02 02 02 01 b2 tich vo huong tu luan hdg chi tiet

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG C H Ư Ơ N G II BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ I LÝ THUYẾT = = = Định hai vectơ I nghĩa: Cho       a b khác vectơ Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a.b, xác định cơng thức sau:     a.b  a b cos a, b       a b a Trường hợp hai vectơ vectơ ta quy ước b 0 Chú ý        Với a b khác vectơ ta có a.b 0  a  b      Khi a b tích vơ hướng a.a kí hiệu a số gọi bình phương vơ  a hướng vectơ Ta có: 2   2 a  a a cos 00  a Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng:    a Với ba vectơ , b, c số k ta có:    a.b b.a (tính chất giao hốn);      a b  c a.b  a.c  (tính chất phân phối);      ka b k a.b a kb  ;         2 2   a 0, a 0  a 0 Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra:    a  b     a  2a.b  b ;   2   2 a  b a  2a.b  b ;      a  b   a  b  a     2 2 b Biểu thức tọa độ tích vơ hướng    O; i; j , a  a1 ; a2  , b  b1 ; b2  Trên mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ Khi tích vơ hướng  a.b là:    a.b a1b1  a2b2 Nhận xét Hai vectơ   a  a1 ; a2  , b  b1; b2   khác vectơ vuông góc với a1b1  a2b2 0 Ứng dụng a) Độ dài vectơ  a  a1 ; a2  Độ dài vectơ tính theo cơng thức:  a  a12  a22 b) Góc hai vectơ  a  a1 ; a2  Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy ta có   a.b a1b1  a2b2 cos a; b     a b a1  a22 b12  b22  b  b1 ; b2    c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A  xA ; y A  AB  B  xB ; y B   xB  tính theo cơng thức: x A    yB  y A   khác II = = =I = = = I HỆ THỐNG B ÀI TẬP DẠNG 1: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ PHƯƠNG PHÁ P     a.b  a b cos a; b    Dựa vào định nghĩa  Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai vectơ BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = Câu Cho tam giác ABC vuông A I   có AB a, BC 2a G trọng tâm  BA BC a) Tính tích vơ hướng: ; BC.CA       b) Tính giá trị biểu thức AB.BC  BC.CA  CA AB    c) Tính giá trị biểu thức GA.GB  GB.GC  GC.GA Lời giải a) * Theo định nghĩa tích vơ hướng ta có         BA.BC  BA BC cos BA, BC 2a 2cos BA, BC       a cos BA, BC cos ABC   2a Mặt khác     Nên BA.BC a       BC.CA  CB.CA  CB CA cos ACB * Ta có Theo định lý Pitago ta có CA   2a   a a   a BC.CA  a 3.2a  3a 2a Suy   b) Cách 1: Vì tam giác ABC vng A nên CA AB 0 từ câu a ta có           AB.BC  a , BC CA  3a Suy AB.BC  BC CA  CA.AB  4a     AB  BC  CA 0 đẳng thức Cách 2: Từ          AB  BC  CA  AB  BC  CA2  AB.BC  BC.CA  CA AB          AB.BC  BC.CA  CA AB   AB  BC  CA2   4a 2  Ta có     c) Tương tự cách câu b) GA  GB  GC 0 nên    GA.GB  GB.GC  GC.GA   GA2  GB  GC  Gọi M , N , P trung điểm BC , CA, AB 4a 2  GA  AM   3  Dễ thấy tam giác ABM nên Theo định lý Pitago ta có: 4 4 3a  a GB  BN   AB  AN    a   9 9  4 4 a  13a GC  CP   AC  AP    3a    9 9         4a 7a 13a  4a GA.GB  GB.GC  GC.GA       2 9  Suy Câu Cho hình vng ABCD cạnh a M trung điểm AB , G trọng tâm tam giác ADM Tính giá trị biểu thức sau:        CG CA  DM a) ( AB  AD)( BD  BC ) b)  Lời giải     AB  AD  AC a) Theo quy tắc hình bình hành ta có         ( AB  AD )( BD  BC )  AC.BD  AC.BC Do    CA.CB  CA CB cos ACB     AC BD  ( AC  BD )  Mặt khác ACB 45 theo định lý Pitago ta có : AC  a  a a     ( Suy AB  AD)( BD  BC ) a.a cos 45 a     b) Vì G trọng tâm tam giác ADM nên CG CD  CA  CM Mặt khác theo quy tắc hình bình hành hệ thức trung điểm ta có   1      1    CM  CB  CA   CB  AB  AD   AB  AD  2           1   CG  AB  AB  AD  AB  AD  Suy        CA  AB  AD    5   AB  AD  2          1  CA  DM  AB  AD  AM  AD   AB  AD  2  Ta lại có            CG CA  DM  AB  AD   AB  AD   AB  AD  21a 2   4 Nên   Câu Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c M trung điểm BC , D chân đường phân giác góc A   a) Tính AB AC , suy cos A   2 AM b) Tính AD Lời giải       2 1 AB AC   AB  AC  AB  AC    AB  AC  CB    c  b  a   2  a) Ta có   Mặt khác AB AC  AB AC cos A cb cos A   c  b2  a 2 2  c  b  a  cb cos A cos A  2bc Suy hay  1  AM  AB  AC b) * Vì M trung điểm BC nên  1   AM  AB  AC Suy     1      AB  AB AC  AC     AB AC   c  b  a  Theo câu a) ta có nên   b2  c   a 1 2 2 2 AM   c   c  b  a   b   4  BD AB c   * Theo tính chất đường phân giác DC AC b    b BD BD  DC  DC DC c Suy (*)       BD  AD  AB Mặt khác DC  AC  AD thay vào (*) ta    b    AD  AB  AC  AD   b  c  AD b AB  c AC c     2 2   b  c  AD  b AB  2bc AB AC  c AC        bc  2 b  c  a  b  c  a 2 2 2  AD     b  c  AD b c  2bc  c  b  a   c b b  c   2 Hay  4bc AD  p  p  a  b  c Nhận xét : Từ câu b) suy độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A la  bc b c p  p  a = = = Câu I BÀI TẬP TRẮC N GHIỆM    [0H2-2.1-1] Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng?         a.b  a b a b  a b A B a.b 0 C a.b  D Lời giải Chọn A     a , b     cos a , b 1 Do a b hai vectơ hướng nên    a.b  a b Vậy      [0H2-2.1-1]Cho hai vectơ a b khác Xác định góc  hai vectơ a b    a.b  a b   Câu o A  180 o B  0   o C  90 o D  45 Lời giải Chọn A     a.b  a b cos a, b Ta có      a.b  a b cos a, b     a, b 1800 Mà theo giả thiết , suy      a  3, b 2 b a a [0H2-2.1-1]Cho hai vectơ thỏa mãn b  Xác định góc    hai vectơ a b     Câu o A  30 o B  45   o C  60 o D  120 Lời giải Chọn D        a.b 3 a.b  a b cos a, b    cos a, b         a, b 1200 a b 3.2 Ta có   Câu        2   u  a  3b     a  b 1 b v a [0H2-2.1-2]Cho hai vectơ thỏa mãn hai vectơ a  b   vng góc với Xác định góc  hai vectơ a b o A  90 o B  180 o C  60 Lời giải Chọn B o D  45 2 13  2         u v   u v 0   a  3b  a  b 0  a  ab  3b 0 5 5  Ta có      a b 1    ab     a.b cos a, b        a, b 180 a b   Suy Câu     b a [0H2-2.1-2]Cho hai vectơ Đẳng thức sau sai?   2 2 2 a.b  a  b  a  b A    2  2 a.b  a  b  a  b C   2 2  2 a.b  a  b  a  b B     2  2 a.b  a  b  a  b D     Lời giải Chọn C   2 2 2   a.b  a  b  a  b nên thử Nhận thấy C D khác hệ số kiểm tra đáp án C D  2  2  2  2    2  2 a  b  a  b  a  b  a  b 4ab    a.b  a  b  a  b Ta có Chọn C  2  2          2 2  a  b  a  b  a  b a  b a.a  a.b  b.a  b.b  a  b  2a.b  A đúng,     B đúng,            2  2         2 2  a  b  a  b  a  b a  b a.a  a.b  b.a  b.b  a  b  2a.b     2 2  2   a.b  a  b  a  b       Câu [0H2-2.1-1] Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB AC   a2 AB AC  B   A AB AC 2a   a2 AB AC  C  a2 AB AC  D Lời giải Chọn D    AB, AC  góc A nên  AB, AC  60 Xác định góc   a2 AB AC  AB AC.cos AB, AC a.a.cos 60  Do  Câu    [0H2-2.1-2] Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.BC   A AB.BC a   a2 AB.BC  B   a2 AB.BC  C  a2 AB.BC  D Lời giải Chọn C    AB, BC  Xác định góc  AB, BC 1200 B góc ngồi góc nên       a2 AB.BC  AB.BC.cos AB, BC a.a.cos120  Do  Câu  [0H2-2.1-2] Gọi G trọng tâm tam giác ABC có cạnh a Mệnh đề sau sai?   AB AC  a 2 A   a2 GA.GB  C   AC.CB  a 2 B  AB AG  a 2 D Lời giải Chọn C Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:    AB, AC AB, AC 600   Xác định góc góc A nên         a2 AB AC  AB AC.cos AB, AC a.a.cos 60     Do A    AC , CB AC , CB 1200  C  Xác định góc góc ngồi góc nên           a2 AC.CB  AC.CB.cos AC , CB a.a.cos120    Do B    GA, GB GA , GB 1200  AGB  Xác định góc góc nên           a a a2 GA.GB GA.GB.cos GA, GB  cos120    3 Do C sai Chọn C     AB, AG AB, AG 300   Xác định góc góc GAB nên         a a2 AB AG  AB AG.cos AB, AG a .cos 30     Do D  Câu [0H2-2.1-2] sau sai?  Cho tam giác ABC có cạnh a chiều cao AH Mệnh đề   A AH BC 0 B    AB, HA 1500    a2 AB AC  C  a2 AC.CB  D Lời giải Chọn D   AC , CB  Xác định góc    AC , CB  120  góc ngồi góc A nên     a2 AC.CB  AC.CB.cos AC , CB a.a.cos120  Do     Câu 10 [0H2-2.1-2] Cho tam giác ABC vng cân A có AB  AC a Tính AB.BC   A AB.BC  a   a2 AB.BC  C   B AB.BC a   a2 AB.BC  D Lời giải Chọn A    AB, BC     AB, BC 1350  Xác định góc góc ngồi góc B nên     AB.BC  AB.BC.cos AB, BC a.a 2.cos1350  a Do     Câu 11 [0H2-2.1-2] Cho tam giác ABC vng A có AB c, AC b Tính BA.BC      2 2 2 BA BC  b BA BC  c BA BC  b  c A B C D BA.BC b  c Lời giải Chọn B     c  c b  c BA.BC BA.BC cos BA, BC BA.BC cos B c 2 b c Ta có   Cách khác Tam giác ABC vuông A suy AB  AC  AB AC 0         BA.BC BA BA  AC BA  BA AC  AB c Ta có       A , B , C AB  cm, BC  cm, CA  cm CA CB Câu 12 [0H2-2.1-2] Cho ba điểm thỏa Tính      A CA.CB 13 B CA.CB 15 C CA.CB 17 D CA.CB 19 Lời giải Chọn B AC    I  4;  1 Ta có AB  BC CA  ba điểm A, B, C thẳng hàng nằm A, C     CA.CB CA.CB.cos CA, CB 3.5.cos 0 15 Khi      AB  AB  CB  CA CB  2CBCA  CA2 Cách khác Ta có   1   CBCA   CB  CA2  AB    32  52  22  15 2    P  AB  AC BC BC  a , CA  b , AB  c Câu 13 [0H2-2.1-2] Cho tam giác ABC có Tính      2 A P b  c B P c2  b2 C P c2  b2  a2 Lời giải Chọn A        P  AB  AC BC  AB  AC BA  AC      Ta có       2  AC  AB AC  AB  AC  AB  AC  AB b  c     D P c2  b2  a 2      1    BK AC  BA  AD  AB  AD         1  1 BA AB  BA AD  AD AB  AD AD  a    a 2 2     0   cos ABC   sin ABC  16 (vì ABC nhọn)    Mặt khác góc hai vectơ AB, BC góc ngồi góc ABC   cos AB, BC cos 1800  ABC  cos ABC  16 Suy     A   4;1 , B  2;  , Câu 10 [0H2-2.2-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C  2;   Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác cho 1  I  ;1 A     I   ;1 B    1 I  1;  C   1  I  1;   4 D  Lời giải Chọn B   AI  x  4; y  1    BI  x  2; y    CI  x  2; y   I  x; y  Gọi Ta có   IA2 IB IA IB IC   2  IB IC ABC I Do tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên 2  x     y  1  x     y    x    x       2 2  y 1  x     y    x     y     x    y 1 A  2;0  , B  0;  C  0;7  Câu 11 [0H2-2.2-4] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D hình thang cân ABCD A D  7;0  B D  7;0  , D  2;9  C D  0;7  , D  9;  D D  9;  Lời giải Chọn B Để tứ giác ABCD hình thang cân, ta cần có cặp cạnh đối song song khơng cặp cạnh cịn lại có độ dài Gọi D  x; y     AB  CD  CD k AB   Trường hợp 1:  AB CD (với k  )  x  2k   x  0; y     2k ; 2k     y 2k   1   AD  x  2; y   AD     BC  0;5   BC 5 Ta có    2k   Từ  1   , ta có  x  2   2k    y2  k  1 loaïi  25     D  7;0   k    AD  BC  D  2;9   Trường hợp 2:  AD BC Làm tương tự ta Vậy D  7;  D  2;9    AD BC   x    y 25  2