Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 CHỦ ĐỀ 01: CƠ BẢN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ LÝ THUYẾT hàm số đủ đơnđểđiệu khoảng Điều Định kiện lý vềđể điều kiện hàmtrên số đơn điệu:K Định nghĩa f Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng K Khi đó: y f x Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng hàm số xác định f x 0 x K f x 0 K Nếu hữu hạn điểm thuộc hàm số f đồng biến K, ta nói: , y f x Hàm Ksố gọi đồng biến (tăng) K , x01 x2 f x1 f x2 f x 0 x K x1 , fx2x K Nếu , hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch y f x Hàmtrên số K gọi nghịch biến (giảm) K biến x1 , x2yKf ,xx1 ;mx2 f x1 f x2 ; Bài tốn Tìm tham số m để hàm số đơn điệu khoảng Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét y f x ; m ; Chẳng hạn: Bước 1: Ghi điều kiện để đơn điệu Nhận xét yf x ; mg x ; y f x ; m 0 xf Đề yêu cầu đồng biến trênbiến (nghịch biến) D hàm số f x g x Nếu hàm số đồng y f x ; m ; y f x ; m 0 hiệu f x g x đồng biến D Tính Đề yêu cầu(nghịch biến) nghịch biến chất khơng Nhận xét g x m Bước 2: Độcf lập , có hai trường hợp thường gặp : x rag khỏi x biến số đặt vế lại Nếu hàm số hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D g x m g x f xx gx ; m max ; biến) D Tính chất không hàm số , đồng biến (nghịch f x , g x m min g x m g hàm x số x ; không hàm số dương D ;là , Nhận xét f u x để tìm giá trị u u tính x đơn điệu hàm x asố; bg x utrên ; d sử dụng Cauchy) x D c(hoặc Bước 3: Khảo sát Cho hàm số , xác định với Hàm số xác m lớn trị nhỏ Từ suy x giá a ; b Ta có nhận xét sau: định với ax b u u x x đồng biến với y với x a; b Khi đó, hàm số f ; u Giả sử hàm số đồng biến cx d đơn điệu khoảng Bài tốn Tìm tham số m để hàm số x a; b f u u c; d đồng biến với d x f u x u u x x a; b y Giả sử nghịch biếnc với Khi.đó, hàm số nghịch biến với Tìm tậphàm xác số định, chẳng hạn Tính đạo hàm x a; b f u u c; d nghịch biến với 1 y Hàm (hàm số nghịch biến y ) Giải tìm m Định lí 1.số đồng biến d số f có đạo hàm khoảng d Giả xsử hàm K ;Khi đó: x ; m c c Vì có nên tìm f ' x Giải 0, rax K Nếu hàm số đồng biến khoảng K 2 1 giá trị m fcần ' xtìm Lấy giao 0, x K Nếu hàm số nghịch biến khoảng K Định lí Giả sử hàm số f có fđạo khoảng K Khi đó: t hàm Cần nhớ: “Nếu hàm số đơn điệu chiều miền D (luôn đồng biến nghịch f ' x 0, x K Nếu hàm số f đồng biến K f t 0 u , v D f u f v u v biến) phương f 'trình x 0, x K có tối đa mộtf nghiệm Nếu hàm số nghịch biến K | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số VÍ DỤ MINH HỌA y f x VÍ DỤ Cho hàm số có đạo hàm f x x x x Khi hàm số y f x2 nghịch biến khoảng đây? A 3; B 3;0 C ; 3 D 2; Lời giải Chọn C 2 y f x x x x x 2 x x x x x Ta có Cho y 0 x x x 0 x 2 x 3 Ta có bảng xét dấu y Dựa vào bảng xét dấu, hàm số VÍ DỤ Cho hàm số hàm số y f x2 A y f x y f x2 nghịch biến ; 3 ; 3 f x xác định liên tục có đồ thị hàm hình vẽ bên Hỏi nghịch biến khoảng sau đây? 1;0 B 0;1 C ; D 0; Lời giải Chọn B Ta có y 2 x f x x 0 y 0 x f x 0 x x 0 x 0 x x 1 x 0 x 1 x 0 x 1 x Ta có bảng biến thiên Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 VÍ DỤ 3.Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x x x mx với x Số giá trị g x f x2 x 1; m nguyên âm để hàm số đồng biến khoảng A B C D 0;1 Nhìn bảng biến thiên hàm số y f ( x 1) nghịch biến khoảng Lời giải Chọn B g ' x x 1 f ' x x Ta có Để hàm số g x đồng biến khoảng 1; g ' x 0 x 1; f ' x x 0 x 1; x x2 x 2 x x x m x x 0 x 1; x x m x x 0 1 x 1; x 1; t Đặt t x x , 1 Khi Để 1 Ta có trở thành t mtt 0 t 0; m nghiệm với h tt x 1; t t 2 0; nghiệm với t 0; 5 2 tt t 0; t t với Dấu xảy Min h t 2 Suy t 0; 2 nghiệm | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh t 0; m 2 m Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số VÍ DỤ Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm sau Bất phương trình f x ex m với m f 0 m f 1 e A B m Vậy số giá trị nguyên âm x 1;1 C m f 0 D m f 1 e Lời giải Chọn C Có f x e x m , x 1;1 m g x f x e x , x 1;1 (1) g x f x x.e x Ta có Bảng biến thiên: VÍ DỤ Cho hàm số y f x g x 0, x 1;0 g x 0, x 0;1 x 0 1;1 có nghiệm Hàm số y f x có bảng biến thiên sau: x2 x 2; Bất phương trình f ( x) 3e m có nghiệm khi: A m f 2 B m f 3e C m f 3e D m f 2 max g x g f 1 m f 0 Do 1;1 Ta Lời giải Chọn B x 2 x 2 Ta có: f ( x) 3e m f ( x) 3e m Đặt h x f ( x) 3e x 2 h x f x 3e x 2 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Vì x 2; , f x 3 Nên Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 x 2; x 0; 3e x 2 3; 3e h x f x 3e x 2 0, x 2; fh(2) 3e x f ( 2) 2020; 2020 VÍ DỤ Tổng giá trị nguyên tham số m khoảng y sin x 0; sin x m đồng biến khoảng A 2039187 B 2022 C 2093193 để hàm số D 2021 x2 x 2; m f 3e Vậy bất phương trình f ( x) 3e m có nghiệm Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: sin x m sin x y y sin x m Ta có cos x sin x m sin x cos x sin x m cos x m sin x m 2 cos x 0; sin x 0; x 0; Vì nên 3 m m 0 0; m Suy hàm số đồng biến khoảng Vì m 0 m m m 2019; 2018; ; 1; 0 1; 2 VÍ DỤ Cho hàm số Hàm số f x Hàm số y f ' x g x f x x2 x có đồ thị hình bên nghịch biến khoảng ? y –2 O x –2 3 1; A 1 0; B | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C 2; 1 D 2;3 Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số 2019 S 2020 2039187 Vậy tổng giá trị tham số m là: Lời giải Chọn A Cách 1: g x f x x x g x f x x Ta có: 1 2x g x f x Hàm số nghịch biến Xét tương giao đồ thị hàm số f t Dựa vào đồ thị ta có: t y f t y t t 0 t 1 2x g ' x 1 x 1 2x2 x Khi đó: Cách 2: g x f x x x g x f x x Ta có: 2x g x 0 f ' x Xét tương giao đồ thị hàm số Từ đồ thị ta có: y f t t t f ' t t 0 t 4 y Khi t đó: x 2 x g x 0 x 0 x x 4 x Ta có bảng xét dấu: Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh VÍ DỤ Cho hàm số Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 f x vẽ Biết hàm số g x có phần đồ thị biểu diễn đạo hàm y h x f x g x a x 2021 f x g x hình ln tồn khoảng đồng biến m; n Tổng giá trị nguyên dương a thỏa mãn là? 3 ; Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến khoảng Lời giải Chọn B Ta có đạo hàm: h x f x g x a a f x g x Từ đồ thị, ta có Để hàm số đồng biến f x g x 12 a 12 a 1; 2; 3 Suy số giá trị nguyên dương a thỏa mãn Vậy tổng giá trị a thỏa mãn | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh h x 0 1 3 ; 2