Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ LÍ THUYẾT VÍ DỤ MINH HỌA Trong không gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vng góc với trục Oy O , trục Oz vuông Oxy O Các vectơ đơn vị trục Ox , Oy , Oz góc với mặt phẳng i 1;0;0 , j 0;1; , k 0;0;1 a a1 i a2 j a3 k a a1 ; a2 ; a3 Nếu M ( x ; y ; z ) OM x i y j zM k M M M M M A xA ; y A ; z A B xB ; y B ; z B Cho 2 AB ( xB xA ; yB y A ; z B z A ) AB ( xB x A ) ( yB y A ) ( z B z A ) Ta có: x A xB y A yB z A z B ; ; 2 M AB M trung điểm a ( a ; a ; a ) b (b1; b2 ; b3 ) ta có Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ Cho a b 1 a b a2 b2 a b a b ( a b ; a b ; a b ) k a (ka1 ; ka2 ; ka3 ) 3 1 2 3 a.b a b cos(a; b) a1b1 a2b2 a3b3 a a12 a22 a32 a1.b1 a2 b2 a3 b3 cos cos(a, b) a1 a22 a32 b12 b22 b32 a (với 0 , b 0 ) a.b 0 a1.b1 a2 b2 a3 b3 0 a b vng góc a kb1 k R : a kb a2 kb2 a kb a b phương a ( a ; a ; a ) b (b1 ; b2 ; b3 ) a, b (a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 ) Tích có hướng a, b 0 a, b c 0 a , b , c đồng phẳng a b phương S ABC [ AB, AC ] Diện tích tam giác : V [ AB, AC ] AD Thể tích tứ diện ABCD VABCD A' B'C ' D' [ AB, AD] AA ' Thể tích khối hộp: = Một số kiến thức khác Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k ( MA k MB ) ta có : x kxB y kyB z kzB xM A ; yM A ; zM A k 1 1 k 1 k 1 k Với G trọng tâm tam giác ABC x xB xC y y B yC z z z xG A ; yG A ; zG A B C 3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz u 1;1; v 1;0;m VÍ DỤ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ , Tìm hai vectơ u , v 45 A m 2 B m 2 C m 2 D m để góc m 2 Lời giải Chọn B 2m u v 2m cos u ,v 12 12 12 m u v m Ta có: 2m m 2 4m 4m 3 3m (điều kiện m VÍ DỤ 2: Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ ) r a = ( 2;1;- 2) , r b = 0;- ( r r r r r r m để hai véc tơ u = 2a + 3mb v = ma - b vng góc với ±26 + A 26 ± B ) Tất giá trị 2; 11 ± 26 18 C ± 26 + D m 2 m 2 Đối chiếu điều kiện ta có m 2 m 4m 0 Lời giải Chọn D Ta có: r r r r r r u = 2a + 3mb = 2;2 - 3m 2;- + 3m v = ma - b = 2m;m + 2;- 2m rr uv = Û 4m + - 3m m + + - + 3m - 2m - = Khi đó: ( ) ( )( ) ( ( )( ) ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 A 0; 1;2 B 2; 3;0 C 2;1;1 VÍ DỤ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm , , , D 0; 1;3 Gọi L tập hợp tất điểm M không gian thỏa mãn đẳng thức MA.MB MC.MD 1 Biết L đường tròn, đường trịn có bán kính r bao nhiêu? A r B Û 9m - 6m - = r Û m= C r 11 D r ± 26 + Lời giải Chọn C M x; y; z Gọi tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu toán Ta có AM x; y 1; z BM x 2; y 3; z CM x 2; y 1; z 1 DM x; y 1; z 3 , , , MA.MB 1 MA.MB MC.MD 1 MC.MD 1 Từ giả thiết: x x y 1 y 3 z z 1 x x y 1 y 1 z 1 z 3 1 x y z x y z 0 2 x y z x z 0 I 1; 2;1 M Suy quỹ tích điểm M đường trịn giao tuyến mặt cầu tâm , cầu tâm I I 1;0;2 R2 2 , I2 R1 2 mặt Ta có: I1I 11 II r R12 Dễ thấy: VÍ DỤ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm AB cắt mặt phẳng Oxz AM 2 A BM A 2;3;1 B 5; 6; Đường thẳng AM BM điểm M Tính tỉ số AM B BM AM C BM Lời giải | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh AM 3 D BM Hình học tọa độ Oxyz Chọn B AB ; ; 1 AB 59 M x ; ; z AM x ; ; z 1 ; M Oxz x 7k x 3k k z k z 0 M ; ; A, B, M thẳng hàng AM k AB k A 2; 3;7 B 0; 4;1 VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm , , C 3; 0;5 D 3;3;3 MA MB MC MD Oyz cho biểu thức Gọi M điểm nằm mặt phẳng đạt giá trị nhỏ Khi tọa độ M là: M 0;1; M 0;1; A B BM 14 ; ; BM 118 2 AB C M 0;1; D M 2;1;0 Lời giải Chọn B AB 2;7; AC 1;3; AD 1;6; Ta có: , , nên AB, AC AD 0 Suy ra: AB , AC , AD không đồng phẳng G 2;1; Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Khi Ta có: Do MA MB MC MD 4MG 4MG MA MB MC MD nhỏ MG ngắn A 7;2;3 B 1;4;3 C 1;2;6 VÍ DỤ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm , , , D 1;2;3 điểm M tùy ý Tính độ dài đoạn OM biểu thức đạt giá trị nhỏ A OM 21 B OM 26 P MA MB MC 3MD C OM 14 D Oyz nên M 0;1;4 Vậy M hình chiếu vng góc G lên mặt phẳng Hướng dẫn giải Chọn C DA 6;0;0 DB 0;2;0 DC 0;0;3 Ta có , , nên tứ diện $ABCD$ tứ diện vuông đỉnh D Giả sử M x 1; y 2; z 3 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 MA x y z x 6 x MB x y z y 2 y Ta có , 2 2 MC x y z 3 z 3 z 3MD x y z , Do P x y z x y z 11 x y z x y z x y z 0 6 x 0 2 y 0 3 z 0 x y z 0 x y z 0 Vậy P đạt giá trị nhỏ $11$, Khi M 1;2;3 2 suy OM 14 A 1;1;4 B 5; 1;3 C 2; 2; m D 3;1;5 VÍ DỤ 7: Trong khơng gian Oxyz , cho bốn điểm , , , Tìm tất giá trị thực tham số m A m B m để A , B , C , D bốn đỉnh hình tứ diện Chọn C AB 4; 2; 1 AD 2;0;1 Ta có , , C m 6 D m 6 AB, AD 2; 6; AC 1;1; m , AB, AD AC 0 Để A , B , C , D bốn đỉnh hình tứ diện 4m 16 0 m 6 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh