Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÍ THUYẾT M x ; y ;z Phương trình ttham số đường thẳng qua điểm o o o o có vectơ phương x x0 a1t y y0 a2t (t R) z z a t a (a1; a2 ; a3 ) , a 0 có dạng : Nếu a1 , a2 , a3 khác khơng Phương trình đường thẳng viết dạng tắc sau: x x0 y y0 z z0 a1 a2 a3 Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng x xo a1t d : y yo a2 t z z a t x xo' a1' t ' d ' : y yo' a2' t ' ' ' z zo a3t ' ' ' có VTCP u qua M o dcó vtcp u ' qua M o [u, u ']=0 d d ' M d ' [u, u ']=0 d d ' M d ' o u, u ' 0 ' ' ' u , u ' M M u , u ' M M 0' 0 d d d d o cắt chéo Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng M xo ; yo ; zo Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua điểm có vectơ a (a1 ; a2 ; a3 ) mặt phẳng : Ax By Cz D 0 có vecto pháp tuyến phương n ( A; B; C ) d a cắt n 0 a.n 0 d // M ( ) a.n 0 d M ( ) nằm mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng M x ; y ;z : Ax By Cz D 0 cho công thức Khoảng cách từ o o o o đến mặt phẳng Ax By0 Cz0 D d (M , ) A2 B C Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ đường thẳng d qua điểm M o có VTCP u đến điểm M cho công | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz Khoảng cách hai đường thẳng chéo M xo ; yo ; zo a (a1; a2 ; a3 ) Oxyz d Trong không gian cho đường thẳng qua ; có VTCP ' ' M ' xo' ; yo' ; zo' a (a1' ; a2' ; a3' ) Khi khoảng cách d đường thẳng qua có VTCP [a, a '].MM ' Vhop d (d , d ') S day [a, a '] hai đường thẳng : Góc hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng M xo ; yo ; zo a (a1; a2 ; a3 ) () qua có VTCP M ' xo' ; yo' ; zo' a ' (a '1; a '2 ; a '3 ) (’) qua có VTCP Khi góc hai đường thẳng cho công thức sau đây: a.a ' a1.a '1 a2 a '2 a3 a '3 cos cos( a, a ') a a' a12 a22 a32 a '12 a '22 a '32 Góc đường thẳng mặt phẳng: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng a ( a ; a ; a ) M n , mặt phẳng () qua o có VTCP có VTPT ( A; B; C ) , góc đường thẳng mặt phẳng Gọi góc hợp () mặt phẳng Aa1 +Ba +Ca sin cos(a, n) A B C a12 a22 a32 NOTE: Cho tam giác ABC Đường phân giác góc BAC có vectơ phương 1 u AB AC AB AC Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ MINH HỌA B 1; 2; 3 VÍ DỤ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 2; 2; 1), đường thẳng d: x 1 y z 2 Tìm vectơ phương u đường thẳng qua A, vng góc với d đồng thời cách điểm B khoảng bé u A (1;0;2) u B (2;2; 1) u C (25; 29; 6) u D (2;1;6) Lời giải Cách Gọi P ' P mặt phẳng qua A vng góc với d , B hình chiếu B lên u B'A Khi đường thẳng đường thẳng AB’ Qua A( 2; 2;1) (P) : x y z 0 VTPT nP ud (2; 2; 1) P : Ta có x 1 2t d ' y 2 2t z t ' ' Gọi d đường thẳng qua B song song d ' B ' giao điểm d P B '( 3; 2; 1) u B ' A (1;0; 2) Chọn A Cách 2: TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Khơng cần viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với d x 1 2t d ' y 2 2t z t ' ' Gọi d đường thẳng qua B song song d B ' d ' B ' A 2t 3; 2t 4; t AB ' d ud B ' A 0 t u B ' A (1;0;2) VÍ DỤ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác x y z 4 Biết điểm M 0;5;3 thuộc đường thẳng AB góc A là: N 1;1;0 điểm thuộc đường thẳng AC Vectơ sau vectơ phương đường thẳng AC u 0;1; 3 u 1; 2;3 u 0;1;3 A B C D Lời giải Chọn C | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz x t y 6 4t z 6 3t d Phương trình tham số đường phân giác góc A : d Khi D AC đường thẳng AC có vectơ Gọi D điểm đối xứng với M qua phương ND Ta xác định điểm D d K t ;6 4t ;6 3t MK t ;1 4t ;3 3t K MD Gọi giao điểm với Ta có ; MK ud với ud 1; 4; 3 nên t 4t 3t 0 t Ta có xD 2 xK xM xD 1 yD 2 yK yM yD 3 1 9 K ; 4; z 6 D 1;3;6 D 2 K trung điểm MD nên z D 2 z K z M hay u 0;1;3 DN 0; 2; Một vectơ phương AC Hay vectơ phương x2 y z d: M 1; 3; Oxyz 5 1 VÍ DỤ 3: Trong không gian tọa độ , cho điểm , đường thẳng P : x z 0 Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng P d song song với x y 3 z : 1 A x y 3 z : 1 1 2 C x y 3 z 1 2 B x y 3 z : 1 2 D Lời giải : Chọn D x2 y z u 5 có VTCP 3; 5; 1 Đường thẳng P : x z 0 n 2; 0; 1 Mặt phẳng vó VTPT a u, n 1; 1; Đường thẳng có VTCP x y 3 z : 1 2 Đường thẳng có phương trình d: VÍ DỤ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng nằm mặt phẳng : x y z 0 đồng thời qua điểm M 1; 2;0 x y z 1 Một vectơ phương u 1;1; u 1;0; A B Lời giải Chọn A Cách 1: cắt đường thẳng d: Gọi A 2t; t ; t d C u 1;1; D giao điểm d Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 MA 2t ; t ; t n 1;1;1 , VTPT MA n MA n 0 2t t t 0 t MA 1; 1; 1 1; 1; u 1; 1; Vậy d Cách 2: Gọi B d B d B 2t ; t ; t VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng d qua điểm A 1; 2; A vng góc với mặt phẳng x 2 t d : y 3 2t z 5t B P : x y z 0 x 1 2t d : y 2 3t z 4t C x 1 2t d : y 2 3t z 4t B 2t t t 0 t B 0;1; x 2 t d : y 3 2t z 4 5t D BM 1;1; ud 1;1; Lời giải Chọn C Đường thẳng d P : x y z 0 A 1; 2; điểm vng góc u 2; 3; nên nhận véctơ phương qua với mặt phẳng M 2; 2; 3 N 4; 2;1 VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm Gọi u a; b; c đường thẳng qua M , nhận vecto làm vectơ phương song song với mặt phẳng P : x y z 0 a b cho khoảng cách từ N đến đạt giá trị nhỏ Biết , hai số nguyên tố Khi Phương trình đường thẳng d abc x 1 2t d : y 2 3t z 4t bằng: Lời giải Chọn D Gọi Q Suy mặt phẳng qua M 2; 2; 3 song song với mặt phẳng Q : x y z 0 Do // P d N, nên Q P Q đạt giá trị nhỏ qua N , với N hình chiếu N lên | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz P , Gọi d đường thẳng qua N vng góc x 2t d : y 2 t z 1 t 10 Q t N ; ; N N t ; t ;1 t ; 3 3 Ta có N d 10 16 MN ; ; u a; b; c 3 phương a b a b c 15 u 5;2;8 Do , nguyên tố nên chọn Vậy VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d2 : d1 : x y z 2 x y 2 z Gọi đường thẳng song song với P : x y z 0 cắt d1 , d hai điểm A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng x 12 t y 5 z t A Chọn B x 6 t y z t B Lời giải x 6 y t z t C D A d1 A 2a; a; a ; B d B b; 3b; 2b có vectơ phương AB b 2a;3b a 2; 2b a P có vectơ pháp tuyến nP 1;1;1 / / P AB a 1; 2a 5; a AB n AB n b a P P Vì nên Khi 49 AB a 1 2a a 6a 30a 62 a ; a 2 2 9 7 a A 6; ; , AB ;0; 2 2 Dấu " " xảy 2 2 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 2 2 S : x 3 y z 4 S2 : x 1 y z 1 1 VÍ DỤ 5: Cho mặt cầu , Gọi d đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu trên, cắt đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu u a; 1; b cách gốc tọa độ O khoảng lớn Nếu vectơ phương d tổng S 2a 3b bao nhiêu? A S 0 B S 4 C S 2 D S 1 9 A 6; ; u 1;0;1 Đường thẳng qua điểm 2 vec tơ phương d Lời giải Chọn C S1 có tâm I1 3; 2; , bán kính R1 2 S2 có tâm I 1; 0; 1 , bán kính R2 1 5 4 A ; ; I I 3 R1 R2 , S1 S tiếp xúc với điểm 3 Ta có: II Vì d tiếp xúc với hai mặt cầu, đồng thời cắt đoạn thẳng nối hai tâm nên d phải tiếp xúc d d O; d OA d max OA d I1 I với hai mặt cầu A Mặt khác d OA I I , OA 6; 3; u 2; 1; Khi đó, d có vectơ phương Vậy S 2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh