01 03 03 01 gt12 ciii b3 ung dung tich phan tu luan hdg chi tiet

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN C H Ư Ơ N III BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN LÝ THUYẾT I = = =I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I  a; b  Định lý 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục, khơng âm   Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành đường thẳng x a , x b là: b S f ( x)dx a Bài toán liên quan  a;b Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) liên tục đoạn   , b trục hoành hai đường thẳng x a , x b xác định: S  f (x) dx a y y  f (x) O a c1 c2 y  f (x)   y 0 (H )   x a   x b c3 b x b S  f (x) dx a Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) , y g(x) liên tục b  a;b đoạn   hai đường thẳng x a , x b xác định: y S  f (x)  g(x) dx (C1 ) : y  f1 ( x )  (C ) : y  f2 ( x ) (H )   x a  x b  (C1 ) (C2 ) b O Chú ý: a c1 c2 b x S  f1(x)  f2(x) dx a a b - Nếu đoạn [a;b] , hàm số f (x) không đổi dấu thì: b f (x) dx  f (x)dx a a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Bài tốn 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x  g(y) , x h(y) hai đường d thẳng y c , y d xác định: S  g(y)  h(y) dy c Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C1 ) : f1 ( x) , (C ) : f ( x) là: xn S   f ( x)  g( x) dx x1 Trong đó: x1 , xn tương ứng nghiệm nhỏ phương trình f ( x) g( x) II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a x b) Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] (V ) O b x a b x V  S(x)dx a S(x) Thể tích khối trịn xoay Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f (x) , trục hoành hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: y y  f ( x) O a b (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y 0 Vx   f ( x ) dx  x  x a a  x b Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x g(y) , trục hoành hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: y d O c (C ) : x g( y)  (Oy) : x 0   y c  y d x d V y   g ( y ) dy c Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường b y  f (x) , y g(x) hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: II = = = I HỆ THỐNG BÀI T V  f 2(x)  g2(x) dx a ẬP TỰ LUẬN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng 1: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn y  f ( x), Ox, x a, x b Phương pháp Giải theo phương pháp tự luận: Sử dụng tính chất tích phân để tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối y  f  x +) Tính chất: Hàm số liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi đó, ta có b c b f  x  dx f  x  dx  f  x  dx a a c Phương pháp trắc nghiệm: - Xác định yếu tố cần thiết công thức y  f  x  , Ox, x a, x b - Sử dụng chức tính tích phân có sẵn máy tính Casio để tính Chú ý: Nếu đề chưa cho x a, x b ta cần giải phương trình hồnh độ giao điểm f  x  0 để tìm cận tích phân Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục hoành hai đường thẳng x  , x 3 Lời giải 3 x5 S  x dx  x dx  1 1 Diện tích hình phẳng cần tìm là: Giải theo phương pháp trắc nghiệm Sử dụng máy tính Casio tính tích phân S  x dx  1 244 5 35   1 244    5 1 Câu 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số diện tích 1 x  , x 2 x , trục Ox hai đường thẳng có y 1  Lời giải Diện tích hình phẳng cần tìm là: x 1 x2  x2  S 1  dx  dx   dx   dx x x x x 1 1 2 2 1 2         dx     dx  x  x  1 1 1 1    x     x   1 x x    Chọn đáp án D Giải theo phương pháp trắc nghiệm dx 1 x2 S 1  Sử dụng máy tính Casio tính tích phân Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2 x  x trục hồnh Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục hoành là:  x 0 x  x 0  x   x  0    x  Diện tích hình phẳng cần tìm là: S 2  x  x dx    x3 x5       2 x  x dx   x  x  dx   x  x  dx  2  x3 x5  16     15  0 Giải theo phương pháp trắc nghiệm +)Tìm hồnh độ giao điểm tương tự S +) Sử dụng máy tính Casio tính tích phân Câu 4: Cho hàm số  2x  x dx  y  f  x  ax  bx  cx  d ,  a, b, c  , a 0  có đồ thị  C  Biết đồ thị  C  y  f  x  tiếp xúc với đường thẳng y 4 điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số cho hình vẽ đây:  C  trục hồnh Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị Lời giải Từ đồ thị suy f  x  3x  f  x  f  x  dx  3x  3 dx x  3x  C Do C x tiếp xúc với đường thẳng y 4 điểm có hồnh độ âm nên f  x0  0  3x02  0  x0  Suy f   1 4  C 2   C  : y  x  3x   x  x  3x  0    x 1 Xét phương trình  Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 Câu 5: x  3x  dx  27 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos x , trục hoành, đường thẳng x 0 x  Lời giải Diện tích S cần tìm: Câu 6:   0 S  cos xdx   cos x  sin x   dx  x   2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x , trục hoành, đường thẳng x  x 4 Lời giải Diện tích cần tìm S  x3 - x dx -2  x 0 x  x  x  x   0    x 2 Ta có: Vậy -2 S  x  x dx   x  x dx   x  x dx  x4 x2   x4 4x2   x4 x2            44  2  0  22  Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x 1 x 2 f ( x)  x x , trục hoành, hai đường thẳng Lời giải x 0  x 1 Phương trình hồnh độ giao điểm: x 2 2 x x  1 S  dx   dx       x  ln x  1  ln x x x 1 1 Suy Câu 8: [2D3-5.7-2] Cho đồ thị hàm số y  f  x đoạn  0; 4 hình vẽ có diện tích 11 I f  x  dx S1  , S2  Tính tích phân Lời giải Dựa vào đồ thị ta có Câu 9: 11 I f  x  dx S1  S2    Cho đồ thị hàm số y  f  x đoạn   2; 2 hình vẽ bên có diện tích 22 76 I  f  x  dx S1 S2  , S3  15 15 Tính tích phân 2 Lời giải Ta có Câu 10: I f  x  dx S3  S1  S  -2 76 22 32   15 15 15 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục hoành hai đường thẳng x  1, x 3 Lời giải Ta thấy x 0 x nên diện tích S cần tìm Câu 11: 3 -1 -1 S  x dx  x dx   x dx  28 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y sin x  1, trục hoành hai đường thẳng x 0 x 7 Lời giải  7  sin x  0 x   0;   nên diện tích S cần tìm bằng:  Ta thấy 7 7 7 7  S 6 sin x  1dx 6  sin x  1dx   cos  0 Câu 13: 7  1     cos      y x.ln  x 1 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng x 0; x 1 Lời giải Giải theo phương pháp tự luận: Ta có: Diện tích hình phẳng cần tìm là: S x.ln  3x  1 dx 9x2  v du  dx u ln  x  1 x  ; chọn 18 Đặt dv  xdx suy 1 Do Câu 14: S x ln  3x  1 dx  x2  3  ln  3x 1   ln   x  x   ln  18 18  12 12 0 x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y e , trục Ox , trục Oy đường thẳng x 2 Lời giải x Ta có: e 0  x 1 Vậy Câu 15: S  e x dx  e x |02 e  Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x  trục Ox Lời giải 4 PT hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  x  trục Ox x  x  0  x 1 16 S  x  x  1 dx  15 -1 Suy diện tích hình phẳng cần tính Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x trục hoành Lời giải  x 0  x3  3x 0    x 3 Đặt (C ) : y  x  x Phương trình hồnh độ giao điểm: 3  x4  27 S  x  3x dx    x  3x dx     x3    0 0 Khi đó: 3 2 Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x  x trục hoành là: Lời giải  x 0  x  x 0    x 2 Phương trình hoành độ giao điểm: 2  x3  S  x  x dx   x  x  dx    x2    0 0 Ta có: Câu 18: 2 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y  x  0, x  y  0 Lời giải  y  x  0  x 5  y    x 3  y Hình phẳng giới hạn  x  y  0  y   y 3  y    y 2 Xét phương trình: 2  y3 y  S   y  y  dy    y  4,5   1 1 Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: Câu 19: Gọi H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  , trục tung trục hoành  d  qua điểm A  0; 4 có hệ số góc k chia thành hai phần có Xác định k để đường thẳng diện tích Lời giải y O B1 I d x Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  x  trục hoành là: x  x  0  x 2 Diện tích hình phẳng H giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  , trục tung trục hoành  x3   S x  x  dx  x  x   dx   x  x    0 0 là: 2 2 d Phương trình đường thẳng A  0;  qua điểm có hệ số góc k có dạng: y kx    B  ; 0  d  trục hồnh Khi  k  Gọi B giao điểm Đường thẳng SOAB  d chia  H thành hai phần có diện tích B  OI    2 k    k    k  1  4 k   S  OA.OB    S  OAB 2 k 3 Dạng 2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn y  f ( x), y g ( x ), x a, x b Phương pháp giải: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị:  C2  : y  g  x   C1  : y  f  x  hai đường thẳng x a, x b xác b định công thức: S  f  x   g  x  dx a Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau: * Giải phương trình: f  x  g  x  x1 Tính: tìm nghiệm x1 , x2 , , xn   a; b  x2 b x1 xn ,  x1  x2   xn  S  f  x   g  x  dx  f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx a x1    f  x   g  x   dx   a b   f  x   g  x   dx xn Ngồi cách trên, ta dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2 – x y x đường thẳng x  2, x 1 Lời giải Diện tích hình phẳng S = 2  x  x  dx  ( x  x  2)  2 2 Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x; y 2 x đường thẳng x  1, x 1 xác định công thức Lời giải  x 0 x  x3    x 1 Giải theo phương pháp tự luận: GPT hoành độ giao điểm hai đồ thị: 1 1 S  x  x dx  x  x dx  x  x dx  ( x  x )dx  ( x  x )dx  ( x  x )dx  ( x  x )dx 1 1 1 Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số thẳng x 3, x e  tính bằng: y 1 x  x +1 x  x−2 ; tiệm cận ngang hai đường Lời giải + Tiệm cận ngang y 2 + Đồ thị hàm số không cắt tiệm cận e 2  S Câu 4: e 2 x 1  dx   dx 5ln x  x x Hình phẳng  H  giới hạn đường thức sau tính diện tích hình phẳng e 2 5 y  x , y 2 x  hai đường x 0, x 2 Công H ? Lời giải Áp dụng lý thuyết: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị:  C2  : y  g  x   C1  : y  f  x  , hai đường thẳng x a, x b xác định công thức: b S  f  x   g  x  dx a Khi diện tích hình phẳng H = Câu 5: x  x  dx Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y 2  x , x 0 Lời giải 3 Ta có x 2  x  x  x  0  x 1  x x3  17  S x3  x  dx    x     12 Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị tung đường thẳng x 2 (C ) : y  Lời giải Ta có: (C ) : y  x2 x  Tiệm cận ngang  C  : y 1 x2 x  , tiệm cận ngang  C  , trục 2 x  2  S    1 dx   dx  ln( x  1) 0 x 1 x    Diện tích: Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong hai đường thẳng x 1, x 3 ln (C ) : y  x 1 , x  tiệm cận ngang (C ) Lời giải Ta có: (C ) : y  x 1 x  Tiệm cận ngang  C  : y 2  x 1 S    x   Diện tích: Câu 8: 1   dx   dx  ln( x  1) x 1  Diện tích hình phẳng giới hạn đường  P M  3;5  ln  P  : y x  x  2, trục tung, tiếp tuyến là: Lời giải Ta có y ' 2 x   y '  3 4 y  4  x  3 Phương trình tiếp tuyến M là: hay y 4 x  S    x  x     x    dx Diện tích cần tìm là: 3  x  x   dx  x  3 dx Câu 9:  x  3  3 9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol: y  x  , tiếp tuyến với đường điểm M  2;5  trục Oy Lời giải y '  f '  x  2 x  f '   4 M  2;5    P  Phương trình tiếp tuyến tiếp điểm 2 là: y  4  x    y 4x  S  x   x  3 dx  x  x   dx  x   dx 0 Đặt u  x   du dx Đổi cận x 2  u 0 ; x 0  u  u3 S  u du  2 Do đó:  2 đvdt Dạng 3: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn y  f ( x), y g (x) Phương pháp giải: Dạng: Cho hai hàm số y  f  x y g  x  liên tục đoạn  a;b Diện tích hình phẳng  giới hạn đường y  f  x y g  x  nghiệm nhỏ lớn phương trình S  f  x   g  x  dx  f  x  g  x   a    b  Cách giải: Bước 1: Giải phương trình f  x  g  x   Bước 2: Tính S  f  x   g  x  dx  Trong  ,  tìm giá trị  ,  b f  x  g  x  x   a; b Chú ý: Nếu S  f  x   g  x   dx a Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y x ; y  x  bằng? Lời giải  x  x x     x 2 Ta có 2 S  x  x  dx    x  x dx  Do đó: 1 1 Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol điểm A ( 1; 2) , B ( 4;5) ( P) : y = x - 4x + hai tiếp tuyến  P  là: Lời giải Phương trình tiếp tuyến với  P A  1;  y  x  Phương trình tiếp tuyến với  P B  4;5  y 4 x –11 Giao hai tiếp tuyến có hồnh độ x 2 Xét phương trình x  x   x   x 1 Xét phương trình x  x  4 x  11  x 4 S x  x   x  dx  x  x   x  11dx  Do đó: Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y x  3, y x  x  là: Lời giải  x 0 x   x  x   x  x 0    x 5 Ta có: 5  x3 x2  125 S x  x dx     0  Do đó: Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn y  x , y 4 x là: Lời giải Ta có: x 4 x  x  2, x 0, x 2 Suy ra: S   x  x  dx  2 Nếu đoạn   ;   x  x  dx 8 f  x  g  x  phương trình  dùng cơng thức Câu 5: khơng cịn nghiệm ta  S  f  x   g  x  dx   f  x   g  x   dx   Diện tích hình phẳng giới hạn đường y x  12 x y  x là: Lời giải  x 0 x  12 x  x   x    x 4 Ta có: Do đó: 3 3   x  12 x  x  dx  3 Câu 6: S  x  12 x  x dx  x  12 x  x dx  x  12 x  x dx  x  12 x  x  dx  937 12 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  x  1, y x  x  là: Lời giải  x 0 x  x   x  x   x  x 0   x 1   x  Ta có: Câu 7: 1  x5 x3  S  x  x dx  2 x  x  dx       15  1 Do đó: 4 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y 2 x, y 2 x  là: Lời giải  2x  2 Ta có: Câu 8:  x 2 2 x  x  x  0   x  2 2  23   xdx   x  x   dx  x  x  x  2x   3   S 2  Do đó: 2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  y  x 0 , x  y 0 là: Lời giải Biến đổi hàm số theo biến số y là: x  y  y , x  y  y 0  y  y    y  0    y 3 Ta có: Do đó: Câu 9: S  y  y dy   y  y  dy  0 Gọi S diện tích mặt phẳng giới hạn parabol y  x  x  đường thẳng y kx  với k tham số thực Tìm k để S nhỏ Lời giải Ta có x  x  kx   x   k   x  0  x1  x2 k   x x  x ,x Do ac   PT ln có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn  x2  x3 k  2 x x1  x2  S   x   k   x   dx    x  4x  2   x1 x1 Giả sử   k 2 k x2  x13   x2  x12    x2  x1    x2  x1   x12  x22  x1.x2    x1  x2     3  x2  x1  k 2  x1 x2   x2  x1   x1 x2    x1  x2     3  k  2  16  k  2  Vậy S nhỏ k 2 THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Dạng 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x a , x =b quanh trục Ox : Phương pháp giải: y y  f ( x) a O (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y 0 V   f ( x ) dx  x  x  x a a  x b b Chú ý: - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x =g ( y ) , trục hoành hai đường thẳng y =c , y =d quanh trục Oy: y d O c x (C ) : x g( y )  (Oy ) : x 0   y c  y d d V y   g( y ) dy c x Câu 1: Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y e x , x 1 , x 2 y 0 quanh trục Ox là: Lời giải V  xe x dx  ( x.e x  e x )  e  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2 x  x y 0 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Câu 2: Kí hiệu Lời giải Phương pháp: cơng thức tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x x a, x b  a  b  , trục Ox hai đường thẳng quay xung quanh trục Ox b V  f  x  dx a  x 0 2 x  x 0    V   x  x  dx  x 2 Cách giải: ta có:  x3 x  16   x  x3  x  dx    x4     15  Câu 3: Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x ln x , trục hoành đường thẳng x e quay quanh Ox Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C với trục Ox x ln x 0  x 1 u ln x dx x3  du  ; v  V  x ln xdx  x Thể tích khối trịn xoay cần tính Đặt dv  x dx 4 x ln x V  Câu 4: 4  x ln x x  x2 e e 2e  dx          1 9  Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y  x ; y 0; x 2 Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay ( H ) quanh trục Ox Lời giải 2 x5 32 V  x dx   5 Thể tích cần tính Câu 5: Cho hình phẳng  H  giới hạn đường xoay hình thành cho  H y 4  x , y 0 Tính thể tích V khối tròn quay xung quanh Ox Lời giải  x   x 0    x 2 PT hoành độ giao điểm đồ thị Suy thể tích cần tính Câu 6: V    x dx    2 512  vtt  15 Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng giới hạn đường y  , y 0, x 1, x a  a  1 x quay xung quanh trục Ox Lời giải - Phương pháp: Vật thể tròn xoay: Là vật thể tạo quay hình thang cong giới hạn đường y  f  x , x a , x b y 0 quanh trục Ox Khi thể tích vật thể trịn xoay b tính theo cơng thức: a Vx  f  x  dx a a 1 1  V   dx       x x1 a  - Cách giải: Câu 7: Cho hình phẳng  D x giới hạn đồ thị hàm số y e trục Ox hai đường thẳng x 0, x 1 Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay quay hình  D  quay quanh trục Ox Lời giải  x V   e  dx  e x dx  0 Thể tích khối trịn xoay: Câu 8: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đường y x  x, y 0, x 0 x 1 Lời giải   V   x  x dx  Câu 9: Cho hình H 8 15 giới hạn bở đồ thị  C  : y x ln x , trục hoành đường thẳng Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay H x 1 , x e quanh trục hoành Lời giải VOx   x ln x  dx  x ln xdx  u ln x   dv  x dx   Đặt  du  ln xdx   x  v  x   e 1e    e 2 e  2  3  V  x ln x  x ln xdx  e   x ln x  x dx    5e    1 31 3 3  27 Dạng Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , y g  x  , b x a, x b quay quanh trục Ox tính cơng thức: Câu 1: V   f  x   g  x  dx a Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol thẳng d : y 2 x quay xung quanh trục Ox bằng: ( P) : y  x đường Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x 2 x  x 0 x 2 Do 2x  x với x  (0;2) nên V V1  V2 V1 thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường thẳng d : y 2 x , trục Ox , đường thẳng x 2 trục Ox quay quanh trục Ox ; V2 thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol ( P) , trục Ox , đường thẳng Câu 2: x 2 trục Ox quay quanh trục Ox y  x  x Tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x quay quanh trục Ox Lời giải V1   x  x  dx  2 Xét x  x  x  x 0; x 1 8 15 8  V2    x  dx   V    15 Câu 3: Thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y 0,y x ln( x  1) x 1 xung quanh trực Ox là: Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C Ox x ln( x  1) 0  x 0 Thể tích khối trịn xoay cần tính  u ln( x  1)   dv  x dx Đặt V   x ln( x  1)dx dx  du  x   v  x  x ln( x  1) 1 x   I  x ln( x  1)dx    dx  (12 ln  5)  V  (12 ln  5) 3 x 1 18 18 Câu 4: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường quanh trục Ox bao nhiêu? y x x y quay Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C1  ,  C2   y x  x  y 0     x 1; y 1  x  y Trong đoạn x  [0;1] suy y  x ; y  x 1 VOx Thể tích khối trịn xoay cần tính Câu 5:  x5 x2  3  (x  x)dx       10  Thể tích khối trịn xoay quay quanh trục hồnh phần hình phẳng giới hạn đường y x y  x là: Lời giải Thể tích khối trịn xoay thể tích tạo hình phẳng có diện tích phần gạch chéo hình bên quay quanh trục hồnh Khi đó: V   x  x dx  3 10