Lý thuyết và vdmh lý thuyết về phương trình đường thẳng

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÍ THUYẾT M  x ; y ;z   Phương trình ttham số đường thẳng  qua điểm o o o o có vectơ phương  x  x0  a1t   y  y0  a2t (t  R)  z z  a t     a (a1; a2 ; a3 ) , a 0 có dạng :  Nếu a1 , a2 , a3 khác khơng Phương trình đường thẳng  viết dạng tắc sau: x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3  Vị trí tương đối hai đường thẳng  Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng  x  xo  a1t  d :  y  yo  a2 t  z z  a t   x  xo'  a1' t '  d ' :  y  yo'  a2' t '  ' '  z  zo  a3t '   ' ' có VTCP u qua M o dcó vtcp u ' qua M o  [u, u ']=0   d   d '    M  d '     [u, u ']=0  d   d '   M d '    o      u, u ' 0        ' ' '    u , u ' M M   u , u ' M M 0' 0 d d d d o          cắt  chéo   Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng M  xo ; yo ; zo   Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua điểm có vectơ  a (a1 ; a2 ; a3 ) mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D 0 có vecto pháp tuyến phương  n ( A; B; C )  d    a  cắt  n 0  a.n 0    d  //     M  ( )   a.n 0  d  M  ( )    nằm mặt phẳng    Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng M  x ; y ;z     : Ax  By  Cz  D 0 cho công thức  Khoảng cách từ o o o o đến mặt phẳng Ax  By0  Cz0  D d (M ,  )  A2  B  C  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng   Khoảng cách từ đường thẳng d qua điểm M o có VTCP u đến điểm M cho công | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz  Khoảng cách hai đường thẳng chéo  M  xo ; yo ; zo  a (a1; a2 ; a3 ) Oxyz d  Trong không gian cho đường thẳng qua ; có VTCP  ' ' M '  xo' ; yo' ; zo'  a (a1' ; a2' ; a3' ) Khi khoảng cách d đường thẳng qua có VTCP     [a, a '].MM ' Vhop d (d , d ')    S day [a, a '] hai đường thẳng :  Góc hai đường thẳng:  Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng  M  xo ; yo ; zo  a (a1; a2 ; a3 ) () qua có VTCP  M '  xo' ; yo' ; zo'  a ' (a '1; a '2 ; a '3 ) (’) qua có VTCP  Khi góc hai đường thẳng cho công thức sau đây:    a.a '  a1.a '1  a2 a '2  a3 a '3 cos  cos( a, a ')     a a' a12  a22  a32 a '12  a '22  a '32  Góc đường thẳng mặt phẳng:  Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng      a  ( a ; a ; a ) M n , mặt phẳng () qua o có VTCP có VTPT ( A; B; C )       , góc đường thẳng mặt phẳng Gọi  góc hợp () mặt phẳng  Aa1 +Ba +Ca sin   cos(a, n)  A  B  C a12  a22  a32 NOTE: Cho tam giác ABC  Đường phân giác góc BAC có vectơ phương   1 u   AB  AC AB AC Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ MINH HỌA B  1; 2;  3 VÍ DỤ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(  2;  2; 1), đường thẳng d: x 1 y  z    2  Tìm vectơ phương u đường thẳng  qua A, vng góc với d đồng thời cách điểm B khoảng bé  u A (1;0;2)  u B (2;2;  1)  u C (25;  29;  6)  u D (2;1;6) Lời giải Cách Gọi  P '  P mặt phẳng qua A vng góc với d , B hình chiếu B lên    u  B'A  Khi đường thẳng đường thẳng AB’ Qua A( 2;  2;1)    (P) : x  y  z  0 VTPT nP ud (2; 2;  1)  P  :  Ta có  x 1  2t   d '  y 2  2t  z   t ' '  Gọi d đường thẳng qua B song song d    ' B ' giao điểm d  P   B '( 3;  2;  1)  u  B ' A (1;0; 2)  Chọn A Cách 2: TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Khơng cần viết phương trình mặt phẳng  P qua A vng góc với d  x 1  2t   d '  y 2  2t  z   t ' '  Gọi d đường thẳng qua B song song d  B '  d '  B ' A   2t  3;  2t  4; t       AB '  d  ud B ' A 0  t   u B ' A (1;0;2) VÍ DỤ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác x y z   4  Biết điểm M  0;5;3 thuộc đường thẳng AB góc A là: N  1;1;0  điểm thuộc đường thẳng AC Vectơ sau vectơ phương đường thẳng AC    u  0;1;  3 u  1; 2;3 u  0;1;3 A B C D Lời giải Chọn C | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz  x t   y 6  4t  z 6  3t  d  Phương trình tham số đường phân giác góc A :   d  Khi D  AC  đường thẳng AC có vectơ Gọi D điểm đối xứng với M qua phương ND Ta xác định điểm D  d K  t ;6  4t ;6  3t  MK  t ;1  4t ;3  3t   K MD Gọi giao điểm với Ta có ;    MK  ud với ud  1;  4;  3 nên t    4t     3t  0  t  Ta có  xD 2 xK  xM  xD 1    yD 2 yK  yM   yD 3 1 9 K  ; 4;    z 6 D  1;3;6   D  2  K trung điểm MD nên  z D 2 z K  z M hay   u  0;1;3 DN  0;  2;   Một vectơ phương AC Hay vectơ phương x2 y  z  d:   M  1;  3;  Oxyz 5 1 VÍ DỤ 3: Trong không gian tọa độ , cho điểm , đường thẳng  P  : x  z  0 Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với mặt phẳng  P d song song với x  y 3 z  :   1 A x  y 3 z  :   1 1 2 C x  y 3 z    1 2 B x  y 3 z  :   1 2 D Lời giải : Chọn D x2 y  z     u 5  có VTCP  3;  5;  1 Đường thẳng  P  : x  z  0 n  2; 0; 1  Mặt phẳng vó VTPT   a  u, n    1; 1;   Đường thẳng  có VTCP x  y 3 z  :   1 2 Đường thẳng  có phương trình d: VÍ DỤ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  nằm mặt phẳng    : x  y  z  0 đồng thời qua điểm M  1; 2;0  x y z   1 Một vectơ phương    u  1;1;   u  1;0;   A B Lời giải Chọn A Cách 1: cắt đường thẳng d: Gọi A   2t;  t ;  t   d C  u   1;1;  D giao điểm  d Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023   MA   2t ; t ;  t     n    1;1;1 , VTPT           MA  n    MA n   0   2t  t   t 0  t     MA   1;  1;   1 1; 1;   u  1; 1;   Vậy d Cách 2: Gọi B d     B  d  B   2t ;  t ;  t  VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng d qua điểm A  1; 2;   A vng góc với mặt phẳng  x 2  t  d :  y 3  2t  z   5t  B  P  : x  y  z  0  x 1  2t  d :  y 2  3t  z   4t  C  x 1  2t  d :  y 2  3t  z   4t  B       2t   t   t  0  t   B  0;1;   x 2  t  d :  y 3  2t  z 4  5t  D   BM  1;1;    ud  1;1;   Lời giải Chọn C Đường thẳng d  P  : x  y  z  0 A  1; 2;   điểm vng góc  u  2; 3;   nên nhận véctơ phương qua với mặt phẳng M  2; 2;  3 N   4; 2;1 VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm Gọi   u  a; b; c  đường thẳng qua M , nhận vecto làm vectơ phương song song với mặt phẳng  P  : x  y  z 0 a b cho khoảng cách từ N đến  đạt giá trị nhỏ Biết , hai số nguyên tố Khi Phương trình đường thẳng d abc  x 1  2t  d :  y 2  3t  z   4t  bằng: Lời giải Chọn D Gọi  Q Suy mặt phẳng qua M  2; 2;  3 song song với mặt phẳng  Q  : x  y  z  0 Do  //  P  d  N,  nên    Q  P  Q đạt giá trị nhỏ   qua N  , với N  hình chiếu N lên | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz  P , Gọi d đường thẳng qua N vng góc  x   2t  d :  y 2  t  z 1  t   10    Q   t   N   ; ;  N  N   t ;  t ;1  t  ;  3 3 Ta có N  d    10 16   MN    ; ;  u  a; b; c   3  phương  a b a  b  c 15 u   5;2;8  Do , nguyên tố nên chọn Vậy VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d2 : d1 : x y z 2    x y 2 z     Gọi  đường thẳng song song với  P  : x  y  z  0 cắt d1 , d hai điểm A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng   x 12  t   y 5  z   t  A Chọn B   x 6  t   y     z   t B Lời giải   x 6   y   t    z   t C D A  d1  A   2a; a;   a  ; B  d  B   b;   3b;  2b    có vectơ phương AB  b  2a;3b  a  2;  2b  a     P  có vectơ pháp tuyến nP  1;1;1       / /  P AB   a  1; 2a  5;  a  AB  n  AB n   b  a  P P Vì nên Khi  49  AB    a  1   2a      a   6a  30a  62   a     ; a   2 2   9   7 a   A  6; ;   , AB   ;0;   2  2 Dấu " " xảy 2 2 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 2 S : x  3   y     z   4  S2  :  x  1  y   z  1 1 VÍ DỤ 5: Cho mặt cầu    , Gọi d đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu trên, cắt đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu  u  a; 1; b  cách gốc tọa độ O khoảng lớn Nếu vectơ phương d tổng S 2a  3b bao nhiêu? A S 0 B S 4 C S 2 D S 1  9  A  6; ;   u   1;0;1 Đường thẳng  qua điểm  2  vec tơ phương d Lời giải Chọn C  S1  có tâm I1  3; 2;  , bán kính R1 2  S2  có tâm I  1; 0; 1 , bán kính R2 1 5 4 A ; ;  I I 3 R1  R2 ,  S1   S  tiếp xúc với điểm  3  Ta có: II Vì d tiếp xúc với hai mặt cầu, đồng thời cắt đoạn thẳng nối hai tâm nên d phải tiếp xúc d d  O; d  OA  d max OA  d  I1 I với hai mặt cầu A Mặt khác d  OA     I I , OA  6;  3;    u   2; 1;   Khi đó, d có vectơ phương  Vậy S 2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh