7 1 điểm đặc biệt bài tập

CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ DẠNG 1: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu 1: Câu 2: 3x  x  có đồ thị  C  Có đường thẳng cắt  C  hai điểm phân biệt Cho hàm số có tọa độ nguyên? A 30 B 12 C 15 D 24 y C C Cho hàm số y x  3x  có đồ thị   Ba điểm phân biệt M, N, P thuộc   có hồnh độ  sin 30 A Câu 3: Câu 4: 0; cos 11 p  Biết ba điểm M, N, P thẳng hàng Gía trị p bằng: B 2sin  15 31 C 100 D sin 3 x2  x  có đồ thị  C  Có đường thẳng cắt  C  hai điểm phân biệt Cho hàm số có tọa độ nguyên A 30 B 12 C 15 D 24 y Gọi C đồ thị hàm số y x x  , A ; B điểm thuộc  C  có hồnh độ , M điểm thay đổi  C  cho  x M  Giá trị lớn diện tích tam giác ABM A Câu 5: B C D C Cho hàm số y x  24 x  12 có đồ thị   Có điểm M có tọa độ nguyên thuộc C C N M , P M  mà tiếp tuyến M cắt   hai điểm phân biệt N , P  A B C D Câu 6: Câu 7: C C Cho hàm số y x  25x  12 có đồ thị   Bốn điểm phân biệt M , N , P , Q thuôc   có hồnh độ , n, p , q Biết bốn điểm M , N , P , Q thẳng hàng Có giá trị nguyên tham số n ? A 11 B C D C C Cho hàm số y x  3x  x  có đồ thị   Ba điểm M , N , P thuộc   có hồnh độ 0; n; p Biết ba điểm M , N , P thẳng hàng Có giá trị nguyên n    10;10  A 19 Câu 8: C ? C 18 B 17 y D 16 x x  Các điểm M , N , P thuộc  C  có hoành độ 0; n; với Gọi đồ thị hàm số  n  Tam giác MNP có diện tích lớn bằng? Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ A Câu 9: B C D y  x4  x2 có đồ thị  C  Có điểm A thuộc  C  cho tiếp tuyến Cho hàm số C C M  x1 ; y1  , N  x2 ; y   M , N  A  A cắt   hai điểm phân biệt thỏa mãn y1  y 4  x1  x2  ? B A C D C Câu 10: Cho hàm số y x  x có đồ thị   Có đường thẳng d có ba điểm chung với đồ thị A C 3 điểm chung có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  x2  x3  ? B C D Câu 11: Có đường thẳng cắt đồ thị hàm số tung độ số nguyên? A B   f  x     Câu 12: Cho hàm số y 3x  x  hai điểm phân biệt có hoành độ C 12 D x  x x  T x có đồ thị   Xét điểm A di động đường thẳng T Hai đường thẳng d d ' qua A tương ứng song song Ox , Oy cắt   B , C Tam giác ABC có diện tích nhỏ  : y x A 16 B C 18 D C : y x C C Câu 13: Cho đường cong   Hai điểm phân biệt A , B thuộc   cho tiếp tuyến   A , B cắt trục tung M N tứ giác AMBN hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật A B C D Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ C C Câu 14: Cho hàm số y x  3x  có đồ thị   Xét điểm A , B phân biệt thuộc   cho C tiếp tuyến   A B song song với Gọi E, F giao điểm tiếp tuyến A B với trục tung Có điểm A có hồnh độ số ngun dương cho EF  2020 ? A 10 B 11 C D m Câu 15: Tìm tất giá trị thực tham số để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm  y x   m  1 x  2m  3m  x  m  m số có hệ số góc  A m   B m 4 C m   0; 3 D m    1; 4 x2  x  x  Điểm đồ thị mà khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đến Câu 16: Cho hàm số tiếp tuyến lớn có hồnh độ y A  B  C  D  C : y x  mx  m  C Câu 17: Cho họ đồ thị  m  Tọa độ điểm mà đồ thị họ  m  qua với giá tri thực m 2;1 , 0;1 1; , 0;1  2;1 ,   2;   1;  ,  1;  A     B     C  D  Câu 18: Biết đồ thị (Cm ) hàm số y  x  mx  m  2018 luôn qua hai điểm M N cố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN I  0;2018  I  0; 2019  I  1; 2018  I  0;1 A B C D Câu 19: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x  3x  m có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ A m  B m  C m 0 D  m  Câu 20: Có đường thẳng cắt đồ thị (C ) hàm số giao điểm có hồnh độ tung độ số nguyên? A B C 15 Câu 21: Có số thực m để đường y thẳng 3x  x  hai điểm phân biệt mà hai D y  x  m cắt đồ thị hàm số y  x    m  x   2m   x  m A 0; m  B , C ba điểm phân biệt  , cho đường thẳng  OA phân giác góc BOC A B C D C d : y  m  x  1 Câu 22: Cho hàm số y x  3x  có đồ thị   , đường thẳng với m tham số, đường thẳng  : y 2 x  Tìm tổng tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị C ba điểm phân biệt A   1;  , B , C cho d  B;    d  C ;   6 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ B  A 16 Câu 23: Các A   1;  điểm C B   2;  C   3;15  , , y ax  bx  cx  d  a 0  D 11 thuộc đồ thị C hàm số C đường thẳng AB , BC , CA cắt   điểm thứ hai M , N , P có tổng hồnh độ 27 Tìm tọa độ giao điểm Q  C  trục tung  6 Q  0;   7 A  B Q  0; 26  C Q  0;    6 Q  0;   11  D  x 1 x  có đồ thị  C  Giả sử A , B hai điểm thuộc  C  đối xứng với Câu 24: Cho hàm số qua giao điểm hai đường tiệm cận Dựng hình vng AEBF Diện tích nhỏ hình vng AEBF là: y y A E I F x B A B C D 16 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.B 7.B 8.D 9.D 10.B 11.A 12.B 13.B 14.D 15.C 16.B 17D 18 B 19.B 20.A 21.C 22.B 23.D 24.C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn C C Tìm số điểm có tọa độ ngun thuộc   : x   x  1  4 y  3  x x x Ta có: x    1; 2; 4  Do x , y   nên x  phải ước có tất điểm có tọa độ nguyên thuộc  C  Mà đường thẳng cần tìm đường thẳng qua điểm đó, có tất C6 15 đường thẳng thỏa mãn Câu 2: Chọn C Để đơn giản ta đặt điểm M, N n 2 cos 11 ta có M  0;  , N n; n  3n  đường thẳng quua hai     n  n2   yN  yM y k MN  x      x  0    x     n  3n x  xN  xM n  Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng MN     x  3x   n3  3n x   x  3x  n3  3n x 0    x 0 2  x  x  n  x  nx  n  0   x n   x  n   n  Do với p      Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” C  CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ p   n   n2  cos Câu 3:    cos 11  11  11 11    cos  cos  12 sin  5   5  2 11 11  11    61  sin 2 sin    2 sin  5 6   30     2 sin     30  Chọn D Trước tiên ta tìm điểm có tọa độ ngun thc qua hai só điểm có tọa độ nguyên   C  , đường thẳng cần tìm đường thẳng  x2   x2  y  x   x x x x    1; 2 ; 4 Do x; y   nên x  phải ước Do C Suy có tất điểm có tọa độ nguyên thuộc   khơng có điểm thẳng hàng Đường thẳng cần tìm đường thẳng qua hai điểm cho Vậy có tất có: C6 15 đường thẳng Câu 4: Chọn A Ta có A  ;   , B  3;  1 Vì điểm  m  M m ;  m 1  nên  với  m  M C   8m  AM  m ;  AB  3;  m 1   Ta có ;  Đường thẳng AB có phương trình x  y  0 AB 3 Khoảng cách từ M đến đường thẳng AB là: 2m  d  M , AB   m 7 m 1  2m2  6m m 1  m  6m ( m  1)   m  6m ( m  1) 2    m  1   m  1           m  1    m 1  m  1  5 5    = 1 SABC  AB.d  M , AB   5.2 3 2 Do m 1  Dấu “bằng” xảy  m 1  m 1   m   L  Vậy diện tích tam giác ABM lớn Câu 5: Chọn A Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ   M   C   M m; m  24m  12 Theo đề m     y  m3  48 m  x  m   m4  24m2  12 M C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị   tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến đồ thị C   x  24 x  12  m  48 m  x  m   m  24m  12   x  m x   2mx  3m  24   x  m 0  2  g  x  x  mx  3m  24 0 (1) Yêu cầu tốn tương đương với   có hai nghiệm phân biệt khác m  m  3m  24  m  12    m   3; \ 2 2 m   g  m   m  2m  3m  24 0 m    3;  1; ;1; 3 Do Có tất điểm thỏa mãn  Câu 6:    Chọn B Ta có:  M  0;12  ; N n; n4  25n2  12  Phương trình đường thẳng qua hai điểm M ; N có hệ số góc   n4  26n2  12  12 yN  yM k  n3  25n xN  xM n M ;12  Phương trình đường thẳng MN qua điểm  có hệ góc k n  25n   y  n3  25n x  12 Phương trình hồnh độ giao điểm     x  25 x  12  n3  25n x  12  x  25x  n3  25n x 0  x 0    x n 2 2   x  x  n  x  nx  n  25 0  *   g  x  x  nx  n  25 0   Yêu cầu toán tương đương với  * có bốn nghiệm phân biệt  10 10 n   n 0  n 0    n n  25 0  n 0  g   0      n    4, ,4 \ 0  3n2  25 0 g n  n          n2  n2  25      n   n Có tất giá trị nguyên  Câu 7:  Chọn B Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Ta có:  M  0;  1 , N n; n3  3n2  9n     MN : y  n2  3n  x  Suy phương trình đường thẳng Phương trình hồnh độ giao điểm:  x 0    x n  x  n  x  3x  x   n2  3n  x      3  n  n 0  m  0;  3;   m    9; .9 \  3,0 2  Để điểm phân biệt Có 17 số nguyên thỏa mãn Câu 8: Chọn D  n  M  0;   ; N  n;  ; P  3;  1  n 1  với  n  Ta có:  Ta có: Suy SMNP Câu 9:   n  MP  3;  ; MN  n; 7  n 1     3n  n  n  3n  n 3    n 3 g  n    Max g  n   g  1 3  0;3 n 1 n 1  n 1  Chọn D 14 y  x  x  y  x  x 3 Ta có   A  a ; a4  a2    C  C  Xét điểm  Khi phương trình tiếp tuyến   điểm A là: 2 14  t A : y  a  a   x  a   a4  a2  3 C Phương trình hồnh độ giao điểm   t A là:  14  x  x  a  a   x  a   a4  a2 3  3   x  a x  x a  ax  3a  14 0   2  x  ax  3a  14 0 Tiếp tuyến  C  1 C M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2   M , N  A  A cắt   hai điểm phân biệt phương trình   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác a a  3a  14     a2   *  2 a  2a  3a  14 0   Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ       a  tm  *   y1  y2 14  k MN  4  y  a    a  a 4   a  tm  *  x1  x2 3   a 3 ktm  *   Ta có Vậy có hai điểm A  Câu 10: Chọn B Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y kx  m C Phương trình hoành độ giao điểm d   là: x  x kx  m  x  2x  kx  m 0 C Theo giả thiết d   có ba điểm chung có hồnh độ x1 , x2 , x3 nên phương trình phải có nghiệm kép, giả sử nghiệm kép x1 Khi ta có: x  x  kx  m  x  x1  Do d x x x x  C phải tiếp tuyến   điểm có hồnh độ x   d : y  x13  x2  x  x1   x14  x12 Suy Phương trình hồnh độ giao điểm lúc là:   x  x  x13  x2  x  x1   x14  x12   x  x1  x   x1x  3x12  0  x x1  2  x  x1x  3x1  0  1 Yêu cầu toán tương đương với   1 3 có nghiệm phân biệt x2 , x3  x1 x1  x2  x3    x12  3x12      x12  x12  3x12  0   3  x1   x2  x3   3x2 x3  x2  x3     x  1    11  106  x1   x1  22   x  x  x 3x   1 1    Vậy có đường thẳng d Câu 11: Chọn A y 3x  3  x 1 x 1 Ta có x , y    x    1; 5  x    ;  2; 0; 4 Vì 3x  x  có tọa độ nguyên Do đường Như có tất bốn điểm thuộc đồ thị hàm số thẳng cần tìm đường thẳng qua hai bốn điểm Vậy số đường thẳng cần tìm y C 42 6 đường thẳng Câu 12: Chọn B Gọi điểm A  a; a    : y x với a  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ  2 B  b;   b Ta có:   8 C  c;    b   giao điểm đường thẳng d đồ thị  T  ;  c   c   T giao điểm đường thẳng d ' đồ thị    a     8 b  B  ,a  C  a;   a c A a; a a Dựa vào hình vẽ ta có:  Suy   ,  a         AB    a;  AC  0;   a  a  a    Ta có: Diện tích tam giác ABC là: SABC 1 2  8   AB AC    a    a    a  a 2 a a a  a  2   a  a   a 2  8  a2 8  a  SABC    a    a     2  9 a a 2 a  a      Vì Do Suy SABC 9 Vậy tam giác ABC có diện tích nhỏ Câu 13: Chọn B Gọi  A a; a Suy  , B  b; b  k AM kBN Khi  A a; a với a b Do AMBN hình chữ nhật nên AM //BN  y a   y b   3a 3b  a  b  , B   a;  a  t : y 3a  x  a   a tiếp tuyến A , B a ,  M 0;  2a    N 0; a3 suy    MA.MB 0  0; 3a  a; a 0 Vì AMBN hình chữ nhật nên AM  BM tb : y 3a  x  a   a    a  3a 0  a2    Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ 6 SAMBN  MA.MB  a  9a a  a  Vì    9   3      3  3 Câu 14: Chọn D Gọi  A a; a  a   , B  b; b   3b  với a b y a  y b   3a  3b  Ta có tiếp tuyến A , B song song với    a b  a  b Khi A  B  b  a 0     t A : y  3a   x  a   a3  3a    t : y  3a   x  a   a  3a  Khi  b Gọi điểm Ta có  E 0;1  a3    F 0;1  2a giao điểm t A Oy ; giao điểm t B Oy EF  2020  4a  2020   505  a  505   505  a  505 Theo ta có a a   1, 2, ,7 số nguyên dương nên Vậy có điểm A thỏa mãn yêu cầu Câu 15: Chọn C Điều kiện để hàm số có cực trị   b2  3ac    m  1  m2  3m    m2  3m   Khi hệ số góc đường   m  3m  2 b2  k  c   3 3a  thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số   m  3m  Theo giả thiết    m  m 0  m 0    m 3 Câu 16: Chọn B x2  x  x   x x Hàm số có hai đường tiệm cận đứng xiên có phương trình y x 2 y x   Tọa độ giao điểm hai tiệm cân la điểm I  2;   a2  a   M  a;  d a   Gọi tiếp điểm đồ thị hàm số tiếp tuyến    d Tiếp tuyến  tại: y  y a   x  a   a2  a  a   a  4a x   a   y  3a  4a  0    d  A;    a a   4a   a    a 2  a  a      a   Đặt a  t Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ d  A;     Để d  A;   f  t   tt   tt   t     max f  t   2tt5  16  tt    16  2tt4   16  t2 tt4   16 t max tt   16  t 0 0    t  CĐ Bảng biến thiên Suy f  t  max 4 t   a    a 2  Câu 17: Chọn D Ta có:  y x  mx  m  x   m x  Điểm mà đồ thị họ C  m  qua điểm có tọa độ khơng phụ thuộc tham số m nên  x 1 x  0    x  Vậy có hai điểm thỏa mãn tốn là: có hồnh độ thỏa mãn:  1;  ;   1;  Câu 18: Chọn B M  x0 ; y0  C  Giả sử điểm cố định họ m Khi y0 x04  mx02  m  2018, m  x02  0     x02  1 m  x04  y0  2018 0, m  x0  y0  2018 0   x0 1    x0 1  y0 2019     M  1; 2019    x0   x       y0 2019  N   1; 2019   x0  y0  2018 0 I  0; 2019  Suy tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN có tọa độ Câu 19: Chọn B Tập xác định: D R Gọi tọa độ hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ Vì hai điểm thuộc đồ thị nên ta có: A  x; y  , B   x;  y  Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ  y x  3x  m  m 3 x   1  y  x  3x  m Với m   1 vơ nghiệm, khơng thỏa mãn 0;  Với m 0   có nghiệm  , không thỏa mãn  m m m  m m m ; ;      27   27  1     m  Với có nghiệm thỏa mãn Câu 20: Chọn A 3x  y 3  x 1  x  Suy điểm có hồnh độ tung độ số nguyên Ta có thuộc đồ thị hàm số (0;  2) ; (  2; 8) ; (4; 2) ; (  6; 4) Ta nhận thấy điểm ba điểm thẳng hàng y Vây số đường thẳng cắt đồ thị (C ) hàm số y 3x  x  hai điểm phân biệt mà hai giao điểm có hồnh độ tung độ số nguyên C 6 Câu 21: Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm  x 0 x    m  x   2m   x  m  x  m    x    m  x  6m  0 (*)  Để đường thẳng cắt đồ thị ba giao điểm phải có ba nghiệm phân biệt khác  44  m  12 m  0   m  m           6 m   m     Hay: Gọi tọa độ hai giao điểm lại là: x1  x2 3  m   ; x1 x2 3  6m    j 0;1 OA Oy Lại có có VTCP   (1) B  x1 ;  x1  m  , C  x2 ;  x2  m   Vậy để đường thẳng OA phân giác góc BOC thì:      m  x1 m  x2 cos j ; OB  cos j ; OC   2 x12   m  x1  x22   m  x2       mx1 mx2 2  x22  m  x1  x12  m  x2     m  x1  x2  2 x1x2  m 0  m 0      3m  m   6  m    m 7  33 Đối chiếu điều kiện A O ta nhận m 7  33 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” Theo vi-et ta có CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Câu 22: Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm  x    x  x  m  0  1 x  3x  mx  m   x  1 x  x  m  0   Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt phương trình  1 có nghiệm phân  m     m 9  m 0 x1 , x2   biệt khác  x 2  m    x2 2  m m   x  2 Khi   A  1;  , B  x ; mx Giả sử  Theo giả thiết  m 5   m 3   m  , C  x2 ; mx2  m  d  B;    d  C ;   6  m m  3m  m   m m  3m  m  6 5 Câu 23: Chọn D P y ax  bx  c A  1;  , B   2;  , C   3;15  Gọi   qua điểm  a   1  b   1  c 3  a  b  c 3 a 1     a     b     c 8  4 a  2b  c 8  b   9 a  3b  c 15 c 0   a     b     c 15 Có hệ  P y x  x Nên   qua điểm A , B, C C : y a  x  1  x    x    x  x Khi đồ thị hàm số   y ax   6a  1 x   11a   x  6a Hay C Xét phương trình hồnh độ giao điểm   đường thẳng AB, BC , CA ax   a  1 x   11a   x  6a mx  n  ax   6a  1 x   11a   m  x  6a  n 0  6a   x A  xB  xM  a  6a    xB  xC  xN  a  6a    xC  x A  xP  a Viet ta có  Cộng vế ta Theo    x A  xB  xC   xM  xN  xp    a  1 1 6a         27   a a 11 a Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ C giao với Oy ta có x 0 nên y 6  6 1 6 Q  0;   11 11 Vậy tọa độ giao điểm  11  Câu 24: Chọn C Cách 1: Dễ thấy tâm đối xứng Do A  C I  1;1  a 1 A a;  , a 1 a    nên tọa độ A có dạng:  a 3 B  a ;  a 1 Do I trung điểm AB nên tọa độ B có dạng   a 1 a   AB    a      a a 1  Khi 2 2  a  1   a  1 2  a  1  a  1 4 SABEF  AB2 8 Do AEBF hình vng nên Cách 2: Ngồi cách làm phía trên, ta giải sau:  f  x   1 Hoành độ điểm A , B nghiệm phương trình   x 1    A  ;1  B    x  1 2  x 1  Vậy , SABEF  AB2 8  AB 4 nên    Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” ;1     x  1 1