Chia đơn thức cho đơn thức

CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC A Tóm tắt lý thuyết Các khái niệm phép chia đơn thức Cho A B hai đơn thức, B khác - Ta nói đơn thức A chia hết cho đơn thức B tìm đơn thức Q cho A BQ - A gọi đơn thức bị chia, B gọi đơn thức chia, Q gọi đơn thức thương - Đơn thức A chia hết cho đơn thức B biến B biến A với số mũ khơng lớn số mũ A Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp chia hết) - Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B - Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa biến B - Nhân kết tìm với Đơn thức A chia hết cho đơn thức B - Mỗi biến B biến A - Số mũ biến B khơng lớn số mũ biến A Nhắc lại mộ số quy tắc lũy thừa m n m n - Chia hai lũy thừa số: a : a a (m, n  N , m n) m n m n - Nhân hai lũy thừa số: a a a ( x 0; m, n  N ) m m m - Lũy thừa tích: a b (a.b) (a, b 0; m  N ) a m am ( )  m (b 0; m  N ) b - Lũy thừa thương: b B Bài tập áp dụng dạng toán Dạng 1: Thực phép chia Cách giải: Áp dụng trực tiếp quy tắc chia đơn thức cho đơn thức (trường hợp chia hết) ý quy tắc lũy thừa Bài 1: Tính 12 12 a) 25 :  49      :  b)  25    24 25 1 1   :  c)     49 Lời giải 12 16 12 a) Ta có: 25 : 5 : 5 12 24 24 24  49     7  7   :     :   1 b) Ta có:  25        25 49 50 49  1  1  1  1   :     :    c) Ta có:         Bài 2: Tính  5  5   :  a)      6  7   :  c)     4 b)   18  : Lời giải 25  5  5  5   :      a) Ta có:       4 4 b) Ta có:   18 : 18 : 2 16 2 36  6  7  5   :      49  c) Ta có:      Bài 3: Tính   5  5   :  a)     b) 28 :     9  9   :   c)     Lời giải      125   :   a) Ta có:     64 b) Ta có: 287 :     77 96  9  9 :      c) Ta có:      Bài 4: Thực phép tính a) x : x c)   x  :   x  b) 36 x :12 x d)  32   y  :  y  Lời giải a) Ta có: x : x x 7 b) Ta có: 36 x :12 x  36 :12  x 3 x c) Ta có:   x  :   x    x  9   x   x 32   y  :   y   32 :      y : y   16 y d) Ta có: Bài 5: Tính 20 x : 5x2 a) c) 19 z :  3z  b) x10 : 5   x 25  x3 d)   :   x Lời giải 20  20  x : x  :  x3  x   a) Ta có: b) Ta có: x10 : 5 5 4   x   1:  x10 : x8  x   19 19 19 z :  3z  19 z : z  z 8  z 9 c) 25  x3 d)   : 25 15   x   :    x  :   x   10 x13  8 Bài 6: Chia đơn thức sau 2 a) 15 x y : xy 4 b) x y : x y 1  xy  :  x y    d) c) x y :10 x y Lời giải 2 a) Ta có: 15 x y : xy 3x 3 b) Ta có: x y : x y  y x y :10 x y  y c) Ta có: 3 1 3  xy  :  x y   xy   d) Ta có: Bài 7: Chia đơn thức sau 121x y :  11x y  7 a) x y z : x y b) 27 x y z : xz c) d)   y  :  y    Lời giải 9 x5 y z : x y  xz a) Ta có: 121x y :  11x y  121:   11  x 5 y 6  11xy b) Ta có:   27  27  3 2 x y z : xz  : x y z  x y z 8 4  c) Ta có: 7 d) Ta có:   y  :  y     y  :   y    y  Bài 8: Chia đơn thức sau 3 a) 15a bc : 3a b b)  21x y z : xy z 3 ( x  y)6 : 5( x  y )3 d)  12 4 x y z : x yz e) 25 2 Lời giải 2 a) Ta có: 15a bc : 3a b 5c 3 b) Ta có:  21x y z : xy z  3xy 3 x y z : y z 6 x yz c) Ta có: 3 ( x  y)6 : 5( x  y )3 d) Ta có:  12 4 x y z : x yz e) Ta có: 25 Bài 9: Thực phép tính 3 x y z : y z c) a)  21a b x 81a x b)  4  10 x y c)   6a 2b3 x5  9a 3b x : 3a 2b x  y  36 x y  18ax y  18ax y :  x y    1   12 x y  x y :  x y       10 15  5  x yz  xy z  xyz  :  xyz    3  d)    x  y   3 x  y   x  y :  x  y   e)  Lời giải a) Ta có:  21a b x 3  2  6a b x  9a b x : 3a b x 81a x b) Ta có:  4  10 x y c) Ta có: 4  21a 4b x3 6a 2b3 x5 9a 3b x  2  2  2 7a x  2bx3  3ab x 3a b x 3a b x 3a b x y  36 x5 y  18ax5 y  18ax y :  x3 y  9a x  x y  2ax y  2ax y    1   12 x y  x y :  x y   20  24 xy  12 x y      10 15  5  x yz  xy z  xyz  :  xyz   xz  y z   2  3  d) Ta có:    x  y    x  y   x  y  :  x  y   x  y    x  y    e) Ta có:  Bài 10: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến   A  x y :   xy   x  y  1  y  1   x    x, y 0    Lời giải  A  x2 y3 :    Ta có: 2 x y  xy   x  y  1  y  1   x     x  y  1  y  1   x     xy  A  xy  xy  x  x   Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến Bài 11: Tìm đa thức P  x , biết x3 P  x  25 x  30 x  10 x Lời giải Ta có: x3 P  x  25 x  30 x5  10 x  P  x   25 x  30 x  10 x  :  x  5 x  x  Vậy đa thức P  x  5 x  x  Bài 12: Tìm đa thức a) P  x , biết x3 P  x  25 x  30 x  10 x  x y  P  x   x y b)   18 x6 y  x y Lời giải a) Ta có:  Vậy đa thức c ần tìm b) Ta có:   P  x   25 x  30 x  10 x : x 5 x  x  P  x  5 x3  x    x y  P  x   x y  3 x y  x y  Vậy đa thức c ần tìm   18 x y  x y  P  x    x8 y  18 x y  x y :  x y P  x  3x y  x y   Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Cách giải: Thực phép chia để tìm kết trước, sau thay số tính giá trị biểu thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau x  3; y  a) A 15 x y :10 xy b) B   x3 y z  :   x y z  3 x 1; y  1; z 100 Lời giải A 15 x5 y :10 xy  x y  A 81 x  3; y  a) Ta có: b) Ta có: B   x3 y z  :   x y z   B  yz  100 x 1; y  1; z 100 Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau a b A   x3 y  :   x12 y11   B 25 x y  :15 x y 4 x ;y tại x 2017; y  Lời giải a) Ta có: A   x3 y  :   x12 y11    1 x12 y12 :   x12 y11   y  4 x ;y 3 B 25  x y  :15 x y  y  B  x 2017; y  b) Ta có: Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau a A 1  x   3:   x  x 3 b B  x  y  z  :   x  y  z  x 17; y 16; z 1 Lời giải a) Ta có: A 1 3  x   3:   x    x    A  2 x 3 b) Ta có: B  x  y  z  :   x  y  z    x  y  z   D  x 17; y 16; z 1 Bài 4: Tính giá trị biểu thức sau a A 54  x  y  1 :  18   x  y  x 21; y  10 b B   x  :  x  1 x 11 Lời giải a) Ta có: A 54  x  y  1 :  18   x  y  3  x  y  1  A 90 x 21; y  10 b) Ta có: 3 B   x  :  x  1 64  x  1  B 64000 x 11 Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau a A ( 15 x y z ) : x y z ( x  2 3 ; y  ; z 1000) B ( 3m n p )2 : 27m3np 2m3n ( p  ) b 1 C ( ax y ) : ( ax y )3 (a  ; x  ; y  ) c Lời giải a) Ta có: A ( 15 x y z ) : x y z  3xy  2 3  A  3 B ( 3m n p ) : 27m3np 2m3n ( p  ) b) Ta có: 1 3 C ( ax y ) : ( ax y )3 (a  ; x  ; y  )  A  ax y  250 c) Ta có: Dạng 3: Tìm điều kiện n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B Cách giải: Sử dụng lý thuyết điều kiện số mũ biến để đơn thức A chia hết cho đơn thức B Bài 1: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đa thức B trường hợp sau: n 1 n a A 4 x y B 3x y n n b A 7 x y  x y B 5 x y 3 n n c A  x y  3x y  x y B 4 x y Lời giải A x n 1 y  n a) Ta có B x y n  3 n 2  n 2    Để đa thức A chia hết cho đa thức B , 2 n  n 3  n 3 A x n  y  x3 y x n  y 5x y   n  n n B x y 5x y 5x y b) Ta có Để đa thức A chia hết cho đa thức B , n  2  5 n  4 n  n 3   n 4  n 3  n 4  A x y  3x3 y  x y n x y 3x y x2 y n     4xn y 4x n y 4x n y 4x n y c) Ta có B  n 3 n     n  Để đa thức A chia hết cho đa thức B , n 2 n 2  n 2  2 n Bài 2: n n 1 Cho đơn thức A 3x y B  x y Tìm số tự nhiên n cho đơn thức A chia hết A cho đơn thức B Tìm thương B ứng với giá trị tìm n Lời giải Điều kiện để đơn thức A chia hết cho đơn thức B là: n  2 n 3   n 3; n 4  n  5 n 4 A 3x2 y5 3   y - Với n 3 B  x y A x3 y 3   x - Với n 4 B  x y Bài 3: Tìm điều kiện n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B trường hợp sau: n a A 14 x y B  x y 2n 2 b A 20 x y B 3x y Lời giải a) Ta có: AB  n  N ; n 4 b) Ta có: AB  n  N ; n 1 Bài 4: Tìm điều kiện n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B trường hợp sau 2n a A  21x y z B 4 x yz A  x3n 1 y z B  x10 y n z 7 b Lời giải 10 a) Ta có: AB  n  N ; 2n  1  n 1(n  N ) b) Ta có: n  N  AB  3n  10  8 2n  n  N   n 3  n   1; 2  n 4  Bài 5: Tìm giá trị nguyên n để hai biểu thức A B đồng thời chia hết cho biểu thức C 2n n 18 n a A x y ; B 2 x y ; C 5 x y n n 3 3 n n b A 20 x y z ; B 21x y t; C 22 x y Lời giải n  Z 2n  4  AC      n   B C  18  2n 4 a) Ta có: b) Ta có: n  Z n n   A  C   2n  2    B C 6 n   3  n 2 n  Z n 5 n  Z    11 n 5  n 1 n 11 n  Z  5 n 0 Bài 6: Tìm giá trị nguyên n để hai biểu thức P Q đồng thời chia hết cho biểu thức R P  x y 3n  z ; Q 3x y11 3n z ; R 5x y 15 a b P  7 n 7 x y ; Q  x n  yzt ; R  x y Lời giải n  Z  P R   3n  5   Q R 11  3n 5  a) Ta có: n  Z  n 2   n 2 Vậy n 2 giá trị cần tìm 11 n  Z  P R   7  n 1   Q R  2n  4  b) Ta có: n  Z  n   6;7;8  8 n 6 Vậy n   6;7;8 giá trị cần tìm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Làm tính chia 2 a) 22 x y z : x y 2 b) ( x) y z :15 x y 1 2 ( xy ) : ( x y ) c) 10 15 d) ( x y z ) : ( xyz ) Lời giải Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau 2 a) A (8 x  12 x  x  1) : (1  x) ( x 501) x 501 b) B 3 8 ( x  3)3 : (3  x )( x  2) x  2 c) C ( x  y  z ) : ( y  z  x) ( x  y 3; z 1) x  y 3; z 1 Lời giải Bài 3: 12 Tìm điều kiện n để biểu thức A chia hết cho biểu thức B n a) A 14 x y ; B  x y 2n 2 b) A 20 x y ; B 3x y Lời giải a) Ta có: AB  n  N ; n 4 b) Ta có: AB  n  N ; n 1 Bài 4: Tìm giá trị nguyên n để hai biểu thức A B đồng thời chia hết cho biểu thức C 2 A  x y 3n  ; B  x 3n y  n ; C 6 x n y a 17 B  x n y 6 3n ; B 32 x y 3 n ; C 3 x y 23 b Lời giải a) Tìm n   0;1 b) Tìm n   Bài 5: Thực phép tính tìm GTNN biểu thức A  xy  x y :   xy   x y  x : x      Lời giải Ta có      Vậy GTNN A  , đạt  x  1 0  x  Bài 6: Chứng minh  2x y  x8 y  x y : x y    dương với x, y khác Lời giải Đặt A  xy  x y :   3xy   x y  x : x  y  x  y  x  x  x  x  1   A  x y  x8 y  x y : x y 2 x  x  4 x  x       x 0  x  x  1   Vì  x 0 Vậy biểu thức cho dương với x, y khác 13 