Bài tập Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số – Toán 12

Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng.. 2..[r]

(1)

CHỦ ĐỀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong

Xét họ đường cong (Cm) có phương trình yf x m( , ), f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc của m không Hãy tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi?

Phương pháp giải:

o Bước 1: Đưa phương trình yf x m( , ) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:

0

Am B  Am2Bm C 0

o Bước 2: Cho hệ số 0, ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình:

0 A B

  





0 0 A B C

  

 

 

 .

o Bước 3: Kết luận

Nếu hệ vơ nghiệm họ đường cong (Cm) khơng có điểm cố định

Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định

của (Cm)

II Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun:

Cho đường cong ( )C có phương trình yf x( ) (hàm phân thức). Hãy tìm điểm có tọa độ ngun đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho cả hoành độ tung độ điểm số nguyên.

o Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

o Bước 2: Lí luận để giải tốn

III.Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong ( )C có phương trìnhyf x( ) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho đồ thị  C :y Ax 3Bx2Cx D trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng qua điểmI x y( , )I I .

(2)

Gọi    

3

; , ;

M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D

hai điểm

 C đối xứng qua điểm I .

Ta có    

3 2

2

( ) 2

I

I a b x

A a b B a b C a b D y

  

 

      





Giải hệ phương trình tìm a b, từ tìm toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị  C :y Ax 3Bx2Cx D Trên đồ thị  C tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ.

Gọi    

3

, , ,

M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D

hai điểm

 C đối xứng qua gốc tọa độ.

Ta có    

3 2

0

( )

a b

A a b B a b C a b D

  

 

      





Giải hệ phương trình tìm đượca b, từ tìm toạ độ ,

M N

Bài toán 3: Cho đồ thị  C :y Ax 3Bx2Cx D trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d y: A x B1  1.

Gọi    

3

; , ;

M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D

hai điểm

 C đối xứng qua đường thẳng d.

Ta có:

(1) d (2)

I d MN u

   

 

                            

(với I trung điểm MN ud



vectơ phương đường thẳng d).

Giải hệ phương trình tìm M, N

IV Bài tốn tìm điểm đặc biệt khác: 1 Lí thuyết:

Loại 1. Cho hai điểm

 1; 1;  2; 2  12  12

P x y Q x y  PQ x  x  y  y

Cho điểm M x y 0; 0 đường thẳng d Ax By C:   0,

khoảng cách từ M đến d  

0

2

; Ax By C h M d

A B

 



(3)

Loại 2. Khoảng cách từ M x y 0; 0 đến tiệm cận đứng x a

là hx0 a

Loại 3. Khoảng cách từ M x y 0; 0đến tiệm cận ngang

y b hy0 b

Chú ý: Những điểm cần tìm thường hai điểm cực đại, cực tiểu giao đường thẳng với đường cong

( )C Vì trước áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tìm tọa độ chúng

2 Các toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số  0, 0

ax b

c ad bc

cx y

d 

  

 

có đồ thị

 C Hãy tìm ( )C hai điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn nhất.

 C có tiệm cận đứng

d x

c 

tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía tiệm cận đứng Nên gọi hai số  , hai số dương

Nếu A thuộc nhánh trái A A

d d d

x x

c c  c

       ; ( )

A A

y f x .

Nếu B thuộc nhánh phải B B

d d d

x x

c c  c

       ; ( )

B B

y f x .

Sau tính

 2  2      2

2

B A B A B A

AB  x  x  y  y  a  a   y  y

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi (Cauchy), ta tìm kết

quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số  C có phương trình yf x( ).

Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )C để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

(4)

Gọi M x y ; và tổng khoảng cách từ Mđến hai trục tọa độ

là d d x  y .

Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M

nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hồnh, trục tung

Sau xét tổng quát, điểm M có hồnh độ,

tung độ lớn hồnh độ tung độ M nằm hai trục loại khơng xét đến

Những điểm cịn lại ta đưa tìm giá trị nhỏ

đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d.

Bài toán 3: Cho đồ thị ( )C có phương trìnhyf x( ) Tìm điểm

M trên ( )C cho khoảng cách từ Mđến Ox klần khoảng cách từ Mđến trụcOy.

Theo đầu ta có

   

f x kx y kx

y k x

y kx f x kx

 

    

 

  .

Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số ( )C có phương trình

 

( ) ax b 0,

y f x c ad bc

cx d 

    

 Tìm tọa độ điểm M ( )C sao cho độ dài MIngắn (với I giao điểm hai tiệm cận).

Tiệm cận đứng

d x

c  

; tiệm cận ngang a y

c 

Ta tìm tọa độ giao điểm

; d a I

c c



 

 

 của hai tiệm cận. Gọi M x M;yM điểm cần tìm Khi đó:

 

2

M M M

d a

IM x y g x

c c

   

      

   

Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g

để thu kết

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số ( )C có phương trình yf x( )

và đường thẳng d Ax By C:   0 Tìm điểm I ( )C cho khoảng cách từ I đến d ngắn nhất.

Phương pháp giải

(5)

Khoảng cách từ I đến d

  0

0 2 2

( ) ; Ax By C g x h I d

A B

 

 



Khảo sát hàm số yg x( ) để tìm điểm I thỏa mãn yêu

cầu

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Đồ thị hàm số y(m1)x 3 m (m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ

A. M(0;3) B. M(1; 2) C. M( 1; 2)  . D. M(0;1).

Câu 2. Đồ thị hàm số y x 22mx m 1 (m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ là

A M0;1 B

1 ; 2

 

 

 

M

C

1 ;

 

 

 

M

D M( 1;0) . Câu 3. Đồ thị hàm số y x 3 3x2mx m (m tham số) qua

điểm M cố định có tọa độ là

A M1; 2 B M1; 4  C M1; 2  D M1; 4  Câu 4. Biết đồ thị Cm hàm số y x 4 2mx23 qua điểm M cố

định m thay đổi, tọa độ điểm M là

A M1;1 B M1;4 C M0; 2  D M0;3 Câu 5. Biết đồ thị Cm hàm số  

( 1)

0

m x m

y m

x m

 

 

 qua điểm M cố định m thay đổi Tọa độ điểm M là

A

1 1;

2

 

 

 

 

M

B M0;1 C M1;1 D M0; 1  Câu 6. Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm) hàm số y x 3 3mx2 x3m qua

bao nhiêu điểm cố định ?

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Câu 7. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C hàm số

2 1

x y

x  

 cho khoảng

cách từ điểm M đến tiệm cận đứng là A M0;1 , M2;3 B M2;1 C

3 1;

2

M 

  D

5 3;

2

M   

Câu 8. Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm) hàm số y (1 )m x43mx2 m1

qua điểm cố định ?

(6)

Câu 9. Tọa độ điểm thuộc đồ thị  C hàm số

2 1

x y

x  

 mà có tổng

khoảng cách đến hai đường tiệm cận  C

A. 4;3 , 2;1 B 2;5 , 0; 1    C 2;5 , 0; , 4;3 , 2;1        D 2;5 , 4;3  

Câu 10. Biết đồ thị (Cm) hàm số

2

2 (1 )

( 2)

x m x m

y m

x m

   

 

  luôn qua điểm M x M;yM cố định m thay đổi, xM yM

A. 1 B. 3 C.1 D. 2

Câu 11. Cho hàm số yx3mx2 x 4m có đồ thị (Cm) A điểm cố định

có hồnh độ âm (Cm) Giá trị m để tiếp tuyến A (Cm)

vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ

A m3. B m6. C m2. D

7

m Câu 12. Trên đồ thị ( )C hàm số

2

  y

x có điểm có tọa độ

nguyên ?

A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 13. Trên đồ thị  C hàm số y x 3 5x26x3 có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ ?

A. B. C. D.

Câu 14. Trên đồ thị ( )C hàm số

3

  y

x có điểm có tọa độ là

các số nguyên dương ?

A 4. B 3. C 1. D 2.

4

  y

nguyên ?

A 6. B 2. C 3. D 4.

Câu 16. Gọi x x1, hoành độ điểm uốn đồ thị hàm số

2 1

4 x

y  x  , x x1 có giá trị

A

2

3 . B 0. C

2

3 . D

2

 Câu 17. Trên đồ thị ( )C hàm số

6

  y

(7)

A 4. B 8. C 3. D 2. Câu 18. Trên đồ thị ( )C hàm số

10

 

 x y

nguyên ?

2

 

 x y

nguyên ?

5

 

 x y

nguyên ?

A 4. B 2. C 1. D 6.

8 11

 

 x y

nguyên ?

A 6. B 2. C 1. D 0.

Câu 22. Tọa độ điểm M có hồnh độ dương thuộc đồ thị hàm số

2 x y

x

 



sao cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đồ thị hàm số đạt

giá trị nhỏ

A M(4;3). B M(3;5). C M(1; 3) . D M(0; 1) .

Câu 23. Số cặp điểm thuộc đồ thị  C hàm số y x 33x2 đối xứng với qua điểm I2;18

A B C D

Câu 24. Trong tất điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị ( )C hàm số

3

 

 x y

x , số điểm có hồnh độ lớn tung độ là

A 2. B 8. C 6. D 4. Câu 25. Cho hàm số

2

x y

x  

 có đồ thị  C Gọi I giao điểm hai đường

tiệm cận  C Biết tọa độ điểm M x M;yM có hồnh độ dương thuộc

đồ thị  C cho MI ngắn Khi giá trị xM  yM

A.0. B. 3.

C.2. D 2

(8)

A (1; 2) (3;34) B (3; 2) (1;34) C (0; 2) (4;74). D (1;2) ( 1; 6)  .

Câu 27. Cặp điểm thuộc đồ thị ( )C hàm số y x 3 4x29x4 đối xứng qua gốc tọa độ O

A (3; 22) ( 3; 22)  . B (2;14) ( 2; 14)  . C (1;10) ( 1; 10)  . D (0; 4) (4;40).

Câu 28. Cặp điểm thuộc đồ thị ( )C hàm số y x 3x đối xứng qua đường thẳng

1 :

2



d y x

là

A 1;2 2; 10  B 2; 1  2;1 C 1; 2  1; 2 D 1; 2 1; 2  Câu 29. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C hàm số

1

x y

x  

 mà có khoảng

cách đến tiệm cận ngang  C

A M3; 2 B M5;2 C M5;2 , M1;0 D

5

4; , 0;

2

M  M  

   .

Câu 30. Các giá trị thực tham số m để đồ thị (Cm) hàm số

3 3

  

y x x m có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ là A  1 m0. B m0. C m 3. D m0.

Câu 31. Cho hàm số

3

x y

x  

 có đồ thị  C Gọi d khoảng cách từ một

điểm M  C đến giao điểm hai tiệm cận Giá trị nhỏ có

của d

A 2. B 2 3. C 3 2. D 2 2. Câu 32. Cho hàm số

1

x y

x  

 có đồ thị  C I giao điểm hai đường

tiệm cận  C Tiếp tuyến điểm Mbất kỳ  C cắt hai

tiệm cận  C A B Diện tích tam giác ABI bằng

(9)

Câu 33. Cho điểm M thuộc đồ thị  C hàm số

7

x y

x  

 , biết M có

hồng độ a khoảng cách từ M đến trục Ox ba lần khoảng

cách từ M đến trục Oy Giá trị có a là A a1

7

a

B a1

7

x C a1

7

a

D a1

7

a Câu 34. Cho hàm số

2

x y

x  

 có đồ thị  C Gọi M điểm thuộc đồ thị

 C

d tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận  C Giá trị nhỏ

nhất d đạt

A 6 B 10 C 2 D 5

Câu 35. Cặp điểm thuộc đồ thị ( )C hàm số

3

1 11

3

   

y x x x

mà chúng đối xứng qua trục tung

A

16 3;

3

 



 

  và

16 3;

3

 

 

 

 . B

16 3;

3

 

 

  và

16 3;

3

 



 

 .

C

11 2;

3

 

 

  và

11 2;

3

 



 

 . D.

11 2;

3

 



 

  và

11 2;

3

 

 

 

 .

Câu 36. Có điểm M thuộc đồ thị  C hàm số

2 5 15

3 x x y

x

 

  cách hai trục tọa độ ?

A B Có vơ số điểm M thỏa yêu

cầu

C D Khơng có điểm M thỏa

u cầu

Câu 37. Có điểm thuộc đồ thị ( )C hàm số 2 2



  y

x x có tọa

độ nguyên ?

A 1. B 8. C 3. D 4.

Câu 38. Biết đồ thị (Cm) hàm số y x 3 3(m1)x2 3mx2 luôn qua

hai điểm cố định P x y P; P Q x y Q; Q m thay đổi, giá trị của P Q

y y bằng

(10)

Câu 39. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( )C hàm số

2 1

x y

x  

 cho

khoảng cách từ điểm I(−1;2) đến tiếp tuyến  C M lớn

nhất.là

A.M1 1 3; 2 , M2 1 3;2 3.

B M1 1 3; 2 , M2 1 3;2 3.

C M1 1 3; 2 , M2 1 3; 2 3.

D M1 1 3; 2 , M2 1 3; 2  3

Câu 40. Tập hợp tất giá trị thực m để đồ thị (Cm) hàm

số

2 4 5

2

 





x mx m y

x có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ

là

A 0;. B  

1

;0 \

2 13

 

 

 

  .

C 1; D  

1 4

;0 ; ;

2 3

   

     

   

 

 

2

x y

x  

 có đồ thị  C Biết tiếp tuyến một

điểm M  C cắt hai tiệm cận  C A B Độ

dài ngắn đoạn thẳng AB

A 4. B 2. C 2. D 2 2.

2

x y

x  

 cho M

cách hai điểm A2,0 B0, 2là

A

1 5 ,

2

   

 

  . B

1 5 ,

2

   

 

  .

C (

1−√5 ,

1−√5 ) ; (

1+√5 ,

1+√5

2 ) . D Không tồn điểm M . Câu 43. Khoảng cách ngắn từ điểm M thuộc đồ thị  C hàm số

2 2 2

1 x x y

x

 



 đến I1, 4

(11)

2 1

x y

x  

 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc  C đến hai tiệm cận  C đạt giá trị nhỏ ?

A 3. B 2. C

2

3. D 4.

Câu 45. Gọi A, B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị  C hàm số

3

x y

x  

 , độ dài ngắn đoạn thẳng AB A 4 3. B 2 3. C 4. D 2.

Câu 46. Biết đồ thị (Cm) hàm số y x mx2 m2016 luôn qua

hai điểm M và N cố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn

thẳng MN

A. I( 1;0) . B. I(1; 2016). C. I(0;1). D. I(0; 2017). Câu 47. Cho hàm số

2

x y

x  

 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc  C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ?

A 2. B

2

3. C 1. D

1 6. Câu 48. Cho hàm số

2 3 3

2 x x y

x

 



 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc  C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ?

A 1. B

1

2. C 2. D

3 2. Câu 49. Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị ( )C hàm số

4

 

 x y

x đối xứng

nhau qua đường thẳng d x:  2y 0

A 4;4 1; 1 . B 1; 5  1; 1 . C 0; 2  3;7. D 1; 5  5;3.

Câu 50. Cho hàm số y x 4mx2 m1 có đồ thị Cm Tọa độ điểm cố

định Cm là

A 1;0 , 1;0   B 1;0 , 0;1   C 2;1 , 2;3   D 2;1 , 0;1   Câu 51. Cho hàm số

2 5 2

2

 

 

x x y

x có đồ thị ( )C Hỏi ( )C có bao nhiêu

điểm có hồnh độ tung độ số tự nhiên

(12)

Câu 52. Cho hàm số y x42mx2 2m1 có đồ thị (Cm) Gọi A điểm cố

định có hồnh độ dương (Cm) Khi tiếp tuyến A (Cm) song

song với đường thẳng d y: 16x giá trị m

A m5. B m4. C m1. D

63 64

 m

.

Câu 53. Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc đồ thị  C hàm số

2 4 5

2 x x y

x

 



 đến đường thẳng d y: 3x 6 0 bằng

A 2. B 4. C 10. D

4 10. Câu 54. Cho hàm số

1

x y

x  

 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc  C đến hai tiệm cận  C đạt giá trị nhỏ

A 3 B. 4. C 2 2. D 2.

2

x y

x  

 cách hai

đường tiệm cận  C

A M2;1. B M0; ,  M4;3. C

7

5; , 3;

3

M  M 

   . D M2; 2. Câu 56. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C hàm số

3

x y

x  

 cách hai

trục tọa độ

A M1; ,  M3;3. B M1;3. C M1; 1 . D M3;3.

Câu 57. Tọa độ điểm M có hồnh độ nguyên thuộc đồ thị  C hàm số

2

x y

x  

 có khoảng cách đến đường thẳng :x y  1 0

2 là A M2;0. B M2;4.

C M2;4 ; M2;0. D M2; 2 . Câu 58. Cho hàm số ym2x3 3m 2x m 7 có đồ thị Cm Khẳng định

nào sau khẳng định đúng?

(13)

B Cm có hai điểm cố định

C Cm có ba điểm cố định

D Cm có điểm cố định

Câu 59. Điều kiện tham số m để đồ thị Cm hàm số

 

3 3 1 2 1

y x  m x  mx m  có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục Oy

A m0. B m0. C m2. D m2

Câu 60. Đồ thị hàm số y2x3mx212x13 có hai điểm cực trị cách trục tung khi:

A m1. B m0. C m1;m2 D m2.

Câu 61. Hỏi đồ thị  C hàm số

1

x y

x  

 có điểm cách đều

hai trục tọa độ?

A 3 B 2 C 4 D 0

Câu 62. Tọa độ điểm thuộc đồ thị  C hàm số

3

x y

x  

 cách đều

hai tiệm cận  C

A M1;1 ; N4; 6  B M1;1 ; N3;4 C M1;3 ; N3;3 D M1;3 ; N3;3

Câu 63. Tọa độ hai điểm đồ thị  C hàm số y x33x2 cho hai điểm đối xứng qua điểm M–1; 3là

A 1;0 ; 1;6  . B.1;0 ; 1;6  . C 0; 2; 2; 4 D. 1;0 ; 1;6  .

Câu 64. Trên đồ thị  C hàm số

1

x y

x  

 có điểm có tọa độ

nguyên ?

A 2 B 1 C 3 D 4

Câu 65. Tọa độ tất điểm thuộc đồ thị  C hàm số

1

x y

x  

 sao

cho tổng khoảng cách từ điểm đến tiệm cận nhỏ

A

1;1 . B 1 3;1 3

(14)

Câu 66. Đồ thị hàm số

3 1

x y

x   

 nhận điểm điểm sau

làm tâm đối xứng ?

A. K1; 3 . B N3; 1 . C M1; 3. D I3; 1 . Câu 67. Tọa độ điểm thuộc đồ thị  C hàm số

2 1

x y

x  

 cách đều

tiệm cận đứng trục hoành

A M2;1 , M4;3 . B M0; ,  M4;3. C M0; ,  M3;2. D M2;1 , M3;2 Câu 68. Có điểm M thuộc đồ thị  C hàm số

2

x y

x  

 cho

khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang lần khoảng cách

từ M đến tiệm cận đứng?

A 2 B 1 C 3 D 4

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C B D B C A B C C A A A D C D D D A B

2

3

(15)

4

1 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D C C B A D B D B A B A D C B A C C B B

6

1 62 63 64 65 66 67 68 C B C D D D B A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Chọn B

Gọi M x y( ; )0 điểm cố định cần tìm

Ta có y0 (m1)x0 3 m m,

0 0

( 1) 0,

 x  m x  y   m

0

0 0

1

(1;2)

3

x x

M

x y y

  

 

    

    

  .

Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định

Câu 2. Chọn C

Ta có y0 x022mx0 m1

 

0 0

2 1 0,

 x  m x   y  m

0

2

0

1

2 2 1 5

;

5

1

4 x x

M

x y y

  

 



   

      

    



  



 .

Câu 3. Chọn B

Ta có y0 x03 3x02mx0m m,

0

3

0 0

0

0 0

1

( 1) 0, ( 1; 4)

4

3

x x

x m x x y m M

y

x x y

  

 



             



  

 

 Phương pháp trắc nghiệm

(16)

Ta có

2

0

4 2

0 0 0 4

0

2 0

2 3, 0, (0;3)

3

x x

y x mx m x m y x m M

y

y x

   



              

   

 

 Phương pháp trắc nghiệm

Ta có

0

0 0 0

0

( 1)

, ,

 

         



m x m

y m x y my mx x m m

x m

0 0 0

( 1) 0,

 m y  x  x y  x  m 

0

0 0

1 0

  

 

 



y x x y x

0

   

 

x

y  M(0;1).

Ta có: y0 x03 3mx02 x03 ,m m

2

0

2

0 0 3

0

0 0

1

3(1 ) 0,

0

x x

x m x x y m

y

x x y

    



          



  

 



0

1 x y

  



 .

Vậy đồ thị hàm số cho qua hai điểm cố định Câu 7. Chọn A

Gọi  

2 ;

1

a

M a C

a 

 



 



  với a1.

Tiệm cận đứng  C x1. Ta có

0 1

2 a a

a

 

   



 Vậy M0;1 , M2;3

Ta có y0  (1 )m x043mx02 m1,m

4

0

4

0 0 4

0

2

(2 1) 0,

1

   



         

   



x x

x x m y x m

(17)

 0 x y    



0 x y    



0 x y        



0 x y         

Vậy đồ thị hàm số cho qua bốn điểm cố định Câu 9. Chọn C

Gọi  

2 ;

1

a

M a C

a       

  với a1

Tiệm cận đừng tiệm cận ngang  C có phương trình x1, y2.

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng h1 a

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

2

2 1 a h a a      

Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nên ta có:

2

1

4

1

3

4 4

2

1 1

0 a

a a

h h a a a

a a a a                                

Vậy điểm cần tìm là: 2;5 , 0; , 4;3 ,      2;1 Câu 10. Chọn C

Gọi M x M;yM điểm cố định cần tìm Ta có

2

2 (1 )

,          M M M M

x m x m

y m

x m

2

2 ,

  x yM M myM  xM xM  mxM  m m

2

( 1) 0,

 xM yM  m x y M M  xM  xM   m

2

1

2 (1 )

M M M M

M M M M M M M M

x y y x

x y x x x x x x

                       

( 1; 2) M M x M y        

Vậy xM yM 1.

Câu 11. Chọn A

Gọi A x y( ; )0 , x0 0 điểm cố định cần tìm

Ta có y0 x03mx02 x0 ,m m

0

2

0 0 3

0

0 0

4

( 4) 0, ( 2;10)

10                            x x

x m x x y m A

y

(18)

Lại có y3x22mx 1 y( 2) 4m13

Phương trình tiếp tuyến (Cm) A( 2;10) có dạng

( 13)( 2) 10

    

y m x hay y ( 4m13)x 8m16 ( ) .

Đường phân giác góc phần tư thứ có phương trình

:  d y x.

Vì  vng góc với d nên ta có 4m13 1 m3.

Gọi M x y( ; )0 với x0\ ,  y0

 

   

0

\

2 2; 1;1; 4; 3; 1;0

2

 

 

           



 

 



x

x x

x

Vậy đồ thị ( )C có bốn điểm có tọa độ nguyên Câu 13. Chọn A

Gọi A a a ; 3 5a26a3 , B b b; 3 5b26b3 hai điểm  C đối xứng qua gốc tọa độ, ta có

   

2

3 2

0 3

10

5 6

a b

a a

a b a b a b

  



     



      



 .

Câu 14. Chọn D

Gọi M x y( ; )0 với

* *

0 ,

x  y 

   

0

*

2 1;3 1;

* x

x x

x

  

      



 

 



1( 1; 1), 2(0; 3), 3(1;3)

 M   M  M M4(2;1)

Vậy đồ thị ( )C có hai điểm có tọa độ số nguyên dương

Gọi M x y( ; )0 với x0,y0

 

0

2 4; 2; 1;1; 2; ;0; ;1; ;

3 3

x

x x

x

 

  

           

  

 

 



Do x0  M1(0; 2), M2(1; 4) M3(2;1)

Vậy đồ thị ( )C có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 16. Chọn D

Ta có

3

1

2 ,

3

yx  x y x   x x 

Vậy

2

3

x x  Câu 17. Chọn D

(19)

 

0

5 1 6; 3; 2; 1;1; 2;3;6 ; ; ;0; ; ;1;

4 4 4

 

  

              

  

 

 



x

x x

x .

Do x0  M1(0; 6) M2(1; 2)

Vậy đồ thị ( )C có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 18. Chọn D

Gọi M x y( ; )0 với x0,y0

   

0

1 9; 3; 1;1;3;9 10; 4; 2;0; 2;8

1

1 x

x x

y

x

  

            

  

 

 



1( 10;0), 2( 4; 2), 3( 2; 8), 4(0;10), 5(2; 4)

 M  M   M   M M M6(8; 2)

Vậy đồ thị ( )C có sáu điểm có tọa độ số nguyên Câu 19. Chọn A

Gọi M x y( ; )0 với x0,y0

   

0

2 5; 1;1;5 2;0;1;3

1

2

  

           

   

 

 

 

 x

x x

y

x

 x0  2 y0  0 M( 2;0)  x0  1 y0  3 M(1;3)

 x0  0 y0  2 M(0; 2)  x0  3 y0  1 M(3;1)

Vậy đồ thị ( )C có bốn điểm có tọa độ số nguyên Câu 20. Chọn B

Gọi M x y( ; )0 với x0,y0

 

0

2 10 11; 1;1;11 4; ;0; 11

5 3

3

x

x x

y

x 



  

             

     

 

 

 



 x0  4 y0  2 M( 4; 2)

 x0  0 y0  2 M(0; 2)

Vậy đồ thị ( )C có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 21. Chọn D

Gọi M x y( ; )0 với x0,y0

 

0

9

4 7; 1;1;7 ; ; ;

7

2 4 4

4 x

x x

y

x

 

  

            

    

 

 



Do x0  nên đồ thị ( )C khơng có điểm có tọa độ

(20)

Gọi  

2

; ;

2

a

M a C a

a 

 

 

 



  và a2, ta có

2

a

d a a

a a



       

 

Dấu " " xảy

2

2 2

4 a

a a

a

 

      



 .

Kết luận M(4;3) Câu 23. Chọn B

Gọi M x y ;  điểm đồ thị  C , gọi N điểm đối xứng với M qua I, ta có N4 x;36 y Vì N thuộc  C , ta có

   

3

36 4

3 4 38

3

y x x

x x x x x

y x x

      



         



  

 

Vậy có tất cặp điểm thuộc đồ thị  C thỏa mãn yêu cầu đề

Gọi M x y( ; )0 với x0,y0

   

0

1 8; 4; 2; 1;1; 2;4;8 7; 3; 1;0; 2;3;5;9

3

1

  

             

  

 

 



x

x x

y

x

1( 7; 2), 2( 3;1), 3( 1; 1),

M M M

     M4(0; 5), M5(2;11),M6(3;7),M7(5;5) và

8(9; 4)

M Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 25. Chọn A

Gọi  

2 ;

1

a

M a C

a 

 



 



  với a0, a1; tọa độ giao điểm tiệm cận I1;1, ta có

   

 

2

1 1

1

a

MI a a

a a



 

        



   .

Dấu " " xảy

 14

3 a

a

  

   

 

 Vì M có hồnh độ dương nên chọn a 1 , suy M 1; 1   nên

0

M M

x  y 

(21)

Ta có: 3

4 (1)

2

2 3 36 (2)

 

  





 

       

 

A B

A B I

A B I A A B B

x x

x x x

y y y x x x x

Thay (1) vào (2) ta

3 3 2 (4 )3 3(4 ) 36

3

  



         

  



A B

A A A A

A B

x x

x x x x

x x .

Vậy cặp điểm cần tìm A(1; 2), B(3;34) Câu 27. Chọn C

Gọi A x x( ;A 3A 4x2A9xA4), ( ;B x xB B3  4xB2 9xB4) hai điểm ( )C đối xứng qua gốc tọa độ

Ta có 3

0 (1)

2

2 4 (2)

A B

A B O

A B O A A A B B B

x x

x x x

y y y x x x x x x

 

  





 

         

 

3 4 9 4 ( )3 4( )2 9( ) 0 1

1

  



            

  



A B

A A A A A A

A A

x x

x x x x x x

x x .

Vậy cặp điểm cần tìm A(1;10), B( 1; 10)  . Câu 28. Chọn D

Gọi A a a ; 3a B b b,  ; 3b hai điểm ( )C đối xứng qua đường thẳng

1 :

2



d y x

hay d x: 2y0 Ta có:

(1) (2)

   

 

                            

d I d

AB u (với I trung điểm AB ud(2; 1) vecto phương d)

Từ (1) ta có

3 1

2 2

   



a a b b a b

 (a b )(2a2 2ab2b23) 0  ab (3)

(vì

2

2 2 3

2 2 2 0, ,

2 2

   

               

   

a ab b a ab b a b b a b

) Với   ;(  )( 2  22)



AB b a b a a ab b , từ (2) ta có

2

2(b a ) ( b a a )( ab b 1) 0

 (b a a )( 2ab b 1) 0

 a2ab b 21 (4) (Vì a b )

2 2 1 0 1

1

  



     

  



a b

a a a

a b .

(22)

Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang y1

Gọi  

1

; ,

2

a

M a C a

a 

 

 

 



  Ta có

5

1

1 1

1

2

a a

a

a a

  

     



  

Vậy M5;2 , M1;0 Câu 30. Chọn D

Đồ thị hàm số (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 0 cho y x( )0  y x( 0) 

tồn x0 0 cho

3

0    ( 0)  3( 0)  

x x m x x m  tồn tại

0 0

x cho

3x m  m0. Câu 31. Chọn D

Giao điểm hai tiệm cận I1;1, gọi  

3 ;

1

a

M a C

a 

 



 



  với

1

a ta có

   

 

2

3 16

1 1 2

1

a

MI a a MI

a a



 

          



   .

Phương pháp tự luận

Tiệm cận x1, y 1 I1,1 Gọi

1

, ( )

1

m

M m C

m 

 



 



  , ta tìm tọa

độ

3 1,

1

m A

m 

 

 



 , B m2 1,1. Diện tích

1

2

m

S IA IB m

m 

     

 .

Cho đồ thị hàm số ( ) :

 

 ax b C y

cx d Gọi M điểm tùy ý thuộc  C Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B, Gọi I giao điểm hai tiệm cận Khi diện tích tam giác ABI ln số. Cách tính nhanh:

1.Chọn M2,3 thuộc  C Viết phương trình tiếp tuyến M d y: =- 2x+7 Khi A1,5 , B3,1 IA=4,IB=2

2.Tam giác ABI tam giác vuông I Diện tích

1

.IB

ABI

S = IA =

(23)

0

2

7

3 ô n

3 1

3 7

3 3

3

x

x v

y x x x x

y x

y x x x x x x x

x                                       .

Nhắc lại: Điểm M( ) :C yf x  cho khoảng cách từ M tới Ox k lần khoảng cách từ M tới Oy có hồnh độ là

nghiệm phương trình

   

 

f x kx f x kx

f x kx

       . Cách khác: Gọi ; a M a a      

  với a1 Theo đề ta có:

1 7 a a a a a           .

Gọi  

2 ;

2

a

M a C

a       

  với a2, ta có

2

2 2

2

a

d a a

a a



       

  .

Vậy giá trị nhỏ d 2. Câu 35. Chọn B

Gọi

3

1 11 11

; , ;

3 3

   

       

   

 A A A A   B B B B 

A x x x x B x x x x

hai điểm

( )C đối xứng qua trục tung.

Ta có

3

(1)

1 11 11

3 (2)

3 3

                    B A A B

A B A A A B B B

x x

y y x x x x x x

Thay (1) vào (2) ta được:

3 3

1 11 11

3 ( ) ( ) 3( )

3

3 3

                     A B

A A A A A A

A A

x x

x x x x x x

x x

Vậy có hai cặp điểm cần tìm

16 3;       A , 16 3;        B Phương pháp trắc nghiệm

Kiểm tra điều kiện đối xứng qua trục tung

0       A B A B x x

y y kiểm

tra điểm có thuộc đồ thị không Câu 36. Chọn C

(24)

15

2 2

3

15 M

M M

M

M M

x y x

x

y

y x



     

 

 

 

   

 

Câu 37. Chọn C.

Gọi M x y( ; )0 với x0,y0

 

0

2

0

2

0

2 2; 1;1; 2

2 x

x x x x

  

       



  

 



 x022x0 2 (vô nghiệm)

0 2 0  2  1  2 ( 1; 2)

x x x y M

 x022x0 2 (vô nghiệm)

0

2

0

0 (0;1)

2 2

2 ( 2;1)

   



    

    



x y M

x x

x y M

Vậy có đồ thị ( )C có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 38. Chọn B

Gọi ( ; )x y0 điểm cố định cần tìm

Ta có y0 x03 3(m1)x02 3mx02,m

2

0 0 0

3( ) 0,

 x x m y  x  x   m

2

0

3

0 0

0

3

x x

y x x

  

  

   

 

0

1 x y

   





0

  

 

x

y .

Suy P1;4 , (0;2) Q P0;2 , ( 1;4) Q  nên yPyQ 6 Câu 39. Chọn C

Gọi

0

2

; ( )

1

x

M x C

x

  



 



  với x0 1 Tiếp tuyến M có phương

trình

0

2

( )

1 ( 1)

x

y x x

x x



  

 

hay 3x (x0 1)2y2x02 2x0 0

Khoảng cách từ I(−1;2) tới tiếp tuyến

 

2

0 0

4

2

0

3 2( 1) 2 6

9 ( 1)

( 1)

x x x x

d

x

x x

x

      

  

 

   



(25)

Theo bất đẳng thức Côsi:

9

(x0+1)2+(x0+1)

2≥2 √9=6

, d≤√6

Khoảng cách d lớn là √6 khi

9

(x0+1)2=(x0+1)

2⇔

(x0+1)2=3⇔x0=−1±√3 Vậy : M 1 3; 2 3, M 1 3; 2 3 Câu 40. Chọn D

Đồ thị hàm số (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 2 x0 0 cho

0

( ) ( ) y x y x

 tồn tại x0 2 x0 0 cho

2

0 0

0

4 ( ) ( )

2 ( )

     



  

x mx m x m x m

x x

 tồn x0 2 x0 0 cho

2

(1 ) m x 5m0



0

5 (1 ) 1

(1 ).4 2 (1 ).0

3

  

 





 

   

 

    

  



m

m m

m

m m

m Câu 41. Chọn D

Lấy điểm

1 ;

2

M m m

 



 



  C với m2 Ta có

 

 2

1 '

2

y m

m 



Tiếp tuyến M có phương trình  

 

2

1

:

2

d y x m

m m

   



 .

Giao điểm d với tiệm cận đứng

2 2;2

2

A

m

 



 



 .

Giao điểm d với tiệm cận ngang B m2  2; 2

Ta có    

2

1

4

2

AB m

m

 

     



 

  , suy AB2 Dấu “=” xảy

ra m 22 1, nghĩa m3 m1

Phương trình đường trung trực đoạn AB y = x

(26)

2

1

2 1 0

2 1 5

2

x x

x x x

x

 

  



     

  

 

 .

Hai điểm đồ thị thỏa yêu cầu toán

(1−√5 ,

1−√5 ) ;(

1+√5 ,

1+√5 ) .

Gọi M x; y  thuộc  C , ta có

     

2

( )

1

1; 4 1

1

g x

IM x y IM x x x x

x x

   

                

 

   



         

Mà

   

     

2 2

2

1

( ) 1 2 2 2

1

g x x x x

x x

           

  .

minIM 2

   . Đạt được khi

 

   

4

2

4

1

2 1

1

1 1

2

    

     

 

   

x

x x

Gọi

1 ,

1 M

M M x

x

 



 



 thuộc (C) Và MH, MK khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tiệm cận ngang Khi MH xM 1

1 M MK

x



 Do đó

 

1

1 M

M

MH MK x Cauchy

x

    



Suy MH MK bé

 12

0

M M

M

M M

x y

x

x y

  



   

  



Cho đồ thị hàm số  :

 

 ax b

C y

cx d Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số, tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận có độ

dài nhỏ 2 ad - bc 2

(27)

Gọi A điểm thuộc thuộc nhánh trái đồ thị hàm số, nghĩa xA  3 với số  0, đặt xA  3 , suy

 

6 6

1 1

3 3

A

A y

x  

     

   .

Tương tự gọi B điểm thuộc nhánh phải, nghĩa xB  3 với số  0, đặt xB  3  , suy

 

6 6

1 1

3 3

B

B y

x  

     

   .

Vậy        

2

2 3 3 1 1

B A B A

AB x x y y  

 

   

              

 

 

       

 

2

2 2

2

6

( ; )

36

g        

  

 

   

          

   

 

     

 

Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có

  2

36 144

( ; ) 2 4.144 48

g     

  

 

       

  .

Vậy AB 48 3 Dấu đẳng thức xảy vả khi

 2

1

4

144

36

   

 

 

 

  

 

   

 

 

 



Vậy độ dài AB ngắn 3 Câu 46. Chọn D

Gọi ( ; )x y0 điểm cố định cần tìm

Ta có y0 x04mx02 m2016,m (x021)m x 04 y02016 0, m

0

4

0

1

2017 2016

    



   



  

 



x x

y

x y

0

1 2017

  

 

x y

(1; 2017) ( 1; 2017)

  

 

M

N

( 1; 2017) (1; 2017) M

N

  

 .

Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN I(0; 2017). Câu 47. Chọn B

Điểm M nằm trục Ox : M( 2;0)  dM  2 2  Điểm M nằm trục tung :

2

0

3

M

d     

Xét điểm M có hồnh độ

2

3 M

(28)

Xét điểm M có hồnh độ thỏa mãn

2 2

; (*)

3 3

x  y   y 

 Trường hợp :

2

3

x  

Do (*) :

2

M

d x  y 

 Trường hợp :

 2

2 5

0; ; '

3 x y dM x x d M x

           

 

3 '

3 M

x d

x

     

 

 Khi lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số

nghịch biến với

2 ;0

x  

  Vậy

2 (0)

3

M M

d d 

Điểm

3 0,

2

M 

  nằm trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục

3

d =

Xét điểm M có hoành độ lớn

3

d x y

   

Xét điểm M có hồnh độ nhỏ

3 2:  Với

3 3

0

2 2

x y d x y

       

 Với  

2

3 1

0; 1 ; '

2 x y d x x x x d x 2

            

   .

Chứng tỏ hàm số nghịch biến Suy  

3

2

d y  Câu 49. Chọn B

Gọi đường thẳng  vng góc với đường thẳng

1

:

2

 

d y x

suy :y2x m .

Giả sử  cắt ( )C hai điểm phân biệt A B, Khi hồnh độ A B, nghiệm phương trình

2

( )

4

2 2 ( 3) 2

2

4

h x x

x

x m x m x m

x



 

      



 

 

         .

(29)

Để  cắt ( )C hai điểm phân biệt phương trình h x( ) 0 có

hai nghiệm phân biệt khác 2, tức là

2

0 10 23

(2)



       



  

 

    

  

m

m m

h m

(*)

Điều kiện đủ:

Gọi I trung điểm AB, ta có:

3 3

4 ;

2

3

2

 

 

 

  

   

 

   

  

     

 



A B I

I

I I I

m

x x x

x m m

I m

y x m y m

Để hai điểm A B, đối xứng qua d x:  2y 0 I d

3 3

2

4

 

 m  m    m

(thỏa điều kiện (*))

Với m3 phương trình

2 1

( ) 2

1

  



     

  



x y

h x x

x y

Vậy tọa hai điểm cần tìm 1; 5  1; 1  Câu 50. Chọn A

Gọi x y,  điểm cố định họ đồ thịCm:y x 4mx2 m1, ta có

 

4

2

1,

1 0,

1 1

;

0

1

y x mx m m

x m x y m

x x x

y y

x y

    

      

      



    

 

  

  



Vậy họ đồ thị có hai điểm cố định 1;0 , 1;0   Câu 51. Chọn B

Gọi M x y( ; )0 với x0,y0

   

0

1 8; 4; 2; 1;1;2; 4;8 9; 5; 3; 2;0;1;3;7

1

6

2

x

x x

y x

x 

 

                

    

 

 

 

 Do x0 nên

 x0  0 y0  1 M(0;1)  0

1

2

x   y 

(loại)

 0

1

2

x   y 

(loại)  x0  7 y0  1 M(7;1)

Gọi A x y( ; )0 , x0 0 điểm cố định cần tìm

(30)

2

0 0

2 ( 1) 0,

 m x    x  y  m

2

0 0

4

0

1 ( 0)

(1;0)

1

x x x

A y

x y

     



    



  

 

 Lại có y4x34mx y(1) 4 m 4.

Phương trình tiếp tuyến (Cm) điểm A(1;0) có dạng

(4 4)( 1)

  

y m x hay y(4m 4)x 4 4m ( ) . Vì  song song với d nên

4 16

5

4

m m

m

m m

  

 

  

 

  

 

Gọi

1 ,

2 ( )

x C

M x

x

 

 

 



  .

Khoảng cách từ M đến d h M;d  cho bởi

 

3 1 1

( ; )

2

10 10 10

x y

h M d x x x

x x

 

        

  .

 Khi x 2 0:

Ta có

1

4( 2)

2

x

  

 dấu xảy

 2

1

4( 2)

2

x x x

x

      



Vậy h M;d  đạt giá trị nhỏ 10.

 Khi x 2

Ta có    

1

4

2 x

x

   



Dấu xảy    

2

1

4 2

2

x x x

x

        



Vậy h M;d  đạt giá trị nhỏ 10. Câu 54. Chọn C

Gọi  

1 ;

1

a

M a C

a 

 



 



  với a1 ta có

1

1 1 2

1

a

d a a

a a



       

  .

Gọi  

2 ;

2

a

M a C

a 

 



 



0

2

4

2

a a

a

a a

  

       



   Vậy M0; ,  M4;3.

(31)

Gọi  

3 ;

1

a

M a C

a 

 



 



2

3

1

a a a

a a

a

a a

     



    



     .

Vậy M1; ,  M3;3 Câu 57. Chọn C

Gọi  

2 ;

1

a

M a C

a 

 



 



2

1

1 3

2

1 1

1

2

2 a a

a a a

a a

a a a

a

   



   

   

   

     



    

  

 .

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu M2; ; M2;0. Câu 58. Chọn C

Gọi M x y 0; 0 điểm cố định họ đồ thị Cm, ta có

   

 

3

0 0

3

0 0 0

3

0

3

0 0

2 7,

3 0,

3

2

y m x m x m m

x x m x x y m

x x

x x y

      

        

   

  

   

 

Vì hệ có nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có điểm cố định Câu 59. Chọn B

Gọi M x y N , , x y,  hai điểm thuộc đồ thị Cmđối xứng qua trục tung Ta có

   

3

2

3

0

2

x m x mx m x m x mx m

x x mx

x m

          

 

    

 

Vậy m0. Câu 60. Chọn B

Ta có y' 6 x22mx12 Điều kiện

2

' 72

0

m

S m

    



  

 

 

  Vậy

0 m .

Gọi  

1 ,

2

a

M a C

a 

 



 



  với a2, ta có

2

1

2

a a

a a a

    

  

    

Phương trình có nghiệm nên đồ thị có điểm cách hai trục tọa độ

(32)

Gọi  

3 ,

2

a

M a C

a 

 



 



 2

3

2

3

a a

  

       



  VậyM1;1 ; N3;4.

Gọi A a a , 33a2 , B b b, 33b2 hai điểm  C đối xứng qua M–1; 3 , ta có: 3

2

3

a b

a a b b

  



      



 3    

2 2 0 2

0

3

a b a b a a

ab b b

a b ab a b a b

 

       



       

  

         

 

Ta có

1

3 2

1

1 1

1

x x

x x y

x x

x x x

x x

  

 

 

  

     

     

    

  

 

  

 

Vậy có điểm thỏa yêu cầu toán Câu 65. Chọn D

Gọi  

1 ;

2

a

M a C

a 

 



 



  với a2. Ta có

1

2 2

2

a

d a a

a a



       

  .

Dấu " " xảy

 22 3

2 a

a

  

   

 

 Vậy hai

điểm 2 3;1 3và 2 3;1 3 Câu 66. Chọn D

Tâm đối xứng đồ thị giao điểm hai đường tiệm cận Vậy điểm cần tìm M1; 3

Gọi  

2 ;

1

a

M a C

a 

 



 



  với a1

Ta có

2

1

4

1 2

a a a a

a

a a a

a

a a a a

      



        



      

Vậy điểm cần tìm là: M0; ,  M4;3 Câu 68. Chọn A

Gọi  

2 ;

2

a

M a C

a 

 



 

(33)

Ta có  

2

5 5 4

2

a

a a a a

a a



         

  .

2 10

5 20 16

5

a a a 

     

Bài tập Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số – Toán 12

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan