Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 CHỦ ĐỀ 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÍ Định DỤ nghĩa MINH HỌA Giả sử hàm số f xác định tập K x0 K Ta nói: a; b x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng chứa x0 cho f x f x0 , x a; b \ x0 a; b K f x0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f a; b a; b K x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng chứa x0 cho Khi f x f x0 , x a; b \ x0 f x Khi gọi giá trị cực đại hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số x ; f x0 Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: f x Bước 1: Tìm tập xác định Tìm i 1; 2; Bước 2: Tìm điểm xi mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục đạo hàm f x f x Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu Nếu đổi dấu qua xi hàm số đạt cực trị xi Định lý y f x x h ; x0 h Giả sử có đạo hàm cấp khoảng với h Khi đó: f x 0, f x0 Nếu hàm số f đạt cực đại x0 f x 0, f x0 Nếu hàm số f đạt cực tiểu x0 Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2: f x Bước 1: Tìm tập xác định Tìm i 1; 2; f x 0 Bước 2: Tìm nghiệm xi phương trình f x f x Bước 3: Tính tính i f x Nếu i hàm số f đạt cực đại điểm xi 129 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số y x x2 x VÍ DỤ Hàm số đạt cực tiểu điểm A x B x 1 C x D x 3 Chọn B y x x 3x Ta có hàm số có tập xác định D x 1 y y x x x ; y 2 x y y 1 4 ; ; Suy hàm số đạt cực tiểu điểm x 1 VÍ DỤ Cho hàm số y x m 1 x m x Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số khơng có cực trị Số phần tử S A B C D Vô số Lời giải Chọn B Xét hàm số y x m 1 x m x (1) y 3x m 1 x m y 0 x m 1 x m 0 Ta có: (2) Hàm số cho khơng có cực trị Phương trình y0 vơ nghiệm có nghiệm kép 0 m 1 1. m 0 m2 5m 0 m VÍ DỤ Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x với x Hàm số g x f x có điểm cực đại? A B C D m 1; ; ; Do m số nguyên nên Vậy tập S có phần tử Lời giải Chọn B Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên hàm số f x Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 130 Phan Nhật Linh Ta có Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 g x f x g x f x f x Từ bảng biến thiên hàm số ta có x g x 0 f x 0 3 x 4 Như ta có bảng biến thiên hàm số x 4 x 2 g x VÍ DỤ Cho hàm số y f ( x) có bảng biến thiên sau y f ( x) Số điểm cực trị hàm số A B Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số C D g x có điểm cực đại Lời giải Chọn B Gọi đồ thị hàm số y f x Đặt g x f x C C sau: gọi Giữ nguyên phần đồ thị Với phần đồ thị C C đồ thị hàm số C y g x Đồ thị C suy từ đồ thị phía Ox ta phần I phía dưới Ox ta lấy đối xứng qua Ox , ta phần II Hợp phần I phần II ta C 131 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số C C y f x Từ cách suy đồ thị từ , kết hợp với bảng biến thiên hàm số ta có bảng biến thiên hàm số y g x f x Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y VÍ DỤ Cho hàm số số đạt cực tiểu x 0 ? y f ( x) sau: có điểm cực trị x5 m 2m 1 x x 2019 Có giá trị tham số m để hàm A.Vô số B.1 C.2 D.0 Lời giải Chọn B Ta có 2 y x m 1 x mx x x m 1 x m y x 0 Dễ thấy nghiệm đạo hàm Do hàm số đạt cực tiểu x 0 y đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm x 0 Ta thấy dấu y dấu hàm số g x x m x m nghiệm g x Khi Hàm số g x đổi dấu qua giá trị x 0 x 0 g 0 m 0 g x x x Thử lại, với m 0 đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x 0 Vậy có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn VÍ DỤ Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số I 1;1 cắt đường tròn tâm , bán kính R 1 hai điểm phân biệt A , B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất? y x 3mx A m 1 B m 2 C m 2 D m 2 3 Lời giải Chọn B 3 Ta có y x 3mx y 3x 3m Hàm số y x 3mx có điểm cực trị phương trình y 3 x 3m 0 có hai nghiệm phân biệt m 1 y x.y mx Ta có: Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 132 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu y 2mx 2mx y 0 I 1;1 Đường thẳng cắt đường trịn tâm , bán kính R 1 hai điểm phân biệt A , B 2m d I ; R 4m2 1 m m2 m m 1 SIAB IA.IB.sin AIB sin AIB 2 Dấu xảy sin AIB 1 AIB 90 Ta có Khi tam giác IAB vng cân I có IA 1 nên 2m d I ; 4m m2 8m 0 m 2 thỏa mãn đk 1 y x m x m VÍ DỤ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có ba điểm cực trị A m 2; B m 2; C m ; m Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn Lời giải Chọn C Ta có: D 2 y x m x 3m y ' 4 x m x 4 x x m ; m 0; x 0 y ' 0 x 2 m (1) Để hàm số có ba điểm cực trị phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác m m VÍ DỤ Cho hàm số f x có đạo hàm f ( x) ( x 1)2 x x Có giá trị nguyên dương g( x) f x 12 x m m tham số để hàm số có điểm cực trị ? A 18 B 17 C 16 Lời giải 133 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D 19 Chủ đề 02: Cực trị hàm số Chọn B x f ( x) 0 ( x 1) x x 0 x 0 x 4 Ta có : , x nghiệm kép g( x) f x 12 x m g x x 12 f x 12 x m Xét g x 0 x 12 f x 12 x m 0 (*) x 3 x 3 2 x 12 x m x 12 x m ( l) 2 x 12 x m 1 x 12 x m 0 x 12 x 4 m x 12 x m 4 ( Điểm cực trị hàm số g x nghiệm bội lẻ phương trình (*) nên ta loại phương trình 2 x 12 x m ) Xét hàm số y 2 x 12 x có đồ thị (C) có y ' 4 x 12 Ta có bảng biến thiên ; có điểm cực trị phương trình có hai nghiệm phân biệt 3 y 4 m Do đó, đường thẳng y m phải cắt đồ thị (C) điểm phân biệt có hồnh Để g x độ khác Nhận xét: đường thẳng y 4 m nằm đường thẳng y m y f x x m 1 x m x VÍ DỤ Cho hàm số với m Tập hợp tất giá y f x a; b trị m để hàm số có cực trị khoảng Tích a.b A 12 B 16 C 10 D 14 Ta có: 18 m m 18 Vậy có 17 giá trị m nguyên dương Lời giải Chọn D Ta có y x m 1 x m Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 134 Phan Nhật Linh Vì f x Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 hàm chẵn đó, hàm f x f x f x , nên đồ thị hàm f x đối xứng qua trục Oy Do có hai cực trị dương hàm có thêm hai cực trị đối xứng qua trục f x f x cực trị cịn lại giao điểm đồ thị hàm trục Oy u cầu tốn tương đương với phương trình y 0 có nghiệm dương phân biệt Oy Điều kiện tương đương S P m 3m m 1 m m 2 m 8 m m m 1 m 7 m m ;8 4 m a , b 8 a.b 14 Vậy 135 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh