Nhân đơn thức với đa thức

NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC A Tóm tắt lý thuyết Đơn thức: Là biểu thức đại số gồm số, biến tích số biến Ví du: 2;3x; y ; Đa thức: Là tổng đơn thức, đơn thức tổng gọi hạng tử Ví du: x  y;3 x  1; Tính chất phân phối phép nhân phép cộng, phép trừ A.( B C )  A.B A.C Chú ý: Các phép toán lũy thừa m n mn a) a a a m n m n b) a : a a (m n) c) a 1(a 0) m n m n d) ( a ) a (m, n  N ) Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với Ta có: A  B  C   AB  AC với A, B, C đơn thức Ví dụ: x(2 x  x  3) 4 x  x  x B Bài tập áp dụng dạng tốn Dạng 1: Làm phép tính nhân đơn thức với đa thức Cách giải: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức phép toán liên quan đến lũy thừa Bài 1: Thực phép tính a A 2 x  x  x  1 b 2  C  3x y  xyz  x y  5x z  3  c B 4 x y.(3xy  x  xy ) 3   D 4 x y   x  y  xy    d E  x y  xy  y  y  e Lời giải a) Ta có: b) Ta có: A 2 x  x  x  1 10 x  x  x B 4 x y  xy  x  xy   x y  x y  x y 3 3 2  C  x y  xyz  x3 y  x z   x y z  21x y  15 x y z 3  c) Ta có:   D 4 x y   x  y  xy   x y  x y  28 x y   d) Ta có: 3 E  x y  xy  y  y  6 x y  x y  x y 2 e) Ta có: Bài 2: Thực phép tính  1 3 B   x3  xy  x   xy    b a A 2 x y (2 x  y  yz ) c C 1 2 a b  6a  a  3  D  u 2v  4uv  v  v  d  b  E  x y  xy  y  y  e Lời giải 3 a) Ta có: A 2 x y (2 x  y  yz ) 4 x y  x y  10 x y z 1  B ( x  xy  x)  xy   x y  x y  x y   b) Ta có: c) Ta có: C 1 2 1 a b (6a  a  b)  2a 3b  a 4b  b 3 3 3 D  u v  4uv  v  v  6u 3v  u 2v  u 2v 2 d) Ta có: Bài 3: Nhân đơn thức A với đơn thức B , biết rằng: a A ( 1 u v ) ; B 27u  uv 3 1 A (3xy ) ; B  x3 y  x  y b Lời giải a) Ta có: A ( 1 1 1 u v ) ; B 27u  uv  A.B ( u 2v ) (27u  uv )  u 4v (27u  uv ) 3 3 1  A.B  u 4v (27u  uv ) 3u 8v  uv 27 b) Ta có: 1 1 A (3 xy ) ; B  x y  x  y  A.B 9 x y ( x y  x  y )  x y  x y  27 x y 9 Bài 4: 2 A ax y, B  a3 x y, C  a x5 y 2 Cho đơn thức Tính A.B.C Lời giải 1     A.B.C ax y a x y   a x y  a a   a  x x x y y y  a x11 y 2     Ta có: Vậy A.B.C  11 a x y Bài 5: Cho đơn thức A  x y, B 4 x y , C  2 x y a) Tính A  B  C  b) Tính C  A  B  Lời giải 2 2  A2  B  C   x y   x y  x3 y  x y x y  x y x3 y 4 x8 y  x y 9 9   a) Ta có: Vậy A2  B  C  4 x8 y  b) Ta có: Vậy C  A  B   C  A  B   x y 2 2 x y  x y  x y   x y x y  x y x y  x y  x y12 9 9 8 12 x y  x y 9 Dạng 2: Sử dụng phép nhân đơn thức với đa thức để rút gọn biểu thức cho trước Cách giải: Bước 1: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc Bước 2: Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức cho Bài 1: Rút gọn biểu thức sau 1 A  xy ( x5  y )  x y ( x  y ) a) 3 4 b) B x y ( x  y )  x y ( x  y ) 3 c) C (2 x ) ( x  x )  x ( x  x 1)  (2 x  x ) x d) D 1 1 y (6 y  3)  y ( y  )  ( y  8) 2 n n n n e) E 3x (6 x  1)  x (9 x  1)(n  N ) Lời giải 1 1 1 A  xy ( x  y )  x y ( x  y )  x y  xy  x y  x y  x y  xy  x y 4 2 2 a) Ta có: 3 4 b) Ta có: B x y ( x  y )  x y ( x  y ) x y  x y 3 c) Ta có: C (2 x) ( x  x)  x ( x  x 1)  (2 x  x ) x 2 x  3x  x d) Ta có: D 1 1 y (6 y  3)  y ( y  )  ( y  8)  y  2 n n n n n e) Ta có: E 3x (6 x  1)  x (9 x  1)(n  N ) 5 x Bài 2: Rút gọn biểu thức sau 2 b) F t ( 2t 1)  t (2t  1)  t a) E t (t  u )  u (t  u ) 2 c) G ( 2t ) (t  2)  8t (1  t )  4t Lời giải 2 2 a) Ta có: E t (t  u )  u (t  u )  E t  tu  tu  u  E t  2tu  u 2 4 2 b) Ta có: F t ( 2t  1)  t (2t  1)  t  F  2t  t  2t  t  t  F 2t  t 2 3 2 3 c) Ta có: G ( 2t ) (t  2)  8t (1  t )  4t  G  2t  4t  8t  8t  G 6t  12t Bài 3: Rút gọn biểu thức sau n n2 n 1 a) A  30.5  11.5 b) B 1 432 (2  )  229 433 229 433 229.433 Lời giải n n 2 n 1 n n n n a) Ta có: A  30.5   11.5  30.5  25.5  55.5 5 ( 30  25  55) 0 b) Ta có: B 1 432 (2  )  229 433 229 433 229.433 1 m; n 433 Đặt 229  432 433  1  1  1  n  B 3m(2  n) m(1  n)  mn 5m  B 5  433 433 433 229 229 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức cho trước Cách giải: Bước 1: Rút gọn biểu thức cho Bước 2: Thay giá trị biến vào biểu thức sau rút gọn bước Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau 2 a) A 3 x( x  x  3)  x (3x  2)  5( x  x) với x  1 B 2 x( x  y )  x ( x  y )  xy ( x  1) x 10; y  10 b) với c) C  x  10 x  10 x 10 x  10 với x  2 d) D 3a (a  5)  a( 3a  4a)  6a với a  2 e) E 5 x ( x  3)  x (7  x)  x với x  f) F 3x(5 x  2)  x (3x  7)  (2  14 x ) x  2 với Lời giải 2 2 a) Ta có: A 3x( x  x  3)  x (3x  2)  5( x  x)  A  x  x Thay x 5 vào biểu thức A ta được: A 25  20 45 Vậy A 45 B 2 x( x  y )  x( x  y )  xy ( x  1)  B xy  xy ( x  1) x y b) Ta có: Thay x 10; y  1 B 10  10 vào biểu thức B ta được: 10 Vậy B  3 2 c) Ta có: C x  x  x  x  x  x  x   ( x  9)( x  x  x  1)  Thay x  vào biểu thức C ta được: C 0  1 Vậy C 1 2 2 d) Ta có: D 3a (a  5)  a( 3a  4a )  6a  5a Thay a  vào biểu thức D ta được: D  125 Vậy D  125 2 3 e) Ta có: E 5 x( x  3)  x (7  x)  x  E 5 x  15x  x  x  x  E  15 x E  15    75 Thay x  vào biểu thức E ta được: Vậy E 75 f) Ta có: F 3x (5 x  2)  x (3 x  7)   x   x    1  x  Với (2  14 x )  F  x   F   F   Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau a) A x  30 x  31x  với x 31 b) B x  15 x  16 x  29 x 13x với x 10; y  10 2 c) C x( x  y )  y ( y  x) với x  1; y  2 d) D x ( x  y )  y ( y  x ) với 1 x ;y  2 Lời giải a) Thay x 31 vào biểu thức A , ta được: A 31  30.31  31.31 1  A 1 b) Ta có: 15  x  1;16  x  2; 29 2 x 1;13 x   B  x  B  14 2 3 3 3 c) Ta có: C  x( x  y )  y ( y  x)  C  x  xy  y  xy  C  x  y  C ( 1)   C 0 2 3 3 d) Ta có: D  x ( x  y )  y( y  x )  D x  x y  y  x y  D x  y 3     1  D       D   2   Dạng 4: Tìm x , biết x thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải : - Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá dấu ngoặc - Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức hai vế để tìm x Bài 1: Tìm x , biết a) x( x  5)  x(2 x  3) 26 b) 3(2 x  1)  5( x  3)  6(3x  4) 24 2 c) x  3( x  1) 5 x( x  1) d) 3x( x  1)  x( x  1)  x  Lời giải a) Ta có: x( x  5)  x(2 x  3) 26   13 x 26  x   S  2 Vậy phương trình có tập nghiệm b) Ta có: S  2 3(2 x  1)  5( x  3)  6(3x  4) 24  19 x 36  x   36  S   19  Vậy phương trình có tập nghiệm c) Ta có: x  3( x  1) 5 x( x  1)   5 x  x  5 36 19  5 S   3 Vậy phương trình có tập nghiệm 2 d) Ta có: 3x( x 1)  x( x  1)  x   x  x  0  ( x  1) 0  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   1 Bài 2: Tìm x , biết a) x  3 x  2[4 x  3(5 x  2)]}=182 b) 4(18  x)  12(13x  7) 15(2 x  16)  6( x  14) 1 x( x  x  4)   x  x  x  2 8 c) a) Ta có:   16  x  3 x  2[4 x  3(5 x  2)]}=182   73 x  36 182  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 1 x( x  x  4)   x  x  x  2 8 c) Ta có: Vậy phương trình có tập nghiệm   16  x  24 16  x   S   1 Bài 3: Tìm x , biết a) 2(5 x  8)  3(4 x  5) 4(3x  4) 11 2 b) x(6 x  x )  3x ( x  4) 8 c) 2( x  1)  x ( x  2x )  (4 x  4) x 6 d) (2 x) (4 x  2)  ( x  8x ) 15 Lời giải a) Ta có: 2(5 x  8)  3(4 x  5) 4(3 x  4) 11  10 x  16  12 x  15 12 x  16  x  2 S   7  Vậy phương trình có tập nghiệm 2 3 b) Ta có: x(6 x  x )  3x ( x  4) 8  12 x  x  3x  12 x 8   x 8  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   2 3 6 c) Ta có: 2( x  1)  x ( x  x )  (4 x  4) x 6  x   x  x  x  x 6  8  x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 Dạng 5: Chứng tỏ giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Cách giải: Rút gọn biểu thức cho chứng tỏ kết khơng phụ thuộc vào biến Bài 1: Chứng tỏ giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến 2 a) A 2( x  x)  x ( x  2)  x  x  2 b) B 2 y ( y  y  1)  y ( y  1)  2( y  10) 2 c) D x( x  x 1)  x ( x  1)  x  2 d) E x(2 x  3)  x ( x  2)  x( x  x  1)  5( x  1) Lời giải 2 a) Ta có: A 2( x  x)  x ( x  2)  x  x   A 3  đpcm 2 b) Ta có: B 2 y ( y  y  1)  y ( y 1)  2( y  10)  B  20  đpcm 2 d) Ta có: E x(2 x  3)  x ( x  2)  x ( x  x  1)  5( x  1)    đpcm Bài 2: 10 Dạng 6: Các toán chứng minh Cách giải: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9,… phép toán phép chia số nguyên Bài 1: Chứng minh rằng: A n(3n  1)  3n(n  2) 5, n Lời giải Ta có: A n(3n  1)  3n(n  2)5, n  A 3n  n  3n  6n 5n 5, n Bài 2: Cho a 11 1; b 1111.11     31chuso1 38 chuso1 ab   3 Chứng minh rằng:  12 Lời giải Ta có: a chia cho dư 1, b chia cho dư Đặt a 3m  1, b 3n  ab   3m  1  3n    9mn  6m  3n 3  3mn  2m  n  3 (đpcm) Bài 3: Cho A 5 x  y B 9 x  y với x, y số nguyên Chứng minh A chia hết cho 17 B chia hết cho 17 Lời giải Cách 1: Khử biến y Xét biểu thức A  B 7  x  y    x  y  35 x  14 y  18 x  14 y 17 x 17 Ta lại có hai số nguyên tố nên B17 Cách 2: Khử biến x Xét biểu thức A  B 9  x  y    x  y  55 x  18 y  45 x  35 y  17 y 17 A  B  17 Ta có:  , mà A17  B 17 Ta có 17 hai số nguyên tố nên B17 Cách 3: Xét biểu thức A  B 5  x  y    x  y  25 x  10 y  x  y  34 x  17 y  17 A  B  17 Ta có:  , mà A17  B 17 Bài 4: a) Cho biểu thức A  x  x  3  x  x  1 Chứng minh biểu thức A chia hết cho với số nguyên x b) Cho biểu thức B  x  y  x   y  x  x Chứng minh biểu thức B chia hết cho với số nguyên x, y c) Cho biểu thức C x  3x    3x  x  5 Chứng minh biểu thức C chia hết cho 11 với số nguyên x 13 d) Cho biểu thức D  xy   x   y  x  x  Chứng minh biểu thức D chia hết cho với số nguyên x, y 10 11 12 e) Cho biểu thức P 2   Chứng minh biểu thức P chia hết cho Lời giải a) Theo đề ta có: A  x  x  3  x  x  1 2 x  x  x  x  x Vì  x :  x với số nguyên x  A chia hết cho với số nguyên x b) Theo đề ta có: B  3x  y  x   y  3x  x 3 x  yx  yx  3x  xy Vì  xy :  xy với số nguyên x, y  B chia hết cho với số nguyên x, y c) Theo đề ta có: C  x  x    x  x   3 x  x  3x  15 x 11x Vì 11x :11 x với số nguyên x  C chia hết cho 11 với số nguyên x d) Theo đề ta có: D xy   x   y  x  x  3xy  x y  yx  xy 7 xy Vì xy : xy với số nguyên x, y  D chia hết cho với số nguyên x, y 10 11 12 10 10 10 10 e) Theo đề ta có: P 2   2  2.2  4.2 7.2 10 10 Vì 7.2 : 2  P 7 (đpcm) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tích   5x  y xy bằng: 3 a 5x y 3 b  5x y 3 c  x y d x y Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: 14 Ta có:   5x  1 y xy 25  x x   y y  5 x y 5 Câu 2: Giá trị biểu thức  P  x y xy  y  x  1; y 2 là: a b  c d  Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: P  x y xy  y    1    1  22   Ta có:   Câu 3: Kết phép tính  ax  bx  c  2a x 2 a 2a x  2a bx  2a cx 3 b 2a x  bx  c 2 c 2a x  2a bx  a cx 3 2 d 2a x  2a bx  2a cx Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có:  ax   bx  c 2a x 2a x  2a 2bx  2a cx 1  4a 3b  3ab  b    có kết  Câu 4: Tích a 12a b  4a b  a b 12a 4b  4a 3b  a 3b b 3 c 12a b  4a b  a b 3 d 12a b  4a b  a b 3 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: 1  4a 3b  3ab  b   12a 4b  4a 3b  a 3b 4  Ta có: 15 Câu 5: Chọn câu sai A Giá trị biểu thức ax  ax  y  B Giá trị biểu thức ay  ax  y  a  1 x 0, y 1  C Giá trị biểu thức  xy  x  y  x  5, y  D Giá trị biểu thức xy  x  y  x 1, y 0 a x 5, y  Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: ay  ax  y  a.12  a.0  1 a.1 a Thay x 0, y 1 vào biểu thức ta được: nên đáp án B sai 18  x   12  x   15  x  16    x 14  Câu 6: Cho  Kết x A B  C D  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: 18  x   12  x   15  x  16    x  14   80 x 480  x 6 Ta có:  Vậy x 6 Câu 7: Cho biểu thức P 2 x  x    x  x   A Giá trị biểu thức P x 0 B Giá trị biểu thức P x 2 -20 C Giá trị biểu thức P x  30 D Giá trị biểu thức P x  Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: 16 Hãy chọn câu     P 2.2 22   22 22  4.0      20  B x  P Thay vào ta được: Câu 8: Cho biểu thức C x  y  z   y  z  x   z  x  y  Hãy chọn khẳng định A Biểu thức C không phụ thuộc vào x, y, z B Biểu thức C phụ thuộc vào x, y, z C Biểu thức C phụ thuộc vào y D Biểu thức C phụ thuộc vào z Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Ta có: C x  y  z   y  z  x   z  x  y  xy  xz  yz  xy  xz  xy 0 Nên C không phụ thuộc vào x, y, z Câu 9: Biểu thức D  x  x n  y   y  x  y n   y n  x n  D có giá trị 2n A y B  2n C x D Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có:     D  x x n   y  y x  y n   y n  x n  x n  xy  xy  y n  y n  x n  5 Vậy D 5 3x     x  3 5 x   x  12   Câu 10: Gọi x giá trị thỏa mãn  Khi A x  18 B x  17 C 17  x  19 D 18  x  20 Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: 17 3x     x  3 5 x   x  12    x  37 11x  35  x 72  x 18 Ta có:  Vậy x 18 Suy 17  x  19 nên chọn đáp án C x  x   x  x  1 2 Câu 11: Biết  Khi x nhận giá trị sau A x 1 B x 2 C x 3 D x 4 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta có: VT  x   x   x  x  1 2 x  x  x  x x 2 VP 15 14 13 12 Câu 12: Cho x 7 Giá trị biểu thức P x  x  x  x   x  x  là: A P 2 B P 1 C P  D P 4 Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Ta có: P  x15  x14  x13  x12   x  x  x15   x  1 x14   x  1 x13    x  1 x  x15  x15  x14  x14  x13   x  x  x  7  2 n 1 n Câu 13: Rút gọn biể thức P 10  6.10 ta được: A 10 n n B  4.10 n C 4.10 n D 5.10 Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: 18 n 1 n n n n Ta có: P 10  6.10 10.10  6.10 4.10 Câu 14: Thực phép nhân   x   x  x  1 ta thu kết sau A  x  x  x B  x  x  x C  x  x  x D x  x  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích:  x   x  x  1  x.x   Ta có: x.x  x  x  x  x 2x  3y  Câu 15: Một mảnh vướn hình chữ nhật có chiều dài  mét chiều rộng y mét Diện tích mảnh vườn cho cơng thức sau A 14 xy  21y C 14 xy  21y B 14 xy  21y D 21xy 14 y Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có: Diện tích hình chữ nhật S  x  y  y 2 x.7 y  y.7 y 14 xy  21y 2  x  x  1  3x  x  x  1 3 3  Câu 16: Biết Khi x nhận giá trị sau A x 1 B x  C x 2 D x 0 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: 2  x  x  1  3x  x  x  1 2 x x  x  x  12 x  3x  3x   3x 3  x  3  Ta có: 19 Câu 17: Cho biểu thức M   432 1  a ,b  2  229  433  229 433 229.433 Bằng cách đặt 229 433 thu gọn biểu thức M ta được: A M 4a B M a  2b C M 5a D M 2a  3b Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có: M   432     1  3 .  2  2    229  433  229 433 229.433 229  433  229  433  299 433 3a   b   a   b   4ab 6a  3ab  a  ab 5a n2 n Câu 18: Rút gọn biểu thức P 5  29.5 ta thu kết sau n A P  4.5 n 1 B P  4.5 n C P 5 n4 D P 5 Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: n 2 n n n n Ta có: P 5  29.5 25.5  29.5  4.5 Câu 19: Thực phép nhân  xy x3  y  ta thu kết sau 4 A x y  xy B x y  xy C x y  xy D x y  y Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta có: xy  x3  y   x y  xy 20