Nhân đa thức với đa thức

NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A Tóm tắt lý thuyết Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích vào với ( A  B)(C  D)  AC  AD  BC  BD Với A, B, C , D đơn thức  A  B   C  D   AC  AD  BC  BD Với A, B, C , D đơn thức 2 Ví dụ: ( x  1)( x  3) x  3x  x  x  x  Lưu ý: Thu gọn hạng tử đơng dạng (nếu có) trước nhân sau nhân - Nếu phải nhân nhiều đa thức, lần nhân hai đa thức với B Bài tập áp dụng dạng toán Dạng 1: làm phép tính nhân đa thức với đa thức Cách giải: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức Bài 1: Làm tính nhân a ( x  1)( x  x  x  x  1) 2 b (2 x  y)(4 x  xy  y ) c (2 x  3x  1)( x  x  5) d (3 x  5)(2 x  11)  (2 x  3)(3x  7) e (3 x  1)( x  1)( x  2) Lời giải 4 a) Ta có: ( x  1)( x  x  x  x  1) x  x  x  x  x  x  x  x  x   x  2 2 2 3 b) Ta có: (2 x  y )(4 x  xy  y ) 8 x  x y  xy  x y  xy  y 8 x  3 2 c) Ta có: (2 x  x  1)( x  x  5) 2 x  x  10 x  x  x  15 x  x  x  2 x5  x  x  x  17 x  2 d) Ta có: (3 x  5)(2 x  11)  (2 x  3)(3 x  7) 6 x  33x  10 x  55  x  14 x  x  21  76 Bài 2: Làm tính nhân a (5 xy  1)( y  x  y) 10 b ( x  x  1)( x  1) c ( x  x  x  1)(5  x ) d ( x  3)( x  2)( x  1) Lời giải a) Ta có: (5 xy  1)( 1 y  x  y )  xy  10 x3 y  xy  y  x2  y 10 10 2 b) Ta có: ( x  x 1)( x  1) x  x  x  x  x   x  3x  x  c) Ta có: ( x  x  x  1)(5  x) 5 x  x  10 x  x  x  x   x  x  x  11x  x  2 d) Ta có: ( x  3)( x  2)( x  1) (x  x  6)(x  1) x  x  x  x  x   x  x  x  Bài 3: Thực phép nhân 3x a  c x x d    11  x x   x   x b     x  x5  x  x  x    x  x3  x  2n  xn y n  y 2n x n  yn x 3n  y 3n   n N  Lời giải 3x a) Ta có:   11  x   x   x  24 x3  18 x  x  88 x  66  22 x  40 x  30 x  10 x3 6 x  14 x3  36 x  118 x  66 b) Ta có: x  x  1  x  x  x  x  1  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x7  x  x c) Ta có:  x d) Ta có:   x  1  x  x  1  x  x  x  x  x  x  x  x   x  x  2n  xn y n  y 2n x n  yn x 3n  y 3n  x 3n  y 3n   x 3n Bài 4: Thực phép nhân a  a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  d   a  b  c  d  ab   b ac  ad  bc  bd  cd   y 3n  x n  y n  Lời giải a) Ta có:  a  b  c   a2  b2  c2  ab  bc  ca  a  ab  ac  a 2b  abc  a 2c  a 2b  b  bc c3  abc  bc  ac a  b3  c3  3abc b) Ta có:  a  b  c  d   a  b2  c2  d  ab  ac  ad  bc  bd  cd  a  ab  ac  ad  a 2b  a 2c  a d  abc  abd  acd  a 2b  b  bc  bd  ab  abc  abd  b 2c  b d  bcd  a 2c  b 2c  c  cd  abc  ac  acd  bc  bcd  c d  a d  b d  c d  d  abd  acd  ad  bcd  bd  cd a  b3  c  d  3abc  3abd  3acd  3bcd Dạng 2: Tính giá trị biểu thức cho trước Cách giải: Bước 1: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức để rút gọn biểu thức cho Bước 2: Thay giá trị biến vào biểu thức sau rút gọn bước Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau a A ( x  3)( x  7)  (2 x  5)( x  1) với x 0; x 1 x 2 b B (3 x  5)(2 x  1)  (4 x  1)(3x  2) với x 1; y 1; z 1 c C (2 x  y )(2 z  y )  ( x  y )( y  z ) với d D x( x  2)  y ( y  2)  xy  65 với x  y  e E  x  y ( y  x )  75 với x  y  Lời giải 2 a) Ta có: A ( x  3)( x  7)  (2 x  5)( x  1)  x  x  21  x  x  x   x  11x  26 Thay x 0 vào biểu thức A ta được: A  26; x 1  A   11  26  16 b) Ta có: B (3x  5)(2 x  1)  (4 x  1)(3 x  2) 6 x  3x 10 x  12 x  x  x  18 x 12 x   x 2  B 18.4 12.2  89 x 2      x   B 18.4  12.2  41 c) Ta có: C (2 x  y )(2 z  y )  ( x  y )( y  z ) 4 xz  xy  yz  y  xy  xz  y  yz 3xz  3xy  yz  C 3( xz  yz  xy )  z 1  C 3(1   1) 9 z 1      z   C 3(   1)  d) Ta có: D ( y  5)( y  7)  y ( y  2)  y ( y  5)  65 Thay x  y  vào biểu thức A ta được: D 100 2 e) Ta có: E  x  y ( y  x)  75 ( x  y ) Thay x  y  vào biểu thức E ta được: E 5 25 Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau a A 1 (2 x  y )(2 x  y ) x 1; y  2 2x y với 1 x ;y  2 b B ( x  y )( x  3xy  y ) với c C 3a ( 2a  2a  )( a  3) với a  2 d D (25 x 10 xy  y )(5 x  y ) với x  y  1 x  ;y  e E  x  y ( y  x )  75 với Lời giải a) Ta có:  A A 1 (2 x  y )(2 x  y )  A  2 (4 x  xy  xy  y ) 2 2x y 2x y 15 (4 x  y )  A  2 2x y b) Ta có: B ( x  y )( x  3xy  y )  B x  3x y  xy  x y  xy  27 y  B x  27 y  B  c) Ta có: C 3a ( 2a  2a  )( a  3)  C 6a  24a  19a  3a  C   52 2 3 d) Ta có: D (25 x 10 xy  y )(5 x  y )  D 125 x  y  D 0 Dạng 3: Chứng tỏ giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Cách giải: - Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức - Áp dụng quy tắc rút gọn đa thức để thu kết khơng cịn chứa biến Bài 1: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a A (t  2)(3t  1)  t (3t  3)  2t  b B (2a  3)(2a  3)  a (3  4a)  3a  c C (4  c)(4  c)  (2  c)c  6c  2002 Lời giải a) Ta có: A (t  2)(3t  1)  t (3t  3)  2t   A 5 Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến b) Ta có: B (2a  3)(2a  3)  a(3  4a )  3a   B  Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị biến c) Ta có: C (4  c)(4  c)  (2  c)c  6c  2002  C 2018 Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào giá trị biến Bài 2: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a A ( x  5)(2 x  3)  x( x  3)  x  2 2 b B ( x  x  3)(3x  x  1)  3x ( x  2)  x( x  1) 2 c ( x  7)( x  2)  (2 x  1)( x  14)  x( x  x  22)  35 Lời giải 2 a) Ta có: A ( x  5)(2 x  3)  x( x  3)  x  2 x  x  10 x  15  x  x  x   Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến 2 2 b) Ta có: B ( x  x  3)(3x  x  1)  3x ( x  2)  x( x  1)  B 3 Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị biến Bài 3: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a       A  x x  x  3x   x  x  x   x  x  b B  x  3  x     x  1  x  1   x  1 x c C  x    x  3  x  x  3  x   Lời giải 4 2 a) Ta có: x  x  3x  x  x  x  3x  x  x   x  x   Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến b) Ta có: B  x  3  x     x  1  x  1   x  1 x  x  x  3x   x   x  x  Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị biến c) Ta có: C  x    x  3  x  x  3  x  2 x  3x  10 x  15  x  x  x   Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị biến Dạng 4: Tìm x biết x thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: Bước 1: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc Bước 2: Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức hai vế để tìm x Bài 1: Tìm x , biết a (8 x  2)(1  x)  (6 x  1)(4 x  10)  50 2 b ( x  x 16)( x  4) x( x  1)( x  2)  x 0 c (3 x  5)(7  x)  (5 x  2)(3x  2)  0 d 3(2 x  3)(3 x  2)  2( x  4)(4 x  3)  x(4  x) 6 e (8 x  3)(3 x  2)  (4 x  7)( x  4) (2 x  1)(5 x  1) Lời giải a) Ta có: (8 x  2)(1  x)  (6 x  1)(4 x  10)  50   62 x  12  50  x 1 Vậy x 1 2 b) Ta có: ( x  x  16)( x  4)  x( x 1)( x  2)  3x 0   x  64 0  x  32 Vậy x  32 c) Ta có: (3 x  5)(7  x)  (5 x  2)(3 x  2)  0  21x  15 x  35  25 x 15 x  10 x  x  0 13 13  42 x 39  x   x  14 14 13 x 14 Vậy d) Ta có:  18 x  12 x  27 x  18  x  x  32 x  24  36 x  x 6  x  15 x  24 0  x Bài 2: Tìm x , biết a ( x  3)( x  1)  x( x  5) 11 b (8 x  3)(3x  2)  (4 x  7)( x  4) (2 x  1)(5 x  1) Lời giải a) Ta có: ( x  3)( x  1)  x( x  5) 11  x  x  11  x 14  x 2 Vậy x 2  x   24 x  x   x  23 x  28 10 x  x   10 x  23 x  33 0    x  33 10  b) Ta có: 2  33  x   1;   10  Vậy Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Cách giải: Thực phép nhân đa thức với đa thức vế thứ nhất, sau rút gọn đa thức tích để thu kết vế cịn lại Bài 1: Chứng minh 2 4 a (a  a b  ab  b )(a  b) a  b b (t  2)(t  4)(t  2) t  16 2 5 c ( x  x y  x y  xy  y )( x  y ) x  y Lời giải a) Ta có: (a  a 2b  ab  b )(a  b ) a  a 3b  a 3b  a 2b  a 2b  ab3  ab  b a  b  đpcm b) Ta có: (t  2)(t  4)(t  2) (t  4t  2t  8)(t  2) t  16  đpcm 5 c) Ta có: VT x  y  đpcm Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau ( x  a )( x  b)  ( x  b)( x  c)  ( x  c)( x  a) ab  bc  ca  x với Lời giải 10 x a bc e) E n(3  2n)  (n  1)(1  4n)  1 n  Z Lời giải a) Ta có: A m(m  5)  (n  3)(n  2) 6  6(n  1) 6 (đpcm) b) Ta có: B (m  1)(m  1)  (m  7)(m  5) 12  B 12( m  3) 12 m (đpcm) c) Ta có: C (2m  3)(3n  2)  (3m  2)(2n  3) 5 m, n  C 5(m  n) 5 (đpcm) 2 d) Ta có: D 2n (n  1)  2n( n  n  3) 6 n  Z  6n 6 (đpcm) e) Ta có: E n(3  2n)  (n  1)(1  4n)  1n  Z  6(n  n ) 6 (đpcm) Dạng 6: Tìm GTNN, GTLN biểu thức Cách giải:  f  x    m m +) Khi tìm GTNN biểu thức, ta đưa dạng  ( số) 2  f  x   0, x  R   f  x    m m, x  R Vì  f x 0  x Dấu " " xảy   Vậy GTNN biểu thức m x    f  x    m m, x +) Khi tìm GTLN ta biến đổi dạng:  Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau 15 2 b) B  x  y  x  y  10 a) A  x  10  25 c) C 2 x  x  10 Lời giải 2 a) Ta có: A x  10  25 ( x  5) 0, x  R Vậy GTNN biểu thức A 0, x  0  x 5 1 3  B  x  y  x  y  10 ( x  x )  ( y  y )  10  x     y     x, y  R 2 4  b) Ta có: 2 2   x  0    Vậy GTNN biểu thức A ,  y  0  x    y  3  11 11  C 2 x  x  10 2( x  x)  10 2  x     2 2  c) Ta có: 2 11 x Vậy GTNN biểu thức C , Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a) A x  x b) B 2 x  x  Lời giải 1 1  A  x  x   x     , x  R 2 4  a) Ta có: 1 x  0  x  2 Vậy GTLN biểu thức A , 1 9  B 2 x  x   2( x  x )    x     2 2  b) Ta có: 2 1 x  0  x  2 Vậy GTNN biểu thức A , 16 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x  1  x   Câu 1: Thực phép tính  ta thu kết sau A x  3x  2 B x  x  C x  x  D  x  x   Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: 17 x  1  x   x  x  x  x  3x  Ta có:  x x  3  3x   10 x  7 Câu 2: Tìm x , biết:  A C x x  B x 2 D x  Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Ta có: x  x    3x   10 x  7  30 x  18 x  x  30 x 7  x  x  y  x  y Câu 3: Tích  có kết 2 A x  xy  y 2 B x  y 2 C x  y 2 D x 2 xy  y Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: x  y   x  y  x  xy  xy  y Ta có:  Câu 4: Chọn câu  1  x  x   x  x3  x x B   1  x  x  x  x  x x C   1  x  x   x  x3  x  x A D x x  1  x  x   x  x3  x Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: 18 x Ta có:   1  x  x   x x  x.x  x  x x  x  x  x Câu 5: Cho biểu thức A x  x  1    x    x   x Khẳng định sau A A 2  x B A  C A  D A  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có: A x  x  1    x    x   x  x  x   x  x  x  x 1 Vậy A 1  Câu 6: Cho hai số tự nhiên n m Biết n chia cho dư 1, m chia cho dư Hãy chọn câu A mn chia dư B mn  n chia hết cho C m  n chia hết cho D mn chia dư Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: n 5 p  1  p  n; p  N  Ta có: n chia dư nên ; m chia dư nên m 5q    p  m; q  N  Khi mn  p  1  5q   25 pq  20 p  5q  5  pq  p  q   5 pq  p  q  5  mn Mà  chia dư 4, phương án A, D sai Ta có: m  n 5q    p  1 5  p  Mà p 5;5q 5  m  n chia cho dư Vậy phương án B sai Ta có: m  n 5q   p  5 p  5q  5  p  q  1 5  C 19 Câu 7: Cho hình thang có đáy lớn gấp đơi đáy nhỏ, đáy nhỏ lớn chiều cao đơn vị Biểu thức tính diện tích hình thang là: A S 3x  x C S B x2  x  D S 3x  x S x2  2x  Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: x x  2 Gọi  độ dài đáy nhỏ hình thang Theo giả thiết ta có: độ dài đáy lớn x, chiều cao hình thang là: x  Diện tích hình thang là: S  x  2x   x  2  3x  x    3x  x (đvdt) Câu 8: Chọn câu : x  1  x  x  1  x3  A  x  1  x  1 1  x B  x  1  x  1 1  x C  x  1  x  x  1 1  x D  Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: x  1  x  x  1  x  x  x  x  x   x  Ta có:  Câu 9: Giá trị biểu thức M x  x3  x  x     x    x  x  1 là: A B C  D  Lời giải 20