H Q M A T H S – 0 8 2 7 3 6 0 7 9 6 – D ạ y h ọ c t ừ t â m – N â n g t ầ m s ự n g h iệ p “Sen vẫn nở trong ao tù nước độc, Người chuyên cần ắt sẽ thành nhân ” HQ MATHS – 0827 360 796 – Dạy học từ tâ[.]
HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp CHỦ ĐỀ 01: CƠ BẢN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp LÝ THUYẾT “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – ▪ ▪ Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y = f ( x ) hàm số xác định K, ta nói: Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ▪ Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét Nhận xét Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D hàm số f ( x ) + g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hiệu f ( x ) − g ( x ) ▪ Nhận xét ▪ Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ▪ ▪ hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số f ( x ) , g ( x ) không hàm số dương D Nhận xét ▪ Cho hàm số u = u ( x ) , xác định với x ( a; b ) u ( x ) ( c; d ) Hàm số f u ( x ) xác định với x ( a; b ) Ta có nhận xét sau: ▪ Giả sử hàm số u = u ( x ) đồng biến với x ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x ) đồng biến với x ( a; b ) f ( u ) đồng biến với u ( c; d ) ▪ Giả sử hàm số u = u ( x ) nghịch biến với x ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x ) nghịch biến với x ( a; b ) f ( u ) nghịch biến với u ( c; d ) ▪ ▪ Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ' ( x ) 0, x K Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ' ( x ) 0, x K ▪ ▪ Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f ' ( x ) 0, x K hàm số f đồng biến K Nếu f ' ( x ) 0, x K hàm số f nghịch biến K Nếu f ' ( x ) = 0, x K hàm số f khơng đổi K HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – ▪ HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ❖ Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: ❖ Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f ( x ) , x K f ( x ) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Nếu f ( x ) , x K f ( x ) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y = f ( x ; m ) đơn điệu khoảng ( ; ) ❖ Bước 1: Ghi điều kiện để y = f ( x ; m ) đơn điệu ( ; ) Chẳng hạn: ❖ Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) đồng biến ( ; ) y = f ( x ; m ) ❖ Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) nghịch biến ( ; ) y = f ( x ; m ) ❖ Bước 2: Độc lập m khỏi biến số đặt vế lại g ( x ) , có hai trường hợp thường gặp : ❖ m g ( x ) , x ( ; ) m max g ( x ) ( ; ) ❖ m g ( x ) , x ( ; ) m g ( x ) HQ MATHS – 0827.360.796 – ( ; ) ❖ Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu hàm số g ( x ) D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Từ suy m Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y = ❖ Tìm tập xác định, chẳng hạn x − ax + b đơn điệu khoảng ( ; ) cx + d d Tính đạo hàm y c ❖ Hàm số đồng biến y (hàm số nghịch biến y ) Giải tìm m (1) ❖ Vì x − d d có x ( ; ) nên − ( ; ) Giải tìm m c c ( 2) ❖ Lấy giao (1) ( ) giá trị m cần tìm ➢ Cần nhớ: “Nếu hàm số f ( t ) đơn điệu chiều miền D (ln đồng biến ln nghịch biến) phương trình f ( t ) = có tối đa nghiệm u , v D f ( u ) = f ( v ) u = v “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp VÍ DỤ MINH HỌA ( ) VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = x ( x − )( x − ) Khi hàm số y = f x2 nghịch biến khoảng đây? B ( −3;0 ) A ( 3; + ) C ( − ; −3 ) D ( −2 ; ) Lời giải ( ) ( ) ( )( ) = x ( x − )( x + )( x − ) ( x + ) 2 Cho y = x = −3 x = −2 x = x = x = Ta có bảng xét dấu y ( ) Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y = f x2 nghịch biến ( − ; −3 ) ( ; ) có đồ thị hàm f ( x ) hình vẽ bên Hỏi VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ( ) hàm số y = f x2 − nghịch biến khoảng sau đây? B ( 0;1) A ( −1; ) C ( −; ) D ( 0; + ) Lời giải Chọn B ( ) Ta có y = 2x f x2 − HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Ta có y = f x = x x x − x − Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Chọn C HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp x = x = x = x = y = x f x − = x − = −2 x = −1 x = x = x = −1 x2 − = x2 = ( ) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Ta có bảng biến thiên Nhìn bảng biến thiên hàm số y = f ( x2 − 1) nghịch biến khoảng ( 0;1) ( ) VÍ DỤ 3.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x2 ( x + ) x2 + mx + với x ( ) Số giá trị A B C D Lời giải Chọn B ( ) Ta có g ' ( x ) = ( x + 1) f ' x2 + x − Để hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 1; + ) ( ) g ' ( x ) x (1; + ) f ' x2 + x − x (1; + ) ( ) (x ( ) x2 + x − 2 2 +x ( ) (( x ) ( ) ) + x − + m x2 + x − + x (1; + ) ) x2 + x − + m x2 + x − + (1) x (1; + ) HQ MATHS – 0827.360.796 – nguyên âm m để hàm số g ( x ) = f x2 + x − đồng biến khoảng ( 1; + ) Đặt t = x2 + x − , x ( 1; + ) t Khi ( 1) trở thành t + mt + t ( 0; + ) t + −m t (2) t ( 0; + ) Để ( 1) nghiệm với x ( 1; + ) ( ) nghiệm với t ( 0; + ) Ta có h ( t ) = t + 5 với t ( 0; + ) Dấu xảy t = t = t t Suy Min ( h ( t ) ) = ( ) nghiệm t ( 0; + ) −m m −2 t( 0; + ) “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Vậy số giá trị nguyên âm m VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Bất phương trình f ( x ) e x + m với x ( −1;1) A m f ( ) − B m f ( −1) − e C m f ( ) − Lời giải D m f ( −1) − e Có f ( x ) e x + m, x ( −1;1) m g ( x ) = f ( x ) − e x , x ( −1;1) (1) 2 g ( x ) 0, x ( −1;0 ) Ta có g ( x ) = f ( x ) − 2x.e x có nghiệm x = ( −1;1) g ( x ) 0, x ( 0;1) HQ MATHS – 0827.360.796 – Bảng biến thiên: Do max g ( x ) = g ( ) = f ( ) − Ta ( 1) m f ( ) − ( −1;1) VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Bất phương trình f ( x) 3e x+ + m có nghiệm x ( −2; ) khi: A m f ( −2 ) − B m f ( ) − 3e C m f ( ) − 3e D m f ( −2 ) − Lời giải Chọn B Ta có: f ( x) 3e x+ + m f ( x) − 3e x+ m Đặt h ( x ) = f ( x) − 3e x + h ( x ) = f ( x ) − 3e x + HQ MATHS – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Chọn C “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ( Vì x ( −2; ) , f ( x ) x ( −2; ) x + ( 0; ) 3e x+ 3; 3e ) Nên h ( x ) = f ( x ) − 3e x + 0, x ( −2; ) f (2) − 3e h ( x ) f ( −2) − Vậy bất phương trình f ( x) 3e x+ + m có nghiệm x ( −2; ) m f ( ) − 3e VÍ DỤ Tổng giá trị nguyên tham số m khoảng ( −2020; 2020 ) để hàm số A −2039187 0; 4 B 2022 C 2093193 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp sin x − đồng biến khoảng sin x − m D 2021 Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: sin x m Ta có y = cos x ( sin x − m ) − ( sin x − 3) cos x cos x ( − m ) sin x − y = = 2 sin x − m ( sin x − m ) ( sin x − m ) 2 Vì x 0; nên cos x 0; sin x 0; 4 HQ MATHS – 0827.360.796 – y= 3 − m m m Suy hàm số đồng biến khoảng 0; 4 m m Vì m m −2019; −2018; ; −1; 0 1; 2 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Vậy tổng giá trị tham số m là: S = Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp −2019 + 2020 + + = −2039187 VÍ DỤ Cho hàm số f ( x ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình bên Hàm số g ( x ) = f (1 − x ) + x − x nghịch biến khoảng ? y –2 O x C ( −2; −1) D ( 2;3) Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: g ( x ) = f (1 − x ) + x − x g ( x ) = −2 f (1 − x ) + x − 1− 2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y = f ( t ) y = − Hàm số nghịch biến g ( x ) f (1 − x ) − −2 t t Dựa vào đồ thị ta có: f ( t ) − t 1 2 x −2 − x Khi đó: g ' ( x ) 1 − x x − Cách 2: Ta có: g ( x ) = f (1 − x ) + x − x g ( x ) = −2 f (1 − x ) + x − g ( x ) = f ' (1 − x ) = − 1− 2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y = f ( t ) y = − HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – 1 B 0; 2 3 A 1; 2 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp –2 HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp x = t = −2 1 − x = −2 t Từ đồ thị ta có: f ' ( t ) = − t = Khi đó: g ( x ) = 1 − x = x = Ta có bảng xét 2 1 − x = t = x = − dấu: 3 1 3 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến khoảng − ; − ; 2 2 2 VÍ DỤ Cho hàm số f ( x ) g ( x ) có phần đồ thị biểu diễn đạo hàm f ( x ) g ( x ) hình vẽ Biết hàm số y = h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) − a x + 2021 tồn khoảng đồng A B C D Lời giải Chọn B Ta có đạo hàm: h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) − a Để hàm số đồng biến h ( x ) HQ MATHS – 0827.360.796 – biến ( m; n ) Tổng giá trị nguyên dương a thỏa mãn là? a f ( x ) − g ( x ) Từ đồ thị, ta có f ( x ) − g ( x ) 12 a 12 Suy số giá trị nguyên dương a thỏa mãn a 1; 2; 3 Vậy tổng giá trị a thỏa mãn “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS –