Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 2 khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

CHUYÊN ĐỀ - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Tính lồi lõm đồ thị: Hàm số f xác định K khoảng, đoạn nửa khoảng f gọi lõm K  ,  ,   1: f   x   y   f  x    f  y  , x, y 0 f gọi lồi K  ,  ,   1: f   x   y   f  x    f  y  , x, y 0 Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm cấp K f lõm K  f ''  x  0, x  K f lồi K  f ''  x  0, x  K Điểm uốn đồ thị: Điểm U x0 ; f  x0  gọi điểm uốn đường cong  C  : y  f  x  tồn khoảng  a; b    chứa điểm x0 cho khoảng  a; x0  ,  x0 ; b  tiếp tuyến điểm U nằm phía đồ thị cịn khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp khoảng  a; b  chứa điểm x0 Nếu f ''  x0  0 f ''  x  đổi dấu x qua điểm x0 U x0 ; f  x0  điểm uốn đường cong  C  : y  f  x    Chú ý: 1) Nếu y  p  x  y '' r  x  tung độ điểm uốn x0 y0 r  x0   2) Nếu f lồi đoạn  a; b  GTLN max f  a  ; f  b    3) Nếu f lõm đoạn  a; b  GTNN min f  a  ; f  b   Khảo sát vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm bước: Bước 1: Tập xác định - Tập xác định D  Trang - Xét tính chẵn, lẻ có Bước 2: Sự biến thiên - Tính giới hạn - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, nghịch biến cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị - Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để điểm uốn hàm đa thức - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đồ thị Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3: y ax  bx  cx  d , a 0 có tâm đối xứng điểm uốn Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương: y ax  bx  c, a 0 Đường tiệm cận - Đường thẳng x  x0 gọi tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x  ; lim f  x  ; lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 f  x   y0 - Đường thẳng y  y0 gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  xlim   lim f  x   y0 x   - Đường thẳng y ax  b, a 0 gọi tiệm cận xiên đồ thị y  f  x lim  f  x    ax  b   0 lim  f  x    ax  b   0 x   x   Chú ý: r  x  0 tiệm cận xiên: y ax  b 1) Nếu chia tách y  f  x  ax  b  r  x  xlim   2) Biểu thức tiệm cận x   : x  bx  c  x  b Khảo sát vẽ đồ thị hàm hữu tỉ: gồm bước: Trang Bước 1: Tập xác định - Tìm tập xác định - Xét tính chẵn, lẻ có Bước 2: Chiều biến thiên - Tính giới hạn, tìm tiệm cận - Tính đạo hàm cấp một, xét dấu - Lập bảng biến thiên khoảng đồng biến, nghịch biến cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị - Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ - Vẽ đồ thị, lưu ý tâm đối xứng giao điểm tiệm cận Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1: y  Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ: y  ax  b với c 0, ad  bc 0 cx  d ax  bx  c a'x b'  a 0, a ' 0  Chú ý: 1) Từ đồ thị  C  : y  f  x  suy đồ thị: y  f  x  cách lấy đối xứng qua trục hoành y  f   x  cách lấy đối xứng qua trục tung y  f   x  cách lấy đối xứng qua gốc y  f  x  cách lấy phần đồ thị phía trục hồnh, cịn phần phía trục hồnh đối xứng qua trục hoành y  f  x  hàm số chẵn, cách lấy phần đồ thị phía bên phải trục tung, lấy đối xứng phần qua trục tung Trang 2) Bài toán biện luận số nghiệm phương trình dạng g  x, m  0 Đưa phương trình dạng f  x  h  m  vế trái hàm số xét, vẽ đồ thị  C  : y  f  x  Số nghiệm số giao điểm đồ thị  C  với đường thẳng y h  m  3) Điểm đặc biệt họ đồ thị:  Cm  : y  f  x, m  - Điểm cố định họ điểm mà đồ thị qua: M  x0 ; y0    Cm  , m  y0  f  x0 , m  , m - Điểm mà họ khơng qua điểm mà khơng có đồ thị họ qua với tham số: M  x0 ; y0    Cm  , m  y0  f  x0 , m  m Nhóm theo tham số áp dụng mệnh đề sau: Am  B 0, m  A 0, B 0 Am  Bm  C 0, m  A 0, B 0, C 0 Am  B 0, m  A 0, B 0 Am  Bm  C 0, m  A 0, B 0, C 0 A 0,  B  AC  CÁC BÀI TOÁN Bài tốn 2.1: Tìm điểm uốn khoảng lồi lõm đồ thị: a) y  x3  x  x  b) y  x  x  Hướng dẫn giải a) D  Ta có y ' 3x  x  1, y '' 6 x  2 y '' 0  x  ; y ''   x  ; y ''   x  3  29   , hàm số lồi khoảng  37  Vậy điểm uốn I  ; 2    ;  lõm khoảng 3  2   ;   3  b) D  Ta có y ' 4 x3  16 x, y '' 12 x  16  0x Vậy đồ thị khơng có điểm uốn hàm số lõm  Bài tốn 2.2: Tìm điểm uốn khoảng lồi lõm đồ thị: a) y  x2  x  x 1 b) y  2x 1 x Hướng dẫn giải Trang a) D  \   1 Ta có y  Nên y ' 1   x  1 x2  2x  x   x 1 x 1 , y ''  12  x  1 0, x  y ''   x   1; y ''   x   Vậy đồ thị khơng có điểm uốn, hàm số lồi khoảng   ;  1 lõm khoảng   1;   b) D  \  5 Ta có y '   11  x  5 , y ''  22  x  5 0, x 5 y ''   x  5; y ''   x  Vậy đồ thị khơng có điểm uốn, hàm số lồi khoảng   ;5  lõm khoảng  5; Bài toán 2.3: Chứng minh với a, đồ thị hàm số y  xa ln có ba điểm uốn thẳng hàng x  x 1 Hướng dẫn giải Ta có: y ''  x y'   x  1   x  a   x  1  x  x  1  x  2ax  a  x  x  1 2  x3  3ax   a  1 x  1 x  x  1 y '' 0  x  3ax   a  1 x  0 Đặt f  x   x  3ax   a  1 x  1, x   Ta có: f     0, f   1 1  lim f  x   , lim f  x   đồng thời hàm số liên tục tập số thực nên phương trình x   x   f  x  0 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng   ;  1 ,   1;0  ,  0;  Giả sử hoành độ điểm uốn x0 nên x03  3ax02   a  1 x0  0 Ta có: x0  3ax0  3ax0  3a  3x0  3a   x0  3a  1  x02  x0  1 3  x0  a  Trang  x0  3a  1  x02  x0  1 x0  3a  x0  a   Suy y0  x0  x0  3  x02  x0  1 Vậy điểm uốn đồ thị thuộc đường thẳng y  x  3a  nên chúng thẳng hàng Bài toán 2.4: Cho hàm số: y  x  x  3mx  m  , m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 3 b) Tìm m cho đồ thị hàm số cho có điểm cực đai, cực tiểu A B mà khoảng cách AB 4 65 Hướng dẫn giải a) Khi m 3 hàm số trở thành y  x3  x  x   Tập xác định D   Sự biến thiên: y ' 3 x  12 x  y ' 0  x 1  x 3 Bảng biến thiên: x  y' + y −   +  −1 Hàm số đồng biến khoảng   ;1  3;  , nghịch biến  1;3 Hàm số đạt cực đại x 1 , yC Ð 3 đạt cực tiểu x 3, yCT  • Đồ thị: y '' 6 x  12 , y '' 0  x 2 nên tâm đối xứng điểm uốn I  2;1 Cho x 0 y  b) Ta có y ' 3 x  12 x  3m Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt   ' 36  9m   m  Gọi điểm cực trị A  x1; y1  , B  x2 ; y2  Trang  x1  x2 4  x1 x2 m Theo định lý Viet  Ta có y1  2m   x1  m  2, y2  2m   x2  m  AB   x1  x2    m    x2  x1  2    2m     x1  x2   x1 x2      4m  32m  65   16  4m     193m 0  m  4m nên AB 4 65  4m  32m  65  16  4m  1040  4m3  48m 2  48m  193 0  m 0 (thỏa mãn) Vậy m 0 Bài toán 2.5: Cho hàm số: y  x   m  1 x   3m   x  có đồ thị  Cm  với m tham số 3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2 b) Tìm m để đồ thị  Cm  có hai điểm phân biệt có hồnh độ dấu tiếp tuyến  Cm  điểm vng góc với đường thẳng d : x  y  0 Hướng dẫn giải a) Khi m 2 hàm số trở thành y  x  x2  4x  3  Tập xác định D   Sự biến thiên: y '  x  x  ; y ' 0  x   x 2 Bảng biến thiên x y' y −1  − +  +  −4  Trang Hàm số đồng biến khoảng   1;2  nghịch biến khoảng   ;  1 ,  2;  Hàm số đạt cực tiểu x  yCT  , đạt cực đại x 2 yC Ð 5  Đồ thị:   Đồ thị cắt Oy  0;  5 , 3 y ''  x  , y '' 0  x  nên đồ thị nhận điểm uốn  1 I  ;  làm tâm đối xứng  2 b) y '  x   m  1 x  3m  Hệ số góc d : x  y  0 k  Tiếp tuyến  Cm  điểm vng góc với đường thẳng d : x  y  0 y '    x   m  1 x  3m    x   m  1 x  3m  0 Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2   '  m  1   3m  1  m  4m        3m    m        Vậy m   hay   m   m     1 m    3 Bài toán 2.6: Cho hàm số y  x  x  x  Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị  C  có tung độ m 2 gốc O tạo thành tam giác OAB cân O Hướng dẫn giải Hai điểm A, B thuộc đồ thị  C  có tung độ m nên thuộc đường thẳng d : y m Hoành độ giao điểm d đồ thị  C  nghiệm phương trình Phương trình  x3  x  x  12  6m 0 3 x  x  x  m 2 (1) Trang 17   m  Đường thẳng d cắt  C  A, B thỏa mãn tam giác OAB cân O  phương trình (1) m 0 có nghiệm x1 ,  x1 , x2 (trong x1 ,  x1 hồnh độ A, B)  2 Khi x1 , x2 nghiệm phương trình x  x1   x  x  0 2 Phương trình  x  x2 x  x1 x  x1 x2 0 (2)  x2 3  Đồng hệ số (1) (2):  x1 9  x x 12  6m  Suy 12  6m 27  m  Bài toán 2.7: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a) y  x  x  x  b) y  x3  x  x  Hướng dẫn giải a) y  x  x  x   Tập xác định D   y   lim y  Sự biến thiên xlim  x   Ta có y '  3x  x   0, x nên hàm số nghịch biến  Hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên x  y' y  −    Đồ thị: y ''  x  6, y '' 0  x 1 nên đồ thị có điểm uốn I  1;0  Cho x 0  y 2 Cho y 0   x  3x  x  0   x  1  x  x   0  x 1 b) y  x3  x  x  Trang  Tập xác định D   y   lim y  Sự biến thiên: xlim  x   Ta có y ' 3 x  x  3  x  1 0, x nên hàm số đồng biến  , hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên: x  y' +  − y    Đồ thị: y '' 6 x  6, y '' 0  x 1 nên đồ thị có điểm uốn I  1;2  Cho x 0  y    2 Bài toán 2.8: Cho hàm số: y  x   m  3 x  m  3m  x  , m tham số Tìm m để đồ thị hàm số cho đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2  Hướng dẫn giải D  , y ' 3x   m  3 x   m  3m   y ' 0  3x   m   x   m  3m   0 Hàm số cực đại, cực tiểu x1 , x2   '  3m    m  x1 , x2 phương trình có nghiệm phân biệt Ta có x1  x2 2  m  3 ; x1 x2 m  3m  Do x1  x2  x1 x2    m  3  3m    m  5m  11  m  5m  11    m  5m  11   Kết hợp chọn:  m  m  5m    1 m   m  5m  18  Bài toán 2.9: Cho hàm số: y  x  2mx  2m  , với m tham số Trang 10 x   m  1 x   x  2mx lim 1  m x  xm Suy phương trình tiệm cận xiên y 2 x   m TCX qua A  1;1 khi: 2.1   m  m 2 b) Đồ thị có tiệm cận đứng x  m Từ suy giao điểm hai tiệm cận I   m;1  3m  Giao điểm nằm đường cong y  x   3m   m    m  3m  0  m  m  x2    m x  Bài toán 2.19: Cho hàm số y   Cm  Tìm m để tiệm cận xiên  Cm  tạo với trục tọa x 1 độ thành tam giác có diện tích 18 Hướng dẫn giải Hàm số y  x  m   m , D  \   1 x 1  y   x  m  0 nên tiệm cận xiên d  Cm  có phương trình y  x  m Giao điểm d Ta có xlim   với Ox: A  m;0  , giao điểm d với Oy: B  0;  m  2 Diện tích tam giác OAB S  m Điều kiện S 18  m 18  m 6 Bài toán 2.20: Cho hàm số: y  2x  x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số b) Suy đồ thị y  2x  x Hướng dẫn giải a) y  2x  x  Tập xác định D  \  1  y   lim y  Sự biến thiên: Ta có: lim x  1 x Do đường thẳng x 1 tiệm cận đứng Trang 20