứng minh Lời giải: Ta có , giả sử với mà có số ước nguyên tố lớn số chia hết cho 2, cho Vậy xảy Suy Mà khơng chia hết cho Vậy khơng có ước ngun tố 5, tức với số lẻ (vơ lí) Bài 33: Trong dãy số tự nhiên tìm 1997 số liên tiếp mà khơng có số ngun tố hay khơng ? Lời giải: Chọn dãy số: …… ………… thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Như vậy: Dãy số gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp khơng có số số nguyên tố Bài 34: Trong dãy số tự nhiên tìm hay khơng ? số liên tiếp mà khơng có số ngun tố Lời giải: Chọn dãy số: nên hợp số nên hợp số nên hợp số …… ………… nên Như vậy: Dãy số gồm có hợp số số tự nhiên liên tiếp khơng có số số ngun tố PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: Cho số nguyên tố lớn Chứng minh hợp số ( Trích đề HSG lớp Trực Ninh năm học 2017-2018) Lời giải: Do số nguyên tố lớn nên có dạng + Nếu Suy hợp số (vơ lí) + Nếu Do với nên Bài 2: Biết Do hợp số nguyên tố có bốn chữ số thỏa mãn Hãy tìm số ngun tố ( Trích đề HSG lớp Sông Lô năm học 2018-2019) Lời giải: Vì số nguyên tố nên lẻ khác Ta lại có Nếu ( Khơng thỏa mãn) thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Nếu nên ( Không thỏa mãn) Nếu ( Loại) Nếu ( thỏa mãn) Suy Vậy Bài 3: Cho số có số số nguyên tố Chứng minh số ( Trích đề HSG lớp TP Bắc Ninh năm học 2018-2019) Lời giải: Trong số có số tính chẵn lẻ Giả sử hai số tính chẵn lẻ Suy số nguyên tố chẵn nên Suy Khi Vậy ba số Bài 4: Giả sử nên có số số nguyên tố Chứng tỏ số nguyên tố ( Trích đề HSG lớp Gia Bình năm học 2018-2019) Lời giải: +) Với +) Với khơng số ngàn tố số nguyên tố +) Với nên Vậy có Bài 5: Cho hợp số số nguyên tố số nguyên tố lớn Chứng minh chia hết cho 100 ( Trích đề HSG lớp huyện Lục Nam năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có thuvienhoclieu.com Trang 14 Do thuvienhoclieu.com số lẻ sốnguyên tố lớn nên số chẵn chia hết cho chia hết cho Vì số nguyên tố lớn Lập luận ta số không chia hết cho chia hết cho Lập luận ta Suy chia hết cho chia hết cho Mà nên ( đpcm) Bài 6: Chứng minh hai số số nguyên tố với số tự nhiên ( Trích đề HSG lớp Như Thanh năm học 2018-2019) Lời giải: Đặt Vì Do +) Nếu ( Vô lý) Vậy Bài 7: Cho hai nguyên tố với số tự nhiên n số nguyên tố lớn 3.Chứng minh ( Trích đề HSG lớp huyện Kim Thành năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có Vì số nguyên tố lớn nên suy Xét ba số tự nhiên liên tiếp lẻ Do hai số chẵn liên tiếp Từ Ta có thuvienhoclieu.com Trang 15 Mà thuvienhoclieu.com khơng chia hết cho Mà số nguyên tố nên suy số nguyên tố lớn nên Từ kết hợp với ta suy Bài 8: Tìm tất cặp số nguyên tố (đpcm) cho Lời giải: Từ ta Do ta suy số nguyên tố lẻ Từ ta đặt với Khi ta Do số chẵn nên Thay vào số chẵn Mà ta suy Vậy cặp sô nguyên tố số nguyên tố nên thỏa mãn u cầu tốn Bài 9: Tìm số ngun tố có hai chữ số khác có dạng theo thứ tự ngược lại cuả số số phương cho hiệu số với số viết ( Trích đề HSG lớp huyện Thái Thụy năm học 2018-2019) Lời giải: Theo đề ta có: số phương Khi số phương Suy số phương Vì nên Ta xét trường hợp sau: + TH1: số nguyên tố nên + TH2: số nguyên tố nên + TH3: số nguyên tố nên khơng có số thỏa mãn Vậy Bài 10: Tìm số nguyên tố số nguyên thỏa mãn thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com ( Trích đề HSG lớp huyện Kiến Xương năm học 2016-2017) Lời giải: Ta có Vì số ngun tố số nguyên nên từ phương trình ta suy Ta xét trường hợp sau: + Nếu , từ phương trình ta - Khi ta - Khi nguyên tố + Nếu Do số lẻ nên số nguyên tố chẵn Do , từ phương trình ta nguyên tố lẻ Từ ta + Nếu Do số ngun tố nên khơng phải số số nguyên tố chẵn =3 Trường hợp không xảy số , phương trình ta số nguyên tố nên Vậy số nên từ phương trình ta + Nếu số nguyên tố nên: Trường hợp không xảy thỏa mãn yêu cầu toán Bài 11: Chứng minh số ngun tố hợp số ( Trích đề HSG lớp huyện Thanh Hà năm học 2015-2016) Lời giải: Xét số tự nhiên liên tiếp , , Trong ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Do nên Lại có khơng chia hết cho Do suy Mà nên , mà theo giả thiết Từ ta Bài 12: Tìm số nguyên tố ; số nguyên tố, không chia hết cho chia hết cho hợp số thỏa mãn điều kiện sau ; ( Trích đề HSG lớp huyện Nam Sách năm học 2012-2013) Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Từ ta có Mặt khác từ điều kiện Vì ta nên , hay Xét hai trường hợp sau: + Với , ta - Nếu , suy - Nếu , suy Với khơng tồn Vậy ba số nguyên tố cần tìm ( loại) ( nhận) Bài 13: Tìm tất ba số nguyên tố đôi khác thỏa mãn điều kiện: ( Trích đề HSG lớp huyện Gia Lộc năm học 2017-2018) Lời giải: Từ giả thiết suy Suy Với , + Với , từ Với Thay từ suy suy từ giả thiết suy vào suy Do + Với Để khơng giảm tính tổng qt giả sử (do ta Vậy ba số nguyên tố khác ) thỏa mãn là: thuvienhoclieu.com Trang 18 thuvienhoclieu.com hốn vị Bài 14: Tìm tất ba nguyên tố cho ( Trích đề HSG lớp Ninh Bình năm học 2018-2019) Lời giải: Khơng tính tổng qt giả sử Với Do ước nên Nếu ( loại) Nếu ( thỏa mãn) Nếu lẻ lẻ mà Vậy ba số nguyên tố cần tìm Bài 15: Tìm hai số nguyên tố không chia hết cho ( vô lí) hốn vị cho ( Trích đề HSG lớp Phú Yên năm học 2018-2019) Lời giải: Ta có Xét Ta có Vậy chia cho chia cho chia cho dư dư dư , số nguyên tố nên suy chia hết cho , suy mà nên (vơ lí) ( thỏa mãn)  HẾT  thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Trang 20