CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP A Tóm tắt lý thuyết 1) Phép chia hết: Là phép chia có đa thức dư Quy tắc chia: - Sắp xếp hạng tử theo lũy thừa giảm dần biến - Lấy hạng tử cao đa thức bị chia chia cho hạng tử cao đa thức chia ta thương - Nhân thương với đa thức chia lấy đa thức bị chia trừ tích - Lấy hạng tử cao đa thức vừa tìm chi cho hạng tử cao đa thức chia ta thương - Tiếp tục lặp lại bước đến nhận hiệu 2) Phép chia có dư: Là phép chia có đa thức dư khác Quy tắc chia: Làm tương tự phép chia hết đến thu đa thức dư có bậc nhỏ bậc đa thức chia *) Chú ý: Với hai đa thức tùy ý A B biến ( B ) tồn cặp đa thức Q R cho A BQ R , R bậc R nhỏ bậc B cho hai đa thức A B B tồn hai đa thức Q R cho A BQ R +) Nếu R A chia hết cho B +) Nếu R bậc R nhỏ bậc B ta có phép chia có dư dư R B Bài tập áp dụng Dạng 1: thực phép tính Cách giải: Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đa thức để thực phép chia Bài 1: Thực phép tính x a) c) x x x : x 3 x3 x : x3 2x b) Lời giải x a) x x 3 : x 3 x x x 1 5x 2x : x2 x 2x b) x c) 5x2 x : x2 x x 3 x3 x : x3 x Bài 2: Sắp xếp đa thức theo lũy thùa giảm dần biến tính 5x a) c) x 4 x b) x 15 x : 3x x3 26 x 21 : x d) 2x x 20 x : x 13 x 15 x 21x : x x Lời giải 5x a) x3 15 x : x x b) 4 x x 20 x : x x c) x x 26 x 21 : x 3x x d) 2x 13 x3 15 x 21x : x x 3 2 x x Bài 3: Thực phép chia a) 3x c) 4x 3 10 x : 3x 1 3x : x x b) x d) 2x 11x 19 x 20 x : x x Lời giải a) 3x b) x x : x x 1 x x 4x c) d) 2x 10 x : x 1 x x 1 3x 1 : x x 1 x 11 26 x 10 11x3 19 x 20 x : x x 1 x x x 4x : x2 2x Dạng 2: Tính nhanh Cách giải: Sử dụng quy tắc tính tốn dùng đẳng thức để tính nhanh phép chia Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử thực phép chia 24 x a c x3 18 x : x x3 x : x 8 x 5 x b d 14 x 12 x3 13x : 2 x 21x 35 x : 7 x Lời giải 24 x a) b) 5 x 8 x c) d) 14 x x3 18 x : x x x x x : 3x x 3x x 13 x 6x 2 12 x3 13 x : 2 x x x : x 2 x x 21x 35 x : 7 x 4 x3 x Bài 2: Sử dụng đẳng thức để thực phép chia a x c 125 x : x 10 x : x 1 b 2x d 3x x2 : x2 x x : 1 x Lời giải x a) 2x b) x 1 : x 1 x 1 : x 1 x 8x2 8 : x2 x2 125 x : x 10 21 x c) 3x d) 10 x 25 x x : 1 x x Bài 3: Thực nhanh phép tính a a a c a b 6ab 9b : a 3b 2a 2b b : a 2ab b 9a 2b 27 ab 27b3 : 3b a Lời giải a a) a b) a c) 6ab 9b2 : a 3b a 3b : a 3b a 3b 9a 2b 27ab 27b3 : 3b a a 3b : 3b a a 3b 2a 2b b : a 2ab b a b 2 Bài 4: Thực phép chia cách phân tích đa thức thành nhân tử 3 a ( x x x 1) : ( x 1) b ( x x 6) : ( x 3) c ( x x 12) : ( x 2) 2 d ( x x 12 x 8) : (2 x ) Lời giải 3 a ( x x x 1) : ( x 1) x b ( x x 6) : ( x 3) x 3 2 c ( x x 12) : ( x 2) [( x 8) ( x 4)]:(x-2) (x-2)(x x 6) : ( x 2) x x 6 2 4 d ( x x 12 x 8) : (2 x ) ( x 2)( x x 4) x x Bài 5: Sử dụng đẳng thức để thực phép chia a (8 x 27) : (2 x 3) 2 b ( x x 12 x 8) : (2 x ) 2 c (8a 48a b 96ab 64b ) : ( a 2b) Lời giải a (8 x 27) : (2 x 3) x x 2 2 b ( x x 12 x 8) : (2 x ) ( x 2)( x x 4) : (2 x ) x x 2 c (8a 48a b 96ab 64b ) : ( a 2b) 8( a 2b) Dạng 3: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: chuyển vế thực phép chia Bài 1: Tìm đa thức M a x x x ( x 5).M b ( x x 3).M x 13 x 14 x 15 x Lời giải 3 2 a x x x ( x 5).M M ( x x x 5) : ( x 5) x 2 b ( x x 3).M x 13x 14 x 15 x M x x Bài 2: Tìm đa thức M 2 c x x x M (2 x 1) d ( x x 1).M x x x x Lời giải 2 c x x x M (2 x 1) M x 2 d ( x x 1).M x x x x M x x Dạng 4: Tìm điều kiện để phép chia hết Cách giải: Thực phép chia sau đồng đa thức dư với đa thức Bài 1: Tìm a để a ( x 3x a)M( x 1) 2 b ( x x x x a)M( x x 5) 2 c ( x x 17 x 25 a)M( x x 3) d ( x 3x x 2a) M( x 1) 2 e ( x x 21x x a) M( x x 2) Lời giải a ( x 3x a)M( x 1) a 2 b ( x x x x a) M( x x 5) a 2 c ( x x 17 x 25 a)M( x x 3) a 4 d ( x 3x x 2a) M( x 1) 2 e ( x x 21x x a) M( x x 2) Bài 2: Tìm a b để đa thức A chia hết cho đa thức B 2 a A x x 21x ax b; B x x b A x x 10 x a 1 x b a; B x - 2x Lời giải a a AMB (a 1) x (b 30) b 30 b 30 a a a AMB (a 2) x b a b a b 3 b Bài 3: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức a (2n n 7)M(n 2) b (n 6n 7n 4)M(n 2) c (3n 10n 5)M(3n 1) Lời giải a (2n n 7)M(n 2) 2n n 2n n U (3) 1; 3 n 3;1;5; 1 n2 Ta có: n b (n3 6n n 4)M( n 2) 22M(n 2) n U (22) c (3n 10n 5)M(3n 1) 4M(3n 1) Bài 4: 2n 3n Tìm giá trị nguyên m để 2n số nguyên? Lời giải Ta có: 2n 3n (2n 1)(n 2) 2n U (5) 1; 5 n 0;1; 2;3 Bài 5: Cho hai đa thức A 98m m 6m m 26 10m ; B m m a Chứng minh với giá trị nguyên m thương phép chia A cho B bội b Xác định giá trị nguyên m để đa thức dư = Lời giải 2 a Đặt phép chia A cho B ta thương m 6m 11m dư 17m 81m 20 m3 6m 11m (m3 m ) (5m 5m) (6m 6) (m 1)(m 2)(m 3) M6m Z b Đa thức dư: m 5(t / m) 17 m 81m 20 (17 m 4m) (85m 20) (m 5)(17 4m) m 17 (loai) 2 Bài 6: Tìm a b biết đa thức x ax b chia cho đa thức x dư chia cho đa thức x dư 112 Lời giải Đặt A x ax b A x 1 P Vì A chia cho x dư 4, ta viết thành Tại x a b 0.P b a(1) Tương tự ta có: 5a b 112 5a b 13 Thay (1) (2) thu được: 5a a 13 a 4 b Bài 7: Tìm m n biết đa thức x mx n chia cho đa thức x dư 27 chia cho đa thức x dư Lời giải Đặt A x3 mx n; A 3 27 9m n 27 n 9m; A 1 1 m n m n 8 m 1; n 9 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm đa thức M, biết a (2 x x 15 x 9) M (2 x 3) b (2 x x 1).M x x x x Lời giải a (2 x x 15 x 9) M (2 x 3) b (2 x x 1).M x x x x Bài 2: Tìm a b để đa thức A chia hết cho đa thức B với: 2 a A x 15x 24 x a; B x x 2 b A x 3x x (2a 3) x 3b a; B x 3x Lời giải a) Tìm a 10 a AMB (2a 3) x 3b a b 1 b) Bài 3: Tìm hệ số a, b c biết: a) Đa thức x 2ax bM x 1 chia cho đa thức x dư 2 b) Đa thức ax bx c chia cho đa thức x dư -3 chia cho đa thức x dư x 11 Lời giải a) Đặt A x x 2ax b M x 1 Ta có A 1 2a b b 1 2a 1 ; A 2 8 4a b a 1; b b) Đặt Ta có Vì Tại B x ax bx c B 3 c 3 B x : x2 dư x 11 B x x P x 11 x x P x 11 x B 4.2 11 3 8a 4b c 3 x 2 B 2 2 11 19 8a 4b c 19 Giải ta được: a 1; b 2 10 ... b) Bài 3: Tìm hệ số a, b c biết: a) Đa thức x 2ax bM x 1 chia cho đa thức x dư 2 b) Đa thức ax bx c chia cho đa thức x dư -3 chia cho đa thức x dư x 11 Lời giải a) Đặt A ... (2) thu được: 5a a 13 a 4 b Bài 7: Tìm m n biết đa thức x mx n chia cho đa thức x dư 27 chia cho đa thức x dư Lời giải Đặt A x3 mx n; A 3 27 9m n 27... Z b Đa thức dư: m 5(t / m) 17 m 81m 20 (17 m 4m) (85m 20) (m 5)(17 4m) m 17 (loai) 2 Bài 6: Tìm a b biết đa thức x ax b chia cho đa thức x dư chia