CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 2: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ LÍ THUYẾT Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong (C ) Xét họ đường cong m có phương trình y f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m không Tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi? Phương pháp giải: Bước 1: Đưa phương trình y f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am B 0 Am Bm C 0 A 0 B 0 Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình: A 0 B 0 C 0 Bước 3: Kết luận: (Cm ) khơng có điểm cố định (C ) Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định m Nếu hệ vơ nghiệm họ đường cong Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun Cho đường cong (C ) có phương trình y f ( x ) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hồnh độ tung độ điểm số nguyên Phương pháp giải: Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số Bước 2: Lập luận để giải toán Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng C : y Ax3 Bx Cx D đồ thị C tìm cặp điểm đối Bài tốn 1: Cho đồ thị xứng qua điểm Phương pháp giải: I ( xI , y I ) M a; Aa Ba Ca D , N b; Ab3 Bb Cb D Gọi qua điểm I a b 2 xI 3 2 A(a b ) B a b C a b D 2 y I Ta có hai điểm C đối xứng Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N Cơng thức giải nhanh cho dạng tốn tính đối xứng qua giao điểm tiệm cận đồ thị hàm số có dạng y ax b cx d , có tâm đối xứng I Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 3 VÍ DỤ 1: Gọi m số thực âm để đồ thị hàm số y x 6mx 32m có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường phân giác góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy Chọn khẳng định khẳng định sau m ; 1 A 1 m 1; 2 B 3 m 2; 2 C m ;0 D Lời giải Chọn D x 0 y ' 0 x 4m Ta có y 3 x 12mx ; A 0;32m3 ; B 4m ; Hàm số có hai cực trị m 0 Khi đó, gọi tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số Hai điểm đối xứng với qua đường thẳng : y x khi: d A ; d B ; 32m 4m m 2 AB 4m 32m 0 (vì m 0 ) m Vì m nên ta chọn Cách Chú ý: Hai điểm 1 2 A x; y , B x '; y ' đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ x ' y y ' x A 0;32m3 ; B 4m ; VÍ DỤ 2: Cho hàm số điểm H 8; y đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ x2 x có đồ thị C Hai điểm A , B C cho tam giác OAB nhận làm trực tâm Tính độ dài đoạn thẳng AB B A 2 C D 32m 4m (với m ) m 2 Đối chiếu phương án, ta chọn phương án D Lời giải Chọn B Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ 2 2 A a;1 B b;1 a, b ab 0, a b hai điểm phân biệt thuộc C Gọi uuu r r r uuu uur uuu 2 HA a 8;5 HB b 8;5 OA a;1 OB b;1 a, b, a, b Khi đó, Điểm H trực tâm tam giác OAB uuu r uuu r HA OB r uur uuu HB OA Lấy 1 trừ 2 2 a b a b 0 2 b a 0 b a vế theo vế ta Thay ab vào 1 8 a b 10 ab 8b 0 1 b a ab ab 8a 10 0 a b ab a b 8 a b 0 a b ab 1 0 ab ab ta có 10 10a 0 10a 0 10 a 0 a a a VÍ DỤ 3: Gọi H đồ thị hàm số y a 1 b a b 1 2x x Điểm M x0 ; y0 thuộc H có tổng khoảng cách x0 x0 y0 B C đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất, với A Do đó, A 1;3 B 1; 1 A 1; 1 D B 1;3 Vậy AB 2 Lời giải Chọn A Tập xác định: D \ 1 Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d1 : x tiệm cận ngang d : y 2 2x M H M x0 ; x0 Do d M , d1 d M , d x0 Xét x0 x0 2 x0 x0 x0 Đẳng thức xảy x 0 x0 x0 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ x2 x y C Biết C có hai điểm A, B đối xứng x VÍ DỤ 4: Cho hàm số có đồ thị 5 I 0; qua điểm Tính độ dài AB B 13 A 10 Theo đề bài, ta có C D 61 x0 nên nhận x0 y0 1 Vậy x0 y0 Lời giải Chọn B xB a a2 a A a; C a2 a a y B a Gọi Mặt khác B C yB VÍ DỤ 4: Cho hàm số xB2 xB a2 a a2 a 5 a 3 xB a a m 2m C x m , có đồ thị m Tập hợp điểm mặt m 2 x y C phẳng tọa độ Oxy mà khơng có đường cong m qua miền giới hạn hai đường thẳng song song Tính khoảng cách hai đường thẳng A 2 C B D a2 a 2 3 13 AB 4a a Do đó, Lời giải Chọn C Ta cần tìm điểm x; y Cm , m m x m 2m y , m x m y x m m x m 2m m x y m xy x 0 m x y xy x x y x Vậy tập hợp điểm nằm hai đường thẳng song song y x 6; y x Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ 6 Khoảng cách hai đường thẳng song song 1 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 4