LÍ THUYẾT Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số: Phương pháp: Cho hàm số y f x , y g x có đồ thị C C Lập phương trình hoành độ giao điểm C C : f x g x Giải phương trình tìm x từ suy y tọa độ giao điểm Số nghiệm (*) số giao điểm C C * Tương giao đồ thị hàm bậc Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x , m (phương trình ẩn x tham số m ) Cơ lập m đưa phương trình dạng m f x Lập bảng biến thiên cho hàm số y f x Dựa giả thiết bảng biến thiên từ suy m Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên m độc lập với x Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc Lập phương trình hồnh độ giao điểm F x , m Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x x0 nghiệm phương trình x x0 Phân tích: F x , m x x0 g x (là g x phương trình bậc g x hai ẩn x tham số m ) Dựa vào yêu cầu toán xử lý phương trình bậc hai g x Phương pháp 3: Cực trị Nhận dạng: Khi tốn khơng lập m không nhẩm nghiệm Quy tắc: Lập phương trình hồnh độ giao điểm F x , m 1 Xét hàm số Để 1 có nghiệm đồ thị y F x , m cắt trục hoành điểm Hoặc hàm số đơn điệu hàm số khơng có cực trị y ' vơ nghiệm có nghiệm kép y ' Hoặc hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct (tham khảo hình vẽ) y F x, m Để 1 có nghiệm đồ thị y F x , m cắt trục hoành điểm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct (tham khảo hình vẽ) Để 1 có nghiệm đồ thị y F x , m cắt trục hoành điểm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct (tham khảo hình vẽ) Tương giao hàm số phân thức Cho hàm số y C d : ax b C đường thẳng d : y px q Phương trình hoành độ giao điểm cx d ax b px q F x , m (phương trình bậc ẩn x tham số m ) cx d Các câu hỏi thường gặp: d Tìm m để d cắt C điểm phân biệt 1 có nghiệm phân biệt khác c Tìm m để d cắt C điểm phân biệt thuộc nhánh phải (C) 1 có d nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn : x1 x2 c Tìm m để d cắt C điểm phân biệt thuộc nhánh trái C 1 có d nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 c Tìm m để d cắt C điểm phân biệt thuộc hai nhánh C 1 có nghiệm d phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 c Tìm m để d cắt C điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước: Đoạn thẳng AB kS Tam giác ABC vuông Tam giác ABC có diện tích S0 Quy tắc: Tìm điều kiện tồn A, B (1) có nghiệm phân biệt Xác định tọa độ A B (chú ý Vi ét) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m Từ suy m Chú ý: Cơng thức khoảng cách: x A x A ; y A , B xB ; y B : AB xA y B y A M x0 ; y0 Ax0 By0 C d M, : Ax0 By0 C A B2 B Tương giao hàm số bậc Nghiệm phương trình bậc bốn trùng phương: ax bx c 1 Nhẩm nghiệm: Nhẩm nghiệm: Giả sử x x0 nghiệm phương trình x x0 Khi ta phân tích: f x , m x x02 g x g x Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc hai g x Ẩn phụ - tam thức bậc 2: Đặt t x , t Phương trình: at bt c t t Để 1 có nghiệm có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn: t1 t t t Để 1 có nghiệm có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn: 0 t1 t2 Để 1 có nghiệm có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn: t1 t2 Để 1 có nghiệm có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn: t1 t2 Bài tốn: tìm m để C : y ax bx c 1 cắt Ox bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng Đặt t x , t Phương trình: at bt c (2) Để 1 cắt Ox điểm phân biệt phải có nghiệm dương t1 , t2 t1 t2 thỏa mãn t2 9t1 Kết hợp t2 9t1 vơi định lý vi – ét tìm m VÍ DỤ MINH HỌA Lời giải VÍ DỤ 1: Gọi m số thực dương cho đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x4 3x hai điểm phân biệt M , N thỏa mãn tam giác OMN vuông O ( O gốc tọa độ) Kết luận sau đúng? 11 15 A m ; 4 1 3 B m ; 2 4 7 9 C m ; 4 4 3 5 D m ; 4 4 Chọn D Ta có y m d y x4 3x C Xét phương trình tương giao: x4 3x m x 3x m 1 Đặt t x 0, phương trình 1 trở thành: t 3t m Phương trình có tích a.c m m số thực dương Suy phương trình ln có hai nghiệm trái dấu t1 t2 Từ suy phương trình 1 có hai nghiệm đối x1 t2 , x2 t2 đồng thời d C cắt hai điểm phân biệt đối xứng qua Oy M t2 ; m , N t2 , m Mặt khác tam giác OMN vng O OM.ON t2 m 1 Thay t2 m 1 vào phương trình ta được: m 1 m 1 m m 1 m 1 m 1 Đặt a m ta phương trình a4 3a2 a a a3 2a2 a a (do a nên a3 2a a ) Từ ta m m (thỏa mãn m ) Vậy m VÍ DỤ 2: Cho hàm số y f ( x) xác định \{1} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ sau: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình f x m có ba nghiệm thực phân biệt A 4; B ; C 4; Lời giải Chọn D D 3; Phương trình f x m f x m có ba nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y f x đường thẳng y m cắt ba điểm phân biệt Căn vào bảng biến thiên hàm số y f x ta 4 m 3 m Vậy m 3; VÍ DỤ 3: Cho hàm số f x x x mx Gọi S tổng tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng y ba điểm phân biệt A 0;1 , B , C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x B , C vng góc với Gía trị S A B C D 11 Lời giải Chọn C Phương trình hồn độ giao điểm y x 3x2 mx y là: x x x2 mx x x x m x x m * Để đồ thị hàm số y f x cắt đồ thị hàm số y ba điểm phân biệt A 0;1 , B x1 ; y1 , C x2 ; y2 phương trình * có hai nghiệm phân biệt khác m m Theo hệ thức Viet ta có 4m m x1 x2 3 x1 x2 m Để tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x B, C vng góc với f x1 f x2 1 x12 x1 m 3x22 x2 m 1 x12 x22 18 x1 x2 x1 x2 3m x12 x22 6m x1 x2 36 x1 x2 m2 65 m 65 65 4m 9m S 8 65 m VÍ DỤ 4: Cho hàm số y C hai điểm phân biệt A m 1 x 1 x C điểm A 1;1 Tìm m để đường thẳng d : y mx m cắt M , N cho AM AN đạt giá trị nhỏ B m C m 2 Lời giải D m Chọn A x mx m (đk: x ) 1 x Phương trình hồnh độ giao điểm C d là: x x mx m 1 x mx m mx mx x mx mx m (*) Để C d cắt hai điểm phân biệt M , N (*) phải có nghiệm phân biệt khác m ' m2 m m 1 m m m 2m m Giả sử M x1 ; y1 , N x2 ; y2 Theo hệ thức viét : x1 x2 2; x1 x2 m1 m y y m x1 x m m m y1 y2 mx1 m 1 mx2 m 1 m2 x1 x2 m m 1 x1 x2 m 1 m( m 1) m m 1 m 1 m Ta có: AM AN x1 1 y1 1 x2 1 y 1 2 2 x1 x2 x1 1 x2 1 y1 y2 y1 1 y 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 2 2 m1 2 2 2 2 m 2 m m 1 18 ( m) 16 2.2 20 (BĐT Cauchy) m 18 m 16 m m m Suy ra: AM AN đạt giá trị nhỏ 20 m 1 m m2 m m 1 Vậy m 1 (vì m ) VÍ DỤ 5: Cho hàm số y x x có đồ thị (C ) , có đường thẳng d có điểm chung với đồ thị (C ) điểm chung có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x13 x2 x3 1 A B C D Lời giải Chọn B Vì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C ) điểm phân biệt nên đường thẳng d đường thẳng có hệ số góc dạng y ax b Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: x4 x ax b Mà phương trình phương trình bậc nên phương trình muốn có nghiệm phân biệt có nghiệm kép gọi x1 , hai nghiệm lại x2 , x3 Suy đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị (C ) , khơng tính tổng quát giả sử đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C ) x1 Gọi d tiếp tuyến (C ) điểm có hồnh độ x1 , d cắt (C ) điểm phân biệt có hồnh độ x2 , x3 ( x1 ) thỏa mãn x13 x2 x3 1 Ta có: d : y (4 x13 x1 )( x x1 ) x14 x12 Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: x4 x (4 x13 x1 )( x x1 ) x14 x12 (1) u cầu tốn (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x13 x2 x3 1 x x1 (1) ( x x1 )2 ( x x1 x 3x12 2) 2 f ( x) x x1 x 3x1 Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x13 x2 x3 1 phương trình x x3 2 x1 f ( x) phải có nghiệm phân biệt x2 , x3 khác x1 thỏa mãn định lí Vi – ét: 2 x2 x3 x1 ' x12 x12 Ta có: x12 x12 x12 x ( x x ) x x ( x x ) 1 3 x1 1 x1 3x1 x ( 2 x )3 3(3 x 2).( 2 x ) 1 1 11 165 Vậy có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu tốn 22 VÍ DỤ 6: Có số thực tham số m để đường thẳng y m x cắt đồ thị hàm số y x x2 x ba điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn A B 1 y1 y2 y3 C D Lời giải Chọn D Ta có phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng đồ thị hàm bậc ba cho x x x m x x x m x 1 Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm phân biệt phương trình 1 x1 x2 x3 1 Theo hệ thức viet phương trình bậc ba ta có : x1 x2 x2 x3 x3 x1 m x x x 3 Nhận thấy tung độ ba giao điểm thỏa mãn phương trình y m x nên ta có y1 m x1 , y2 m x2 y3 m x3 Khi 1 y1 y2 y3 1 m x1 m x2 m x3 3m x1 x2 x2 x3 x3 x1 m m 3 m6 x1 x2 x3 Thử lại với m suy phương trình hồnh độ giao điểm x3 x2 x có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn giả thiết cho (Dùng casio để kiểm tra) Vậy có số thực m thỏa mãn VÍ DỤ 7: Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x x2 bốn điểm phân biệt có hồnh độ , , m n Tính S m2 n2 A S B S C S D S Lời giải Chọn D Do đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x x2 điểm có hồnh độ nên phương trình đường thẳng có dạng y ax Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng y ax với đồ thị hàm số y x x : x4 x a x x4 x a x x x3 x a Do phương trình có bốn nghiệm , , m , n nên ta có : x x x a x x 1 x m x n x x a x mx x m x n x x a x nx2 mx mnx x nx mx mn x x a x n m 1 x m n mn x mn m n m n 1 m n mn 2 S m n2 m n mn mn 1 mn a VÍ DỤ 7: Cho phương trình x 3x m x x 2m Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 20; 20 để phương trình cho có nghiệm phân biệt? A 19 B 18 D 20 C 17 Lời giải Chọn B 2 Ta có x2 3x m x x 2m x x m x x2 x m x2 x m x2 x m x2 x m x2 x m x2 x m x2 4x m x x m 1 2 Yêu cầu tốn phương trình 1 có nghiệm phân biệt khơng trùng Phương trình 1 có nghiệm phân biệt 4 m m m 1 2 1 m m 1 Giả sử phương trình 1 có nghiệm x0 trùng x x m Hệ sau có nghiệm x x m 1 2 x0 x0 m x0 x0 m x0 1 Với x0 1 thay vào 1 ta m 5 Với m 5 phương trình 1 khơng có nghiệm trùng Kết hợp m số nguyên thuộc đoạn 20; 20 m 20; 1 \5 Vậy có 18 số nguyên m thoả mãn yêu cầu toán