1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

06 1 lý thuyết và ví dụ minh họa về sự tương giao (trang 491 499)

9 0 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 9
Dung lượng 0,94 MB

Nội dung

LÍ THUYẾT  Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số:  Phương pháp: Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  có đồ thị C   C   Lập phương trình hoành độ giao điểm C   C  : f  x   g  x   Giải phương trình tìm x từ suy y tọa độ giao điểm  Số nghiệm (*) số giao điểm C   C  *   Tương giao đồ thị hàm bậc  Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị)  Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F  x , m   (phương trình ẩn x tham số m )  Cơ lập m đưa phương trình dạng m  f  x   Lập bảng biến thiên cho hàm số y  f  x   Dựa giả thiết bảng biến thiên từ suy m  Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên m độc lập với x  Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc  Lập phương trình hồnh độ giao điểm F  x , m    Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x  x0 nghiệm phương trình    x  x0 Phân tích: F  x , m     x  x0  g  x     (là g  x   phương trình bậc  g  x   hai ẩn x tham số m ) Dựa vào yêu cầu toán xử lý phương trình bậc hai g  x    Phương pháp 3: Cực trị  Nhận dạng: Khi tốn khơng lập m không nhẩm nghiệm  Quy tắc:  Lập phương trình hồnh độ giao điểm F  x , m   1 Xét hàm số  Để 1 có nghiệm đồ thị y  F  x , m  cắt trục hoành điểm  Hoặc hàm số đơn điệu   hàm số khơng có cực trị  y '  vơ nghiệm có nghiệm kép   y '   Hoặc hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  (tham khảo hình vẽ) y  F  x, m   Để 1 có nghiệm đồ thị y  F  x , m  cắt trục hoành điểm phân biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  (tham khảo hình vẽ)  Để 1 có nghiệm đồ thị y  F  x , m  cắt trục hoành điểm phân biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  (tham khảo hình vẽ)  Tương giao hàm số phân thức  Cho hàm số y   C   d  : ax  b C  đường thẳng d : y  px  q Phương trình hoành độ giao điểm cx  d ax  b  px  q  F  x , m   (phương trình bậc ẩn x tham số m ) cx  d  Các câu hỏi thường gặp:  d Tìm m để d cắt  C  điểm phân biệt   1 có nghiệm phân biệt khác  c  Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt thuộc nhánh phải (C)  1 có d nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn :   x1  x2 c  Tìm m để d cắt  C  điểm phân biệt thuộc nhánh trái C    1 có d nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2   c  Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt thuộc hai nhánh  C   1 có nghiệm d phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1    x2 c  Tìm m để d cắt  C  điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:  Đoạn thẳng AB  kS  Tam giác ABC vuông  Tam giác ABC có diện tích S0  Quy tắc:  Tìm điều kiện tồn A, B  (1) có nghiệm phân biệt  Xác định tọa độ A B (chú ý Vi ét)  Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m Từ suy m  Chú ý: Cơng thức khoảng cách: x   A  x A ; y A  , B  xB ; y B  : AB   xA   y B  y A   M  x0 ; y0  Ax0  By0  C  d M,    : Ax0  By0  C  A  B2 B    Tương giao hàm số bậc Nghiệm phương trình bậc bốn trùng phương: ax  bx  c  1  Nhẩm nghiệm:    Nhẩm nghiệm: Giả sử x  x0 nghiệm phương trình   x   x0 Khi ta phân tích: f  x , m   x  x02 g  x      g  x    Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc hai g  x     Ẩn phụ - tam thức bậc 2:  Đặt t  x ,  t   Phương trình: at  bt  c     t   t Để  1 có nghiệm   có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1  t   t   t Để  1 có nghiệm   có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  0  t1  t2  Để  1 có nghiệm   có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1  t2  Để  1 có nghiệm   có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1  t2 Bài tốn: tìm m để C  : y  ax  bx  c  1 cắt Ox bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng  Đặt t  x ,  t   Phương trình: at  bt  c  (2)  Để  1 cắt Ox điểm phân biệt   phải có nghiệm dương t1 , t2  t1  t2  thỏa mãn t2  9t1  Kết hợp t2  9t1 vơi định lý vi – ét tìm m VÍ DỤ MINH HỌA Lời giải VÍ DỤ 1: Gọi m số thực dương cho đường thẳng y  m  cắt đồ thị hàm số y  x4  3x  hai điểm phân biệt M , N thỏa mãn tam giác OMN vuông O ( O gốc tọa độ) Kết luận sau đúng?  11 15  A m   ;   4  1 3 B m   ;  2 4 7 9 C m   ;  4 4 3 5 D m   ;  4 4 Chọn D Ta có y  m   d  y  x4  3x   C  Xét phương trình tương giao: x4  3x   m   x  3x   m     1 Đặt t  x  0, phương trình  1 trở thành: t  3t   m      Phương trình   có tích a.c  m   m số thực dương Suy phương trình   ln có hai nghiệm trái dấu t1   t2 Từ suy phương trình  1 có hai nghiệm đối x1   t2 , x2  t2 đồng thời  d   C     cắt hai điểm phân biệt đối xứng qua Oy M  t2 ; m  , N    t2 , m  Mặt khác tam giác OMN vng O OM.ON   t2   m  1 Thay t2   m  1 vào phương trình   ta được:  m  1   m  1   m      m  1   m  1   m  1   Đặt a  m   ta phương trình   a4  3a2  a     a   a3  2a2  a    a  (do a  nên a3  2a  a   ) Từ ta m    m  (thỏa mãn m  ) Vậy m  VÍ DỤ 2: Cho hàm số y  f ( x) xác định \{1} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ sau: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình f  x    m có ba nghiệm thực phân biệt A  4;  B   ;  C   4;  Lời giải Chọn D D  3;  Phương trình f  x    m  f  x   m  có ba nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y  f  x  đường thẳng y  m  cắt ba điểm phân biệt Căn vào bảng biến thiên hàm số y  f  x  ta 4  m    3  m  Vậy m   3;  VÍ DỤ 3: Cho hàm số f  x   x  x  mx  Gọi S tổng tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  f  x  cắt đường thẳng y  ba điểm phân biệt A  0;1 , B , C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  B , C vng góc với Gía trị S A B C D 11 Lời giải Chọn C Phương trình hồn độ giao điểm y  x  3x2  mx  y  là: x  x  x2  mx    x x  x  m     x  x  m   *    Để đồ thị hàm số y  f  x  cắt đồ thị hàm số y  ba điểm phân biệt A  0;1 , B  x1 ; y1  , C  x2 ; y2  phương trình  *  có hai nghiệm phân biệt khác m  m     Theo hệ thức Viet ta có    4m  m    x1  x2  3   x1 x2  m Để tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  B, C vng góc với    f   x1  f   x2   1  x12  x1  m 3x22  x2  m  1    x12 x22  18 x1 x2  x1  x2   3m x12  x22  6m  x1  x2   36 x1 x2  m2     65 m   65  65  4m  9m     S    8  65 m   VÍ DỤ 4: Cho hàm số y  C  hai điểm phân biệt A m  1 x 1 x C  điểm A  1;1 Tìm m để đường thẳng d : y  mx  m  cắt M , N cho AM  AN đạt giá trị nhỏ B m  C m  2 Lời giải D m   Chọn A x  mx  m  (đk: x  ) 1 x Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d là:  x    x  mx  m  1  x  mx  m   mx  mx  x  mx  mx  m   (*) Để  C  d cắt hai điểm phân biệt M , N (*) phải có nghiệm phân biệt khác m     '  m2  m  m  1   m   m  m  2m  m    Giả sử M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  Theo hệ thức viét : x1  x2  2; x1 x2  m1 m  y  y  m  x1  x   m   m  m    y1 y2   mx1  m  1 mx2  m  1  m2 x1 x2  m  m  1 x1  x2    m  1  m( m  1)  m  m  1   m  1  m  Ta có: AM  AN   x1  1   y1  1   x2  1   y  1 2 2   x1  x2     x1  1 x2  1   y1  y2     y1  1 y  1 2     x1  x2     x1 x2  x1  x2  1   y1  y2    y1 y2   y1  y2   2 2  m1   2  2  2      2    m    2    m     m 1    18    ( m)  16  2.2  20 (BĐT Cauchy)   m  18    m  16   m  m   m  Suy ra: AM  AN đạt giá trị nhỏ 20 m  1  m  m2    m  m  1 Vậy m  1 (vì m  ) VÍ DỤ 5: Cho hàm số y  x  x có đồ thị (C ) , có đường thẳng d có điểm chung với đồ thị (C ) điểm chung có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x13  x2  x3  1 A B C D Lời giải Chọn B Vì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C ) điểm phân biệt nên đường thẳng d đường thẳng có hệ số góc dạng y  ax  b Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: x4  x  ax  b Mà phương trình phương trình bậc nên phương trình muốn có nghiệm phân biệt có nghiệm kép gọi x1 , hai nghiệm lại x2 , x3 Suy đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị (C ) , khơng tính tổng quát giả sử đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C ) x1 Gọi d tiếp tuyến (C ) điểm có hồnh độ x1 , d cắt (C ) điểm phân biệt có hồnh độ x2 , x3 (  x1 ) thỏa mãn x13  x2  x3  1 Ta có: d : y  (4 x13  x1 )( x  x1 )  x14  x12 Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: x4  x  (4 x13  x1 )( x  x1 )  x14  x12 (1) u cầu tốn  (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x13  x2  x3  1  x  x1 (1)  ( x  x1 )2 ( x  x1 x  3x12  2)    2  f ( x)  x  x1 x  3x1   Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x13  x2  x3  1 phương trình  x  x3  2 x1 f ( x)  phải có nghiệm phân biệt x2 , x3 khác x1 thỏa mãn định lí Vi – ét:  2  x2 x3  x1   '  x12  x12    Ta có:  x12  x12  x12     x  ( x  x )  x x ( x  x )  1 3   x1  1  x1   3x1    x  ( 2 x )3  3(3 x  2).( 2 x )  1 1  11  165 Vậy có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu tốn 22 VÍ DỤ 6: Có số thực tham số m để đường thẳng y   m   x  cắt đồ thị hàm số y  x  x2  x  ba điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn A B 1    y1  y2  y3  C D Lời giải Chọn D Ta có phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng đồ thị hàm bậc ba cho x  x  x    m   x   x  x    m  x    1 Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm phân biệt phương trình  1  x1  x2  x3  1  Theo hệ thức viet phương trình bậc ba ta có :  x1 x2  x2 x3  x3 x1   m  x x x  3  Nhận thấy tung độ ba giao điểm thỏa mãn phương trình y   m   x  nên ta có y1    m   x1 , y2    m   x2 y3    m   x3 Khi  1     y1  y2  y3  1     m   x1  m   x2  m   x3 3m x1 x2  x2 x3  x3 x1   m    m  3 m6 x1 x2 x3 Thử lại với m  suy phương trình hồnh độ giao điểm x3  x2  x   có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn giả thiết cho (Dùng casio để kiểm tra) Vậy có số thực m thỏa mãn VÍ DỤ 7: Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y  x  x2 bốn điểm phân biệt có hồnh độ , , m n Tính S  m2  n2 A S  B S  C S  D S  Lời giải Chọn D Do đường thẳng cắt đồ thị hàm số y  x  x2 điểm có hồnh độ nên phương trình đường thẳng có dạng y  ax Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng y  ax với đồ thị hàm số y  x  x :   x4  x  a x  x4  x  a x   x x3  x  a  Do phương trình có bốn nghiệm , , m , n nên ta có :     x x  x  a  x  x  1 x  m  x  n   x  x  a  x  mx  x  m  x  n   x  x  a  x  nx2  mx  mnx  x  nx  mx  mn  x  x  a  x    n  m  1 x   m  n  mn  x  mn m  n   m  n  1   m  n  mn  2    S  m  n2   m  n   mn  mn  1 mn  a    VÍ DỤ 7: Cho phương trình x  3x  m  x  x  2m  Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn   20; 20  để phương trình cho có nghiệm phân biệt? A 19 B 18 D 20 C 17 Lời giải Chọn B       2 Ta có x2  3x  m  x  x  2m    x  x  m  x   x2  x  m             x2  x  m x2  x  m  x2  x  m   x2  x  m x2  x  m   x2  4x  m    x  x  m   1 2 Yêu cầu tốn  phương trình  1   có nghiệm phân biệt khơng trùng Phương trình  1   có nghiệm phân biệt   4  m  m      m  1 2  1  m   m  1 Giả sử phương trình  1   có nghiệm x0 trùng  x  x  m   Hệ sau có nghiệm    x  x  m     1  2   x0  x0  m  x0  x0  m    x0  1 Với x0  1 thay vào  1 ta m  5  Với m  5 phương trình  1   khơng có nghiệm trùng Kết hợp m số nguyên thuộc đoạn   20; 20   m  20; 1 \5 Vậy có 18 số nguyên m thoả mãn yêu cầu toán

Ngày đăng: 25/10/2023, 21:55

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w