BÀI 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A LÍ THUYẾT Khối đa diện lồi Khối đa diện gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm khối đa diện thuộc khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Lưu ý: Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng qua mặt Một số kết quan trọng khối đa diện lồi * Cho khối tứ diện Khi đó: Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) * Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện Trang 593 * Tâm mặt khối bát diện đỉnh hình lập phương * Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó: +) Ba đường chéo cắt trung điểm đường +) Ba đường chéo đôi vng góc với +) Ba đường chéo Khối đa diện Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau đây: +) Mỗi mặt đa giác n cạnh +) Mỗi đỉnh đỉnh chung p mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại n; p Định lí: Chỉ có năm loại khối đa điện Đó loại 3;3 , 4;3 , 3; 4 , 5;3 3;5 Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số Số Số Loại Số Trang 594 đỉnh cạn h mặt Tứ diện 3;3 Khối lập phương 12 4;3 Bát diện 12 3; 4 20 30 12 5;3 15 12 30 20 3;5 15 Mười hai mặt Hai mươi mặt MPĐX Công thức Ơ-le: Trong đa diện lồi gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt ta có: Đ – C + M = Chú ý: Giả sử khối đa diện loại n; p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Khi đó: p.Đ = 2C = n.M B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Nhận diện đa diện lồi, đa diện Phương pháp giải Khối đa diện gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm khối đa diện thuộc khối đa diện Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Bài tập Bài tập 1: Trong hình hình khơng phải khối đa diện lồi? Trang 595 A Hình B Hình C Hình D Hình Hướng dẫn giải Chọn D Đường nối đoạn MN khơng thuộc khối hình nên hình khối đa diện lồi Bài tập 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hình hộp đa diện lồi B Tứ diện đa diện lồi C Hình tạo hai tứ diện ghép vào hình đa diện lồi D Hình lập phương đa diện lồi Hướng dẫn giải Chọn C Các đáp án A, B, D dựa vào khái niệm hình đa diện lồi Hai tứ diện ghép vào khơng tạo thành hình đa diện lồi Thật Hai tứ diện (đều đa diện lồi) ghép với khơng tạo thành hình đa diện lồi Hai tứ diện ABCD MNPQ trước ghép Sau ghép hai tứ diện ABCD MNPQ ta hình khơng phải hình đa diện lồi Trang 596 Dạng 2: Các đặc điểm khối đa diện Phương pháp Chỉ có năm loại khối đa diện Đó loại 3;3 , 4;3 , 3; 4 , 5;3 3;5 Dựa vào bảng tóm tắt phần lý thuyết thông số: Đỉnh cạnh mặt khối đa diện để giải tốn Dựa vào tính chất phép biến hình để tìm mặt phẳng đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng,… loại khối đa diện Công thức Ơ-le: Trong đa diện lồi gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt ta có cơng thức Đ – C + M = Ngồi cần nhớ thêm cơng thức sau: Giả sử khối đa diện loại n; p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt pĐ = 2C = nM ïì n = 3, p = Xét tứ diện { 3;3} ® ïíï M = ùợ p=2C =nM ắắ ắ ắắ đC = ìï n = 4, p = Xét khối lập phương { 4;3} ® ïíï M = ùợ Xột bỏt din u { 3;4} ô nM nM =6 & Đ = = p pĐ =2C =nM ắắ ắ ắắ đC = nM nM = 12 & Đ = = p ïìï n = 3, p = pĐ=2C =nM nM nM ¾¾ ¾ ¾¾ ®C = = 12 & Đ = = í ïïỵ M = p Xét khối mười hai mặt ìï n = 5, p = p=2C =nM nM nM ắắ ắ ắắ đC = = 30 & Đ = = 20 ïïỵ M = 12 p { 5;3} ® ïí Xét khối hai mươi mặt ïì n = 3, p = p=2C =nM nM nM ắắ ắ ắắ đC = = 30 & Đ = = 12 ïïỵ M = 20 p { 3;5} ® ïí Bài tập Bài tập 1: Hình bát diện có tất cạnh? A B C 12 D 20 Hướng dẫn giải Chọn C Hình bát diện có 12 cạnh Bài tập 2: Khối mười hai mặt có đỉnh? A 12 B 16 C 20 D 36 Hướng dẫn giải Chọn C Khối mười hai mặt có 20 đỉnh Bài tập 3: Cho khối đa diện loại 3; 4 Tổng góc phẳng đỉnh khối đa điện Trang 597 A 180 B 240 C 324 D 360 Hướng dẫn giải Chọn B Khối đa diện loại 3; 4 khối bát diện Mỗi đỉnh đỉnh chung mặt Vậy tổng góc phẳng đỉnh khối đa diện 60 240 Bài tập 4: Cho hình đa diện loại { 4;3} cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình đa diện Mệnh đề đúng? A S = 4a2 B S = 6a2 C S = 8a2 D S = 10a2 Hướng dẫn giải Chọn B Đa diện loại { 4;3} khối lập phương nên có mặt hình vng cạnh a Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất mặt S = 6a2 Bài tập 5: Cho hình bát diện cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình bát diện Mệnh đề đúng? A S = a2 B S = a2 C S = a2 D S = 8a2 Hướng dẫn giải Chọn C Hình bát diện hình có tám mặt mặt tam giác Gọi S0 diện tích tam giỏc u cnh a ắắ đ S0 = a2 a2 Vậy diện tích S cần tính S = 8.S0 = = a2 Bài tập 6: Cho hình 20 mặt có cạnh Gọi S tổng diện tích tất mặt hình đa diện Mệnh đề đúng? A S = 10 B S = 20 C S = 20 D S = 10 Hướng dẫn giải Chọn B Hình 20 hình có 20 mặt mặt tam giác 22 Gọi S0 diện tích tam giác cạnh ¾¾ ® S0 = = Vậy diện tích S cần tính S = 20.S0 = 20 Trang 598 Trang 599