7 điểm đặc biệt lý thuyết

CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 2: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ LÍ THUYẾT  Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong (C )  Xét họ đường cong m có phương trình y  f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m không Tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi?  Phương pháp giải:  Bước 1: Đưa phương trình y  f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am  B 0 Am  Bm  C 0   A 0  B 0 Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình:   A 0   B 0 C 0   Bước 3: Kết luận: (Cm ) khơng có điểm cố định (C ) Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định m Nếu hệ vơ nghiệm họ đường cong  Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun  Cho đường cong (C ) có phương trình y  f ( x ) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong?  Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hồnh độ tung độ điểm số nguyên  Phương pháp giải:  Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số  Bước 2: Lập luận để giải toán  Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng  C  : y  Ax3  Bx  Cx  D đồ thị  C  tìm cặp điểm đối  Bài tốn 1: Cho đồ thị  xứng qua điểm Phương pháp giải: I ( xI , y I ) M  a; Aa  Ba  Ca  D  , N  b; Ab3  Bb  Cb  D   Gọi  qua điểm I a  b 2 xI  3 2  A(a  b )  B a  b  C  a  b   D 2 y I Ta có   hai điểm  C đối xứng   Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N  Cơng thức giải nhanh cho dạng tốn tính đối xứng qua giao điểm tiệm cận đồ thị hàm số có dạng y ax  b cx  d , có tâm đối xứng I Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 3 VÍ DỤ 1: Gọi m số thực âm để đồ thị hàm số y  x  6mx  32m có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường phân giác góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy Chọn khẳng định khẳng định sau   m    ;  1   A 1  m    1;   2  B 3  m    2;   2  C   m    ;0    D Lời giải Chọn D  x 0 y ' 0    x 4m Ta có y 3 x  12mx ; A  0;32m3  ; B  4m ;  Hàm số có hai cực trị m 0 Khi đó, gọi tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số Hai điểm đối xứng với qua đường thẳng  : y  x khi:    d  A ;   d  B ;    32m  4m   m   2   AB    4m  32m 0  (vì m 0 ) m Vì m  nên ta chọn Cách Chú ý: Hai điểm 1 2 A  x; y  , B  x '; y '  đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ x ' y   y '  x A  0;32m3  ; B  4m ;  VÍ DỤ 2: Cho hàm số điểm H  8;   y đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ x2 x có đồ thị  C  Hai điểm A , B  C  cho tam giác OAB nhận làm trực tâm Tính độ dài đoạn thẳng AB B A 2 C D 32m 4m (với m  )  m  2 Đối chiếu phương án, ta chọn phương án D Lời giải Chọn B Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ 2 2   A  a;1   B  b;1   a,  b   ab 0, a b  hai điểm phân biệt thuộc  C  Gọi  uuu r  r  r   uuu  uur   uuu 2 HA  a  8;5   HB  b  8;5   OA  a;1   OB  b;1   a, b, a, b     Khi đó, Điểm H trực tâm tam giác OAB uuu r uuu r  HA  OB r uur   uuu  HB  OA Lấy  1 trừ  2   2   a   b    a    b  0       2      b   a        0  b  a   vế theo vế ta Thay ab  vào  1 8 a  b  10  ab  8b     0  1   b a ab   ab  8a   10   0   a b ab  a b 8 a  b 0   a  b   ab  1 0  ab  ab ta có 10     10a   0   10a 0  10   a  0  a a a VÍ DỤ 3: Gọi H đồ thị hàm số y  a 1  b   a   b 1  2x  x  Điểm M  x0 ; y0  thuộc  H  có tổng khoảng cách x0  x0  y0 B  C đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất, với A  Do đó, A  1;3 B   1;  1 A   1;  1 D B  1;3 Vậy AB 2 Lời giải Chọn A Tập xác định: D  \   1 Dễ thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng d1 : x  tiệm cận ngang d : y 2  2x   M   H   M  x0 ;  x0    Do d  M , d1   d  M , d   x0   Xét x0    x0   2 x0  x0  x0   Đẳng thức xảy  x 0  x0   x0  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ x2  x  y  C  Biết  C  có hai điểm A, B đối xứng x VÍ DỤ 4: Cho hàm số có đồ thị  5 I  0;  qua điểm   Tính độ dài AB B 13 A 10 Theo đề bài, ta có C D 61 x0  nên nhận x0   y0 1 Vậy x0  y0  Lời giải Chọn B  xB  a  a2  a    A  a;   C   a2  a  a  y      B a  Gọi Mặt khác B   C   yB  VÍ DỤ 4: Cho hàm số xB2  xB  a2  a  a2  a   5   a 3 xB  a a m  2m  C x m , có đồ thị  m  Tập hợp điểm mặt  m  2 x  y C phẳng tọa độ Oxy mà khơng có đường cong  m  qua miền giới hạn hai đường thẳng song song Tính khoảng cách hai đường thẳng A 2 C B D   a2  a  2   3 13 AB  4a      a   Do đó, Lời giải Chọn C Ta cần tìm điểm  x; y    Cm  , m m   x  m  2m   y , m x m  y  x  m   m   x  m  2m   m   x  y   m  xy  x  0   m    x  y     xy  x     x   y  x  Vậy tập hợp điểm nằm hai đường thẳng song song y  x  6; y  x  Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ    6 Khoảng cách hai đường thẳng song song    1 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 4