Chia đa thức một biến đã sắp xếp

CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP A Tóm tắt lý thuyết 1) Phép chia hết: Là phép chia có đa thức dư Quy tắc chia: - Sắp xếp hạng tử theo lũy thừa giảm dần biến - Lấy hạng tử cao đa thức bị chia chia cho hạng tử cao đa thức chia ta thương - Nhân thương với đa thức chia lấy đa thức bị chia trừ tích - Lấy hạng tử cao đa thức vừa tìm chi cho hạng tử cao đa thức chia ta thương - Tiếp tục lặp lại bước đến nhận hiệu 2) Phép chia có dư: Là phép chia có đa thức dư khác Quy tắc chia: Làm tương tự phép chia hết đến thu đa thức dư có bậc nhỏ bậc đa thức chia *) Chú ý: Với hai đa thức tùy ý A B biến ( B 0 ) tồn cặp đa thức Q R cho A BQ  R , R 0 bậc R nhỏ bậc B  cho hai đa thức A B  B 0  tồn hai đa thức Q R cho A BQ  R +) Nếu R 0 A chia hết cho B +) Nếu R 0 bậc R nhỏ bậc B ta có phép chia có dư dư R B Bài tập áp dụng Dạng 1: thực phép tính Cách giải: Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đa thức để thực phép chia Bài 1: Thực phép tính x a)   x  x   :  x  3 x  x3  x  1 :  x3  1 c) 2x b)  Lời giải x a)   x  x  3 :  x  3 x  x   x  1  x  x  3 :  x  x  1 2x b)  c) x  x  x  3 :  x  x  1  x  3  x3  x  1 :  x3  1  x  Bài 2: Sắp xếp đa thức theo lũy thùa giảm dần biến tính 5x a)  c)  x  3x  15  x  :   x   4x b)   x  26 x  21 :   x  d)  2x  x  20  x  :  x    13 x  15  x  21x  :  x  x  3 Lời giải 5x a)   3x  15  x  :   x   x  b)   4x  x  20  x  :  x   x  c)  x  x  26 x  21 :   x   x  x  d)  2x  13x3  15  x  21x  :  x  x    x  x  Bài 3: Thực phép chia a)  3x c)  4x 3  10 x   :  x  1 b) x  3x  1 :  x  x  1 d)  2x  x   :  x  x  1  11x  19 x  20 x   :  x  x  1 Lời giải a)  3x b) x  x   :  x  x  1  x      x   4x c)  d)  2x  10 x   :  x  1  x  x  1   3x  1 :  x  x  1  x  11   26 x  10   11x3  19 x  20 x   :  x  x  1  x  x     x   Dạng 2: Tính nhanh Cách giải: Sử dụng quy tắc tính tốn dùng đẳng thức để tính nhanh phép chia Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử thực phép chia 24 x a   x  18 x  : x  5x b    8x  x3  x  : x d c  14 x  12 x  13 x  :   x   21x  35 x  :   x  Lời giải 24 x a)  b)   5x  8x c)  d)  14 x  x3  18x  : x 3 x  x  3x  x  : 3x 8 x  x  x 13  12 x3  13 x :  x  x  x  2    x3  x  : x  x  x   21x  35 x :  x  x  x    Bài 2: Sử dụng đẳng thức để thực phép chia a x c  125  8x  :  x  10   x  1 :  x  1 b  2x d   3x  8x2  8 :   x2   3x  x9  :    x3  Lời giải x a)  2x b)   x  1 :  x  1  x  1 :  x  1  x   x   :   x   x   125  8x  :  x  10   21  x c)  3x d)     10 x  25    x  x :   x3  x3   Bài 3: Thực nhanh phép tính a a   6ab  9b  :  a  3b  a  2a 2b  b  :  a  2ab  b  c a b    9a 2b  27ab  27b3 :  3b  a  Lời giải a a)   6ab  9b2  :  a  3b   a  3b  :  a  3b  a  3b  9a 2b  27 ab  27b3  :  3b  a   a  3b  :  3b  a  a  3b  2a 2b  b  :  a  2ab  b   a  b  a b)  a c)  2 2 Bài 4: Thực phép chia cách phân tích đa thức thành nhân tử 3 a ( x  x  x 1) : ( x  1) b ( x  x  6) : ( x  3) c ( x  x  12) : ( x  2) 2 d ( x  x  12 x  8) : (2  x ) Lời giải 3 a ( x  x  x 1) : ( x 1) x  b ( x  x  6) : ( x  3) x  3 2 c ( x  x  12) : ( x  2)  [( x  8)  ( x  4)]:(x-2)  (x-2)(x  x  6) : ( x  2)  x  x  6 2 4 d ( x  x  12 x  8) : (2  x ) ( x  2)( x  x  4)  x  x  Bài 5: Sử dụng đẳng thức để thực phép chia a (8 x  27) : (2 x  3) 2 b ( x  x  12 x  8) : (2  x ) 2 c ( 8a  48a b  96ab  64b ) : ( a  2b) Lời giải a (8 x  27) : (2 x  3) 4 x  x  2 2 b ( x  x  12 x  8) : (2  x ) ( x  2)( x  x  4) : (2  x )  x  x  2 c ( 8a  48a b  96ab  64b ) : ( a  2b)  8( a  2b) Dạng 3: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: chuyển vế thực phép chia Bài 1: Tìm đa thức M a x  x  x  ( x  5).M b ( x  x  3).M 2 x  13x  14 x  15 x Lời giải 3 2 a x  x  x  ( x  5).M  M ( x  x  x  5) : ( x  5) x  2 b ( x  x  3).M 2 x  13x  14 x  15 x  M 2 x  x Bài 2: Tìm đa thức M 2 c x  x  x  M (2 x  1) d ( x  x 1).M x  x  x  x  Lời giải 2 c x  x  x 1 M (2 x  1)  M  x  2 d ( x  x  1).M x  x  x  x   M  x  x  Dạng 4: Tìm điều kiện để phép chia hết Cách giải: Thực phép chia sau đồng đa thức dư với đa thức Bài 1: Tìm a để a ( x  x  a)( x  1) 2 b ( x  x  x  x  a)( x  x  5) 2 c ( x  x 17 x  25  a)( x  x  3) d ( x  3x  x  2a) ( x  1) 2 e ( x  x  21x  x  a) ( x  x  2) Lời giải a ( x  3x  a)( x  1)  a 2 2 b ( x  x  x  x  a) ( x  x  5)  a 5 2 c ( x  x  17 x  25  a) ( x  x  3)  a 4 d ( x  3x  x  2a) ( x  1) 2 e ( x  x  21x  x  a) ( x  x  2) Bài 2: Tìm a b để đa thức A chia hết cho đa thức B 2 a A x  x  21x  ax  b; B x  x  b A  x  x 10 x   a  1 x  b  a; B  x - 2x  Lời giải a  0 a 1 AB  (a  1) x  (b  30) 0    b  30 0 b  30 a a  0 AB  (a  2) x  b  a  0    b  a    b  a 2  b  Bài 3: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức a (2n  n  7) ( n  2) b (n  6n  7n  4)(n  2) c (3n  10n  5)(3n 1) Lời giải a (2n  n  7) ( n  2) 2n  n  2n    n   U (3)  1; 3  n   3;1;5;  1 n Ta có: n  b (n3  6n  7n  4)( n  2)  22( n  2)  n   U (22) c (3n  10n  5)(3n 1)   4(3n  1) Bài 4: n  3n  Tìm giá trị nguyên m để 2n  số nguyên? Lời giải Ta có: 2n  3n  (2n  1)(n  2)   2n 1 U (5)  1; 5  n   0;1;  2;3 Bài 5: Cho hai đa thức A 98m  m  6m  m  26  10m ; B 1  m  m a Chứng minh với giá trị nguyên m thương phép chia A cho B bội b Xác định giá trị nguyên m để đa thức dư = Lời giải 2 a Đặt phép chia A cho B ta thương m  6m  11m  dư 17m  81m  20 m3  6m  11m  (m  m )  (5m  5m)  (6m  6) (m  1)(m  2)(m  3) 6m  Z b Đa thức dư:  m  5(t / m) 17m  81m  20 0  (17 m  4m)  (85m  20) 0  (m  5)(17  4m) 0    m 17 (loai )  2 Bài 6: Tìm a b biết đa thức x  ax  b chia cho đa thức x  dư chia cho đa thức x  dư 112 Lời giải Đặt A x  ax  b Vì A chia cho x  dư 4, ta viết thành A  x  1 P  Tại x 1   a  b 0.P  4  b 3  a(1) Tương tự ta có:  5a  b 112  5a  b  13 0   Thay (1) (2) thu được: 5a    a   13 0  a   b 7 Bài 7: Tìm m n biết đa thức x  mx  n chia cho đa thức x  dư 27 chia cho đa thức x  dư Lời giải Đặt A x  mx  n; A  3 27  9m  n 27  n  9m; A   1   m  n 7  m  n   m 1; n  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm đa thức M, biết a (2 x  x  15 x  9) M (2 x  3) b (2 x  x  1).M 6 x  x  x  x Lời giải a (2 x  x  15 x  9) M (2 x  3) b (2 x  x  1).M 6 x  x  x  x Bài 2: Tìm a b để đa thức A chia hết cho đa thức B với: 2 a A 4 x  15 x  24 x   a; B x  x  2 b A  x  3x  x  (2a  3) x  3b  a; B x  3x  Lời giải a) Tìm a  10   a  AB  (2a  3) x  3b  a 0   b    b) Bài 3: Tìm hệ số a, b c biết: a) Đa thức x  2ax  b  x  1 chia cho đa thức x  dư 2 b) Đa thức ax  bx  c chia cho đa thức x dư -3 chia cho đa thức x  dư x  11 Lời giải a) Đặt A  x  x  2ax  b  x  1 Ta có A  1 0   2a  b 0  b   2a  1 ; A    3    4a  b 3    a  1; b 1 b) Đặt B  x  ax  bx  c Ta có B     c  x  11  B  x   x   P  x  11  x    x   P  x  11 Vì B  x  : x  dư Tại x 2  B   4.2  11   8a  4b  c  x   B    4     11  19   8a  4b  c  19 Giải ta được: a 1; b  10