CHIA đa THỨC một BIẾN đã sắp xếp

CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP A Tóm tắt lý thuyết 1) Phép chia hết: Là phép chia có đa thức dư Quy tắc chia: - Sắp xếp hạng tử theo lũy thừa giảm dần biến - Lấy hạng tử cao đa thức bị chia chia cho hạng tử cao đa thức chia ta thương - Nhân thương với đa thức chia lấy đa thức bị chia trừ tích - Lấy hạng tử cao đa thức vừa tìm chi cho hạng tử cao đa thức chia ta thương - Tiếp tục lặp lại bước đến nhận hiệu 2) Phép chia có dư: Là phép chia có đa thức dư khác Quy tắc chia: Làm tương tự phép chia hết đến thu đa thức dư có bậc nhỏ bậc đa thức chia *) Chú ý: Với hai đa thức tùy ý A B biến ( B  ) tồn cặp đa thức Q R cho A  BQ  R , R  bậc R nhỏ bậc B  cho hai đa thức A B  B   tồn hai đa thức Q R cho A  BQ  R +) Nếu R  A chia hết cho B +) Nếu R  bậc R nhỏ bậc B ta có phép chia có dư dư R B Bài tập áp dụng Dạng 1: thực phép tính Cách giải: Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đa thức để thực phép chia Bài 1: Thực phép tính x a)  c) x   x  x  :  x  3  x3  x  : x3    2x b)   Lời giải x a)   x  x  3 :  x  3  x  x    x  1     5x  2x  : x2  x  2x b)  x c)      5x2  x  : x2  x   x  3     x3  x  : x3   x  Bài 2: Sắp xếp đa thức theo lũy thùa giảm dần biến tính 5x a)  c)  x  4 x b)   x  15  x :   3x    x3  26 x  21 :   x  d)  2x   x  20  x :  x          13 x  15  x  21x : x  x  Lời giải 5x a)   x3  15  x  :   x   x  b)  4 x  x  20  x  :  x    x  c)  x  x  26 x  21 :   x   3x  x  d)  2x  13 x3  15  x  21x  :  x  x  3  2 x  x  Bài 3: Thực phép chia a)  3x c)  4x 3   10 x  :  3x  1     3x  : x  x  b) x d)  2x    11x  19 x  20 x  : x  x  Lời giải a)  3x b) x  x   :  x  x  1   x      x   4x c)  d)  2x  10 x   :  x  1   x  x  1   3x  1 :  x  x  1   x  11   26 x  10   11x3  19 x  20 x   :  x  x  1   x  x     x     4x  : x2  2x  Dạng 2: Tính nhanh Cách giải: Sử dụng quy tắc tính tốn dùng đẳng thức để tính nhanh phép chia Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử thực phép chia 24 x a  c   x3  18 x : x  x3  x : x  8 x 5 x b   d  14 x        12 x3  13x : 2 x  21x  35 x : 7 x Lời giải 24 x a)  b)  5 x 8 x c)  d)  14 x  x3  18 x  : x  x  x  x  x  : 3x  x  3x  x 13 x  6x  2  12 x3  13 x  :  2 x    x  x : x  2 x  x    21x  35 x  :  7 x   4 x3  x  Bài 2: Sử dụng đẳng thức để thực phép chia a x c  125  x  :  x  10    x  :  x  1 b  2x d   3x    x2  :  x2  x  x : 1  x Lời giải x a)  2x b)   x  1 :  x  1   x  1 :  x  1  x   8x2  8 :   x2    x2   125  x  :  x  10   21  x c)  3x d)      10 x  25     x  x : 1  x   x  Bài 3: Thực nhanh phép tính     a a  a c  a b    6ab  9b :  a  3b   2a 2b  b : a  2ab  b     9a 2b  27 ab  27b3 :  3b  a   Lời giải a a)  a b)  a c)   6ab  9b2  :  a  3b    a  3b  :  a  3b   a  3b  9a 2b  27ab  27b3  :  3b  a    a  3b  :  3b  a   a  3b  2a 2b  b  :  a  2ab  b    a  b  2 Bài 4: Thực phép chia cách phân tích đa thức thành nhân tử 3 a ( x  x  x  1) : ( x  1) b ( x  x  6) : ( x  3) c ( x  x  12) : ( x  2) 2 d ( x  x  12 x  8) : (2  x ) Lời giải 3 a ( x  x  x  1) : ( x  1)  x  b ( x  x  6) : ( x  3)  x  3 2 c ( x  x  12) : ( x  2)  [( x  8)  ( x  4)]:(x-2)  (x-2)(x  x  6) : ( x  2)  x  x  6 2 4 d ( x  x  12 x  8) : (2  x )  ( x  2)( x  x  4)   x  x  Bài 5: Sử dụng đẳng thức để thực phép chia a (8 x  27) : (2 x  3) 2 b ( x  x  12 x  8) : (2  x ) 2 c (8a  48a b  96ab  64b ) : ( a  2b) Lời giải a (8 x  27) : (2 x  3)  x  x  2 2 b ( x  x  12 x  8) : (2  x )  ( x  2)( x  x  4) : (2  x )   x  x  2 c (8a  48a b  96ab  64b ) : ( a  2b)  8( a  2b) Dạng 3: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: chuyển vế thực phép chia Bài 1: Tìm đa thức M a x  x  x   ( x  5).M b ( x  x  3).M  x  13 x  14 x  15 x Lời giải 3 2 a x  x  x   ( x  5).M  M  ( x  x  x  5) : ( x  5)  x  2 b ( x  x  3).M  x  13x  14 x  15 x  M  x  x Bài 2: Tìm đa thức M 2 c x  x  x   M (2 x  1) d ( x  x  1).M  x  x  x  x  Lời giải 2 c x  x  x   M (2 x  1)  M  x  2 d ( x  x  1).M  x  x  x  x   M  x  x  Dạng 4: Tìm điều kiện để phép chia hết Cách giải: Thực phép chia sau đồng đa thức dư với đa thức Bài 1: Tìm a để a ( x  3x  a)M( x  1) 2 b ( x  x  x  x  a)M( x  x  5) 2 c ( x  x  17 x  25  a)M( x  x  3) d ( x  3x  x  2a) M( x  1) 2 e ( x  x  21x  x  a) M( x  x  2) Lời giải a ( x  3x  a)M( x  1)  a  2 b ( x  x  x  x  a) M( x  x  5)  a  2 c ( x  x  17 x  25  a)M( x  x  3)  a  4 d ( x  3x  x  2a) M( x  1) 2 e ( x  x  21x  x  a) M( x  x  2) Bài 2: Tìm a b để đa thức A chia hết cho đa thức B 2 a A  x  x  21x  ax  b; B  x  x  b A  x  x  10 x   a  1 x  b  a; B  x - 2x  Lời giải a   a  AMB  (a  1) x  (b  30)     b  30  b  30 a a   a  AMB  (a  2) x  b  a      b  a   b  3 b Bài 3: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức a (2n  n  7)M(n  2) b (n  6n  7n  4)M(n  2) c (3n  10n  5)M(3n  1) Lời giải a (2n  n  7)M(n  2) 2n  n   2n    n   U (3)   1; 3  n   3;1;5; 1 n2 Ta có: n  b (n3  6n  n  4)M( n  2)  22M(n  2)  n   U (22) c (3n  10n  5)M(3n  1)  4M(3n  1) Bài 4: 2n  3n  Tìm giá trị nguyên m để 2n  số nguyên? Lời giải Ta có: 2n  3n   (2n  1)(n  2)   2n   U (5)   1; 5  n   0;1; 2;3 Bài 5: Cho hai đa thức A  98m  m  6m  m  26  10m ; B   m  m a Chứng minh với giá trị nguyên m thương phép chia A cho B bội b Xác định giá trị nguyên m để đa thức dư = Lời giải 2 a Đặt phép chia A cho B ta thương m  6m  11m  dư 17m  81m  20 m3  6m  11m   (m3  m )  (5m  5m)  (6m  6)  (m  1)(m  2)(m  3) M6m  Z b Đa thức dư:  m  5(t / m) 17 m  81m  20   (17 m  4m)  (85m  20)   (m  5)(17  4m)     m  17 (loai)  2 Bài 6: Tìm a b biết đa thức x  ax  b chia cho đa thức x  dư chia cho đa thức x  dư 112 Lời giải Đặt A  x  ax  b A   x  1 P  Vì A chia cho x  dư 4, ta viết thành Tại x    a  b  0.P    b   a(1) Tương tự ta có:  5a  b  112  5a  b  13    Thay (1) (2) thu được: 5a    a   13   a  4  b  Bài 7: Tìm m n biết đa thức x  mx  n chia cho đa thức x  dư 27 chia cho đa thức x  dư Lời giải Đặt A  x3  mx  n; A  3  27  9m  n  27  n  9m; A  1  1  m  n   m  n  8  m  1; n  9 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm đa thức M, biết a (2 x  x  15 x  9)  M (2 x  3) b (2 x  x  1).M  x  x  x  x Lời giải a (2 x  x  15 x  9)  M (2 x  3) b (2 x  x  1).M  x  x  x  x Bài 2: Tìm a b để đa thức A chia hết cho đa thức B với: 2 a A  x  15x  24 x   a; B  x  x  2 b A  x  3x  x  (2a  3) x  3b  a; B  x  3x  Lời giải a) Tìm a  10  a  AMB  (2a  3) x  3b  a    b  1  b) Bài 3: Tìm hệ số a, b c biết: a) Đa thức x  2ax  bM x  1 chia cho đa thức x  dư 2 b) Đa thức ax  bx  c chia cho đa thức x dư -3 chia cho đa thức x  dư x  11 Lời giải a) Đặt A  x   x  2ax  b M x  1 Ta có A  1    2a  b   b  1  2a  1 ; A  2    8  4a  b     a  1; b  b) Đặt Ta có Vì Tại B  x   ax  bx  c B    3  c  3 B  x  : x2  dư   x  11  B  x   x  P  x  11   x    x   P  x  11 x   B    4.2  11  3  8a  4b  c  3 x  2  B  2    2   11  19  8a  4b  c  19 Giải ta được: a  1; b  2 10 ...  b) Bài 3: Tìm hệ số a, b c biết: a) Đa thức x  2ax  bM x  1 chia cho đa thức x  dư 2 b) Đa thức ax  bx  c chia cho đa thức x dư -3 chia cho đa thức x  dư x  11 Lời giải a) Đặt A ... (2) thu được: 5a    a   13   a  4  b  Bài 7: Tìm m n biết đa thức x  mx  n chia cho đa thức x  dư 27 chia cho đa thức x  dư Lời giải Đặt A  x3  mx  n; A  3  27  9m  n  27... Z b Đa thức dư:  m  5(t / m) 17 m  81m  20   (17 m  4m)  (85m  20)   (m  5)(17  4m)     m  17 (loai)  2 Bài 6: Tìm a b biết đa thức x  ax  b chia cho đa thức x  dư chia