Lý thuyết, ví dụ minh họa về khối đa diện

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 1: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LÍ THUYẾT I Một số định nghĩa cần nhớ  Hình lăng trụ hình có hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song với mặt bên hình bình hành  Hình lăng trụ đứng Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Tính chất: Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật vng góc với mặt đáy  Hình lăng trụ Định nghĩa Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Tính chất Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật vng góc với mặt đáy  Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành  Hình hộp đứng Định nghĩa Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Tính chất Hình hộp đứng có đáy hình bình hành, mặt xung quanh hình chữ nhật  Hình hộp chữ nhật Định nghĩa Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Tính chất Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật  Hình lập phương Định nghĩa Hình lập phương hình hộp chữ nhật đáy mặt bên hình vng Tính chất Hình lập phương có mặt hình vng II  Hình chóp hình có đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh Thể tích khối đa diện Cơng thức tính thể tích khối chóp V  S.h Trong đó: S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp  Chú ý: Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao ta phải xác định vị trí | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Thể tích khối đa diện – Hình học khơng gian      Chóp có cạnh bên vng góc chiều cao cạnh bên Chóp có hai mặt bên vng góc đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên vng góc đáy Chóp có mặt bên vng góc đáy chiều cao mặt bên vng góc đáy Chóp chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy Chóp có hình chiếu vng góc đỉnh lên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao từ đỉnh tới hình chiếu Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V B.h Trong đó: B diện tích đáy, h hiều cao khối lăng trụ  Thể tích khối hộp chữ nhật: V a.b.c Trong đó: a , b , c ba kích thước khối hộp chữ nhật  Thể tích khối lập phương: V a Trong a độ dài cạnh hình lập phương III Tỉ số thể tích Cho khối chóp S ABC A, B, C  điểm tùy ý thuộc SA , SB , SC , ta có: Cơng thức tỉ số thể tích: VS A ' B' C ' SA ' SB ' SC '  VS ABC SA SB SC (hay gọi công thức Simson) Phương pháp áp dụng khối chóp không xác đinh chiều cao cách dễ dàng khối chóp cần tính phần nhỏ khối chóp lớn cần ý đến số điều kiện sau:  Hai khối chóp phải chung đỉnh  Đáy hai khối chóp phải tam giác  Các điểm tương ứng nằm cạnh tương ứng FA DB EC 1 Định lý Menelaus: Cho ba điểm thẳng hàng FB DC EA với DEF đường thẳng cắt ba đường thẳng BC , CA , AB D , E, F Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 IV Một số cơng thức tính nhanh thể tích tỷ số tích khối chóp khối lăng trụ  Cơng thức : Thể tích tứ diện cạnh a : VS ABC  a3 12  Công thức : Với tứ diện ABCD có AB a , AC b , AD c đơi vng góc thể tích VABCD  abc  Cơng thức : Với tứ diện ABCD có AB CD a , BC  AD b , AC BD c thể tích VABCD  12 a    b2  c b2  c  a a  c  b2      Công thức : Cho khối chóp S ABC có SA a , SB b , SC c , BSC  ,CSA  , ASB  thể tích VS ABC  abc  cos  cos  cos   cos   cos   cos   Công thức : Mặt phẳng cắt cạnh khối lăng trụ tam giác ABC ABC  xyz AM BN CP x , y , z VABC MNP  V ABC ABC  M , N , P cho AA BB CC  ta có  Cơng thức : Mặt phẳng cắt cạnh khối hộp ABCD ABC D M , N , P , Q AM BN CP DQ x  y  z t x , y , z , t VABCD MNPQ  V ABCD ABC D BB CC  DD cho AA ta có x  z y  t  Công thức : Mặt phẳng cắt cạnh khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình bình SM SN SP SQ x , y , z , t M , N , P , Q SB SC SD hành cho SA ta có cơng thức sau VS MNPQ  xyzt  1 1      V  x y z t  S ABCD | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 1 1    x z y t Thể tích khối đa diện – Hình học khơng gian VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , có BC a Mặt phẳng  SAC  vng góc với mặt đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 A 12 a3 C a3 B a3 D Lời giải Chọn A SAC    ABC  SH   ABC  Kẻ SH  BC  nên Gọi I , J hình chiếu H AB BC  SJ  AB , SJ  BC   Theo giả thiết SIH SJH 45 Ta có: SHI SHJ  HI HJ nên BH đường phân giác ABC từ suy H trung điểm AC VÍ DỤ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang vng A D , đáy nhỏ hình thang CD , cạnh bên SC a 15 Tam giác SAD tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng SHC  vng góc với đáy hình chóp Gọi H trung điểm cạnh AD , khoảng cách từ B tới mặt phẳng  6a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD ? A V 24 a B V 8 a C V 12 a D V 4 a a a3 HI HJ SH   VSABC  SABC SH  12 Lời giải Chọn D  SAD    ABCD   AD  SH   ABCD   SH  AD , SH   SAD  S 2 Ta có SH  SD  DH a , HC  SC  SH  15a  3a 2 3a CD  HC  HD  12 a  a a 11  BF  BC  BF   SHC   BF  SH  Ta có nên   d B ,  SHC  BF 2 a A B H D C F Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 SHBC  BF.HC  3a.2 a 6 a 2 a a 11 SAHB  AH AB  x SCDH  DH DC  2 ; 2 Đặt AB x nên SABCD   CD  AB  AD  a 11  x a  SAHB SABCD  SCDH  SBHC   SABCD  a 11  12    a a 11 x  a 11  x a   2a  x  12  2   11 a a 12 a    11 a    VÍ DỤ 3: Cho khối chóp S ABC có góc ASB BSC CSA 60 SA 2 , SB 3 , SC 4 Thể tích khối chóp S ABC A B C 2 D 1 VS ABCD  SH SABCD  a 3.12 2a 4 6a 3 Vậy Lời giải Chọn C SB  SB Gọi B SB cho C  SC cho SC   SC Khi SA SB SC  2  S.ABC  khối tứ diện Ta có: Nên AM  2 3   AO  AM  3 SO  SA  AO  SABC  VS ABC SA SB SC 2  3  VS ABC 3VS ABC  2 VS ABC   SABC .SO  VS ABC  SA SB SC  3 Khi mà Cách khác: áp dụng công thức | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Thể tích khối đa diện – Hình học khơng gian SA.SB.SC      cosCSB  VS ABC   cos ASB  cos BSC  cos CSB  2cos ASB cos.BSC 2 VÍ DỤ 4: Cho hình chóp S ABC có AB 5 cm , BC 6 cm , CA 7 cm Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng  ABC  nằm bên tam giác ABC Các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCA  tạo với đáy góc 60 Gọi AD , BE , CF đường phân giác tam giác ABC với D  BC , E  AC F  AB Thể tích S.DEF gần với số sau đây? A 3,7 cm B 3,4 cm C 2,9 cm D 4,1 cm S Lời giải Chọn B SAB   SBC   SCA  Vì mặt phẳng  , , tạo với đáy góc 60 hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng E A  ABC  nằm bên tam giác ABC nên ta có hình chiếu S tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC F H I 60° C D B AB  BC  CA p 9 p ABC Gọi nửa chu vi tam giác SABC  p  p  AB   p  BC   p  AC  6 Ta có : Suy chiều cao hình chóp : S r  p A h r.tan 60 2 E EA BA  Vì BE phân giác góc B nên ta có : EC BC FA CA DB AB   Tương tự : FB CB , DC AC F I C B D SAEF AE AF AB AC   SABC AC AB AB  BC AC  BC Khi : SCED SBFD CA CB BC BA   Tương tự : SABC CA  AB CB  AB , SABC BC  CA BA  CA Do đó,   ab bc ac SDEF SABC        a  c b  c b  a c  a a  b c  b               , với BC a , AC b , AB c  abc 210 210 280 S  a  b   b  c   c  a  ABC  143  VS.DEF  143 2  143  cm  3,4  cm  3 VÍ DỤ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a Hình chiếu vng góc ABCD  SAB  đỉnh S lên mặt phẳng  trung điểm cạnh OC Góc mặt phẳng  mặt Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | ABCD  phẳng  60 Tính theo a thể tích V hình chóp S.ABCD 3 3 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Lời giải Chọn D OC  SH   ABCD  Gọi H trung điểm cạnh Kẻ HP  AB  P  AB   AB  HP  AB   SHP   AB  SP  AB  SH  Ta có   60  SAB  ;  ABCD  SPH Do   tan 60   SH   SH HP HP  HP  AB HP AH 3 3a 3a  HP / / BC     HP  BC   SH   ABCD  ,  BC  AB BC AC 4 4 Trên  1 3a a 3  V  SH SABCD  a  3 4 ABC  VÍ DỤ 6: Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có BB ' a , góc đường thẳng BB '   60 , tam giác ABC vng C góc BAC 60 Hình chiếu vng góc điểm B ' lên  ABC  trùng với trọng tâm ABC Thể tích khối tứ diện A '.ABC theo a 15a B 108 a3 A 106 9a3 C 208 13a D 108 Lời giải Chọn C B' C' Gọi M , N trung điểm AB, AC G trọng tâm ABC  A'    B ' G   ABC   BB ',  ABC  B ' BG 60 1 VA ' ABC  SABC B ' G  AC.BC B ' G  Xét B ' BG vuông G , có B ' BG 60 B 60° C G M 60° a  B'G  (nửa tam giác đều) N A  Đặt AB 2 x Trong ABC vng C có BAC 60  tam giác ABC tam giác Do G trọng tâm ABC  AC  AB x , BC x 3 3a  BN  BG  2 2 Trong BNC vuông C : BN NC  BC | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Thể tích khối đa diện – Hình học khơng gian  3a AC   9a2 x 9a2 3a 13     3x2  x2   x   16 52 13  BC  3a  13 VÍ DỤ 7: Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P trọng tâm tam giác ABC , ACD , ADB V V  thể tích khối tứ diện AMNP Tính tỉ số V V  A V 81 V  B V 81 V  C V 27 V  D V 3a a a a VA ' ABC   13 13 208 Vậy Lời giải Chọn B TYPS: Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số k ta có đây” Ta có mặt phẳng  MNP  V1 k V2 Áp dụng vào toán sau cắt mặt tứ diện theo đoạn giao tuyến EF , FH HE MNP  //  BCD  thiết diện tam giác EFH Ta dễ có  d A;  MNP   d A;  BCD      Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1  2 SMNP  SEFH    SBCD  SBCD 4  3 Ta có VÍ DỤ 8: Cho khối lăng trụ ABC.ABC  tích 2020 Gọi M , N trung điểm AA ; BB điểm P nằm cạnh CC  cho PC 3PC  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A , B , C , M , N , P 2020 5353 A B 2525 C 3535 D VAMNP  d A;  MNP  SMNP  d A;  BCD  SBCD  V ABCD 81 81 Do Lời giải Chọn D Giả sử V VABC ABC 2020     V VC  ABC  d C ;  ABC  SABC   VC  ABBA  V 3 Ta có   d P ;  ABC  SABC VP ABC 3 VC ABC d C ;  ABC  SABC Ta lại có :         PC   V d  C ;  ABC   CC  d P ;  ABC  P ABC  V Mặt khác: d P;  ABBA SABNM VP ABNM 3 VC ABBA d C ;  ABBA SABBA Mà        d P ;  ABBA d C ;  ABBA  S VP ABNM 1   VP ABNM  V VC  ABBA ABNM Suy Vậy Cách 2: Dùng công thức giải nhanh | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  SABBA VABC MNP VP ABNM  VP ABC  3535 V 12 Thể tích khối đa diện – Hình học khơng gian VÍ DỤ 9: Cho lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh a , góc cạnh bên với mặt  phẳng đáy 60 A cách điểm A , B , C Gọi M trung điểm AA ; N  BB thỏa mãn NB 4 NB P  CC  cho PC 3PC  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A , B , C , M , N , P 41a 3 B 240 a3 A 23a3 C 144 19a 3 D 240 VABC MNP  AM BN CP  2020  1  3535      VABC MNP       VABC ABC   AA BB CC    2 4 Ta có: Lời giải Chọn B Gọi V thể tích khối đa diện có đỉnh điểm A , B,C , M , N , P V1 thể tích khối lăng trụ ABC ABC  Gọi H trọng tâm tam giác ABC Vì điểm A cách điểm A , B , C nên AH   ABC   AA,  ABC   A AH 60 nên a a2 a3 AH  AH tan 60  tan 60 a V1 SABC AH  a  4 (đvtt) Suy Do Hơn AA   ABC   A V 2V VA ABC  SABC AH   V A BCC B  3 Mà  NB 4 NB    PC 3PC  Từ Suy  SBCPN    NB  BB   PC  CC   BB  4 1  NB  PC  d  BB, CC    BB  BB d  BB, CC     31 31 31 31 31 BB.d  BB, CC   SBCC B  VM BCPN  VM BCC B  V A.BCC B  V1 40 40 40 40 60 1 1 VM ABC  SABC AH  VA ABC  V1 2 Và (vì M trung điểm AA ) V VM ABC  VM BCPN  Vậy thể tích cần tìm Cách 2: Dùng cơng thức giải nhanh 41 41a 3 V1  60 240 (đvtt) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ 10: Cho lăng trụ ABC ABC  diện tích đáy chiều cao Gọi M , N , P        trung điểm AA , BB , CC G ,G trọng tâm hai đáy ABC , A B C Thể tích Ta có: VABC MNP  AM BN CP  a 3   41a3       VABC MNP  12      240 VABC ABC   AA BB CC     Lời giải Chọn C Ta có: VABC ABC 3.5 15 (đvtt) Ta có VGGMNP VG MNP  VG ' MNP Do M , N , P trung AA, BB, CC nên mp  MNP  điểm chia khối lăng trụ ABC ABC  thành hai khối lăng trụ ABC.MNP MNP ABC  Lại có G   ABC  VG MNP  V ABC MNP nên VG MNP  V ABC .MNP Tương tự ta có Do 1 VGGMNP VG MNP  VG ' MNP  VABC MNP  VMNP ABC  3  1 VABC MNP  VMNP ABC    V ABC ABC   15 5  3 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Thể tích khối đa diện – Hình học khơng gian Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12