001 02 06 gt12 cii mu logarit bai 6 01 hdg bpt mu logarit tu luan

II HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT C H Ư Ơ N BẤT PHƯƠNG TRÌNH – MŨ – LOGARIT DẠNG 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN - PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ LÝ THUYẾT I = = BẤT = PHƯƠNG TRÌNH MŨ a f ( x)  a g ( x)  f  x   g  x  I  Nếu a  , b  thì a f ( x )  b  f  x   log a b a f ( x)  a g ( x)  f  x   g  x   Nếu  a  , b  thì a f ( x )  b  f  x   log a b f (x) f  x  Lưu ý: b 0 thì a  b với x thỏa mãn điều kiện xác định , f (x) cịn a b vơ nghiệm BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT  g  x   log a f  x   log a g  x     f  x   g  x   Nếu a  thì  f  x   log a f  x   log a g  x     f  x   g  x   Nếu  a  thì II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = x 4 =  4 1   I Câu Giải bất phương trình   Lời giải  4   Bất phương trình   x2   x  1  x  0    x 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S   ;  2   2;   1   Câu Có số nguyên x 10 nghiệm bất phương trình   Lời giải x 2 3 x ?  1    3 x 2  1 3     3 x 2 x x  1     3    x 0  x 0   x   x   x  0   x   x 2  x  x  x 2     x   x   2;10 Theo giả thiết số nguyên x 10 Vậy có số nguyên x thỏa mãn yêu cầu toán Câu Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log  x  3 log 2 Lời giải  x  4  x 7    x 7 log  x  3 log   x   x    2 Bất phương trình x     x   ; ; ; 7 Vì 3  x 7 Vậy bất phương trình cho có tất nghiệm nguyên Câu Giải bất phương trình: log   x  log  x  1 Lời giải  x 1  log   x  log  x  1    3  x x  x      1 x   x   2  S   1;  3  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho Câu Giải bất phương trình log  x  x    Lời giải log  x  x      x  x    x2  5x     x  5x     x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho Câu Bất phương trình log  3x  1  log  x   S  2;3 có nghiệm nguyên ? Lời giải Ta có: x   3 x   x    1 log  x  1  log  x     x     x3  x     x   0;1; 2 Vì x số nguyên nên Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên log 0,5  x  1  log 0,5 x Câu Tìm tập nghiệm S bất phương trình Lời giải  x 1   x 0  Điều kiện:  x  Ta có: log 0,5  x  1  log 0,5 x  x   x  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình Câu Tìm tập nghiệm S bất phương trình , kết hợp điều kiện ta x  S  1;    log x  log x 3 Lời giải Điều kiện: Ta có: x    x 1  x 3  log x  log x 3  1  log x log x   0 log x log x   log x   log x    log x  log x  1     log x  1   0  log x   log x  log x  1 điều kiện ta  x  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S  0; 1   3;    Câu Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình log  x  1  log  mx  x  m  nghiệm với x   ? Lời giải  log x   log x    x 1   x  , kết hợp  mx  x  m  x   , x   2 x   mx  x  m     Bất phương trình nghiệm với (dễ thấy m=0 m   m     1 16  4m  m    m      5  m  m    16    m  0 m 3  m 7   m 3 không thỏa mãn hệ)   2 Do m   nên m 3 Vậy có giá trị nguyên m thoả mãn DẠNG 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ LÝ THUYẾT I = = = f  a g  x      a 1 I Phương pháp: g x t a     f  t   Ta thường gặp dạng: Dạng toán I: Đặt ẩn, đưa BPT ban đầu BPT theo ẩn f  x  n.a f  x   p  ● m.a f  x f  x t a f  x  ● m.a  n.b  p  , a.b 1 Đặt  t  0 , suy b f  x  t f  x a t  0 f  x f  x   f  x m.a  n  a.b   p.b 0 b   b ● Chia hai vế cho đặt Dạng toán II: Đặt ẩn phụ, khơng làm ẩn ban đầu Khi đó, đưa BPT ban đầu dạng tích xem ẩn tham số để giải Dạng toán III: Đặt nhiều ẩn phụ chuyển BPT mũ ban đầu thành BPT tích xem ẩn tham số để giải f  x II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = = x- x- I Câu Giải bất phương trình - 36.3 + £ Lời giải Ta có: x   36.3x   0  x Đặt t 3 ( điều kiện: t  ) 9x x   0   3x   3x  0   3x   12.3x  27 0 9 Khi bất phương trình  * x trở thành: t  12t  27 0  t 9  3 9   x 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S  1; 2 2x x1 Câu Giải bất phương trình    Lời giải Ta có: x  x 1     x   7.7 x     x   7.7 x    * x  * trở thành: Đặt t 7 , t  Khi bất phương trình x   t 1   1  x  t  7t       x  t   x  log 7  S   ;0    log 6;   Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x x Câu Giải bất phương trình:  9.3  10  Lời giải x Đặt t 3 , t  Bất phương trình trở thành t   10   t  10t     t    x    x  t S  0;  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x x x Câu Giải bất phương trình: 3.4  2.6  Lời giải x  3  9      x  2  4  Chia hai vế bất phương trình cho ta x  * x  3 t   , t   * trở thành:  2 Đặt Bất phương trình x  3  2t  t  t  2t     t         2 2 S   ;0  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x Câu Giải bất phương trình: 2.4 1  6x 1 9 x 1 x  3   1  x   2 Lời giải  3 2   2 Bất phương trình cho tương đương với  3 t    2 Đặt x 1 9    4 x 1 x 1 ,t  ; bất phương trình trở thành t  t  0   t 2  3  t 2     2 Vì t  nên x 1 2  x  log 2  4  4  x log    log    x  log   2  3  3   4  4 S   log   ; log      3    Vậy tập nghiệm bất phương trình cho 4 Câu Giải bất phương trình: 15 x    15  x 62 Lời giải Ta có: 4 Đặt 4 15   15  15 1 x     15   x  62   15  x x    15     62   15   x  4 15  x 62 x t   15 , t  t  62  t  62t  0  31  15 t 31  15 t Bất phương trở thành:   31  15   15  x 31  15    x 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S   2; 2 x 2 2 x Câu Giải bất phương trình   24 Lời giải Bất phương trình cho tương đương với 9.3x   24  3x  t   n 9t   24   9t  24t     t    l t x  Đặt t 3 , t  , bất phương trình trở thành x Với t     x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho x 3x  3  Câu Giải bất phương trình S  1;   3x  Lời giải Ta có phương trình: x 3x  3  3x   3x   x  3x  3x    3x (3x  1)   3x   3x (3x  1)  (*) x x Đặt t 3    t  Từ phương trình (*) trở thành t  (t  1) t   t   (t  1) t Trường hợp 1: 1  t    (t  1)t 0 1  t     t 1   t 0    t    3x    3x   x  Trường hợp 2: t 2 t 2   2 2 (t  1)t (t  2) t  t t  4t  t 2     t 2  3x 2  x log t   x log x0 Vậy nghiệm bất phương trình là:  2 Câu Giải bất phương trình x   2   2x  2  2x   Lời giải x x Điều kiện xác định:  0  1  x 0 Đặt x  t ,  t 0   x  t  x t  Bất phương trình trở thành: t 2 2      t      t    t  1   t     t   t  1  t  2   t  1  t  1   t  3  t  1   t 1 t  2t   t  t     t  t 1 t 1 Do 2x    2x    2x   x  Kết hợp điều kiện:  x  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S  0;1 3x  BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ  a 1 Dạng bất phương trình: A log a x  B log a x  C   Phương pháp giải log a x t , bất phương trình trở thành: At  Bt  C  Giải bất phương trình ẩn t , từ giải x Đặt Dạng bất phương trình: Phương pháp giải A log a x  B log x a  C    a 1,  x 1 log a x t , bất phương trình trở thành: Giải bất phương trình ẩn t , từ giải x Đặt Câu Giải bất phương trình At  log 0,2 x  5log 0,2 x   B C  t Lời giải Điều kiện xác định: x  Đặt log 0,2 x t , bất phương trình trở thành: t  5t     t  Do ta có  log 0,2 x   1 x 125 25  1  S  ;   125 25  Vậy tập nghiệm bất phương trình Câu Giải bất phương trình log x  5log x  0 Lời giải Điều kiện xác định: x  Đặt log x t , bất phương trình trở thành:  t 1 t  5t  0    t 4  log x 1  log x 4  Do   x 2  x 16    x 2  Kết hợp điều kiện ta có:  x 16 Vậy tập nghiệm bất phương trình Câu Giải bất phương trình S  0; 2   16;   log 32  x  1  log  x  1  0 Lời giải Điều kiện x    x   Đặt t log  x  1 Suy , bất phương trình trở thành t  4t  0  t 3 log  x  1 3   x  27  x 26 So với điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình cho S  2; 26 log  5x  1 log  2.5 x   m Câu Tìm giá trị thực tham số m để bất phương trình Lời giải Ta có: Đặt log  x  1 log  2.5 x   m  log  5x  1 1  log  x  1  m t log  5x  1 t   2;   Vì x 1 nên Bất phương trình trở thành: Xét f  t  t  t , t  t  1 m  t  t m f  t  2t   t   2;   với với t   2;   nên hàm đồng biến t   2;   f  t   f   6 Nên  2; Bất phương trình log  5x  1 log  2.5 x   m f  t  m t   2;   nghiệm với x 1  m min f  t   m 6  2; Vậy m 6 Câu Giải bất phương trình log  x  1 log  x1    0 Lời giải Điều kiện x 2    2x   x1 2   Ta có bất phương trình tương đương với log  x  1 log   x  1   0  log  x  1  log  x  1 1  0 Đặt t log  x  1 Suy , bất phương trình trở thành  log  x  1 1   log t  t  1      t  2 x  2  2 x 3 4 (thỏa điều kiện)  x log  log   x log Vậy tập nghiệm bất phương trình cho Câu Giải bất phương trình: log  5x    2.log 5x 2    Lời giải S  log  2;log 3 log  5x    2.log 5x 2   log  x     Ta có : Đặt t log  5x       Khi thành t    log  5x     t  3t    t  t (do t  ) log  5x    log 2  5x   x  log Với t  thì log x 64  log x2 16 3 Câu Giải bất phương trình: Lời giải ĐK: 0  x 1    x    0  x    x 1 log 64 log 16  3   3 log x log x  log x log x 2 2 Bất phương trình cho tương đương với Đặt  1 t log x , t 0 t  6t    t  3t  3t 3t  5t   1 trở thành  t  t 3  t  t  t  t  t  t 0 Khi đó, 1 1    x 3   log x    t      3 3      x 4   t 2   log x 2 1  S  ;    1; 4  2 Kết hợp điều kiện, ta suy tập nghiệm bất phương trình cho là: x 2  log x 1 Câu Giải bất phương trình log x log x  log Lời giải x 2  log x 1  1 ĐK: log x log x  log  1  Đặt x   log x 0 log x  0  x    log x 0  log x  0  x    x 1  x 2  log x  log x  1 log x log x  t log x Bất phương trình trở thành: t 1  t  2t  2t  t  1  1  0    t  t t1 t  t  1   t   t   log x   x  1  t    log x    x  2 t   log x    x   1 S  0;   1;    2;    1 có tập nghiệm   Kết hợp với điều kiện, bất phương trình  Câu Tìm m để bất phương trình log 22 x  3log x   m  log x   có nghiệm với x 256 Lời giải x   x 0 log 22 x  3log x  0    log x  log x  0 Điều kiện xác định:  x   x      x     log x       log x    x 128     x 2   x 128 Với điều kiện bất phương trình trở thành Đặt t log x thì t 8 vì x 256  t  1  t    m  t    (*) trở thành Đặt log 22 x  log x   m  log x    * f  t  Xét hàm số t 1 t t 1 t  nửa khoảng  8;    f  t  f  t   Ta có Do t 1  m, t 8 t 4  t  7 t  0, t 8 t 1  f  t max f  t   f   3  8; nghịch biến khoảng  8;    m max f  t   8;   m 3 Vậy m 3 Yêu cầu tốn DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGA PHƯƠNG PHÁP XÉT HÀM x 1 x 1 x Câu Giải bất phương trình    Lời giải x Ta có: x 1 3 x 1 x x  1  1  1              3  2  6 (*) x x x x  1 1  1 f  x  2          3  2  6 Đặt x x x 1  1  1  1  1  1 f '  x  2   ln      ln      ln    0, x    3  3  2  2  6  6 Ta có: Suy hàm số Do đó: f  x nghịch biến   *  f  x   f    x2 S  2;   Vậy tập nghiệm bất phương trình: x Câu Tìm tham số m để bất phương trình: m + e ³ e x +1 nghiệm với x Ỵ ¡ Lời giải TXĐ: ¡ Ta có bất phương trình tương đương m ³ x 2x e +1 - e x Đặt e = t , t > , yêu cầu toán tương đương m ³ Đặt y = f ( t ) = t +1 - t , t > t3 f ¢( t ) = (t Ta có: +1) t +1 - t với t > (*) t3 - f ¢( t ) = Û ; (t +1) - 1= Û t = ( t +1) Û t12 = ( t +1) Û t12 = t12 + 3t + 3t +1 Û 3t + 3t +1 = (Vô nghiệm) t3 f ¢( t ) = Nhận xét: Mặt khác (t +1) lim f ( t ) = t đ0+ lim t đ+Ơ ( - 1= t3 - 4 (t ( t +1) +1) 3 < 0, " t > (vì ( t +1) 3 > ( t4 ) = t3 ) ; ) t +1 - t = lim t đ+Ơ ( t +1 - t t +1 + t ) = lim t đ+Ơ ( t +1 + t )( t +1 + t ) =0 Bảng biến thiên: Do (*) Û m ³ Vậy m ³ Câu Tìm tham số m để bất phương trình x x + x- m ( + x2 + > 2 Lời giải x + x- m +2x ) nghiệm với Để bất phương trình có nghiệm với x , trước hết bất phương trình phải xác định ¡ æ 1ö x + x - m ³ 0, " x Ỵ ¡ Û m £ g ( x ) = x + x, " x Ỵ ¡ Û m £ g ( x ) = g ỗ - ữ =ữ ỗ ữ ỗ xẻ Ă è 2ø Tức Khi yêu cầu toán tương đương với ( x +x- m ( Ta có x2 +x- m - ×2 x +x- m ) m£ - x + x- m ) 2 - +( x - 1) > 0, " x Ỵ ¡ dấu xảy ìï ïï x = íï ïï ïï m = ùợ Vi iu kin ỳng vi mi x ẻ ¡ Vậy ( - +( x - 1) ³ 0, " x Ỵ ¡ ìï x2 +x- m - = ï Û í ïï x - = ỵ m£ - ) +1 +( x - x +1) > 0, " x Ỵ ¡ Û thì dấu xảy ra, nên suy bất phương trình nghiệm Câu Giải bất phương trình log ( x + 3) - log x + x - x +1 £ Lời giải Điều kiện: x > Ta có log ( x + 3) - log x + x - x +1 £ Û log ( x + 3) + x + £ log x + x ( *) f ( t ) = log t + t D = ( 0; +¥ ) Xét hàm số Ta có f ¢( t ) = +1 > " t ẻ D ị t ln hm s f đồng biến D ( *) Û f ( x + 3) £ f ( x) Û x + £ x Û £ x £ Suy x x Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5  1).log (2.5  2) m có nghiệm với x 1 ? Lời giải BPT Đặt  log (5x  1).log (2.5 x  2) m  log (5 x  1) 1  log (5 x  1)  m t log  5x  1 x 1  t   2;   BPT  t (1  t ) m  t  t m  f (t ) m Với f (t ) t  t f , (t ) 2t   với t   2;   nên hàm đồng biến t   2;   Nên Minf (t )  f (2) 6 x x Do để để bất phương trình log (5  1).log (2.5  2) m có nghiệm với x 1 thì : m Minf (t )  m 6 Câu Cho hàm số y  f  x liên tục đoạn   1;9 có đồ thị đường cong hình vẽ 16.3 f  x    f  x   f  x   8 f  x   m  3m  f  x  Tìm tham số m để bất phương trình nghiệm   1;9 ? với giá trị x thuộc đoạn Lời giải Từ đồ thị ta suy Đặt   f  x  2 x    1;9 t  f  x  , t    4; 2 16.3t   t  2t  8 4t  m2  3m  6t Ta tìm m cho bất phương trình (1) t    4; 2 với t 16  2 (1)  t   t  2t  8   m2  3m t    4; 2  3 với (*) 16 4, t    4; 2 t Ta có Dấu xảy t 2 t    4; 2 Lại có t  2t  0 với t  t  2t  8  23  0, t    4; 2 Do Dấu xảy t 2  t  t t 16 16  2  2   t  2t  8   4 t   4;  2   t  2t  8   m  3m t t  3  3 Như Mà với t    4; 2 Suy m  3m 4   m 4 Vậy  m 4 DẠNG 5: MỘT SỐ BÀI TOÁN KẾT HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP Câu Giải bất phương trình x  x   log  x  x    Lời giải Đặt t  x  x   x    2, t  Đặt f  t  t  log  t   , t  f '  t  1  Ta có Do  0, t   t   ln f   1 0 Mặt khác Ta có bất phương trình Suy f  t t  log  t    đồng biến   2;  f  t    t    x  x     x  x    x    ;1   3;   Vậy tập nghiệm bất phương trình T   ;1   3;   Câu Tìm tất giá trị m để bất phương trình x   m  1 x 1  m  0 nghiệm với x Lời giải Tập xác định D ¡ Đặt t 2 x ,  t 1 Với t 1 thì Xét hàm số Ta có , bất phương trình trở thành  *  t  2t  m  2t  1  f t  Do hàm số f  t (*) t  2t  m 2t  2t  3  2t  2t   2t  1 có bảng biến thiên sau Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để bất phương trình log x  x log2 Câu Giải bất phương trình x  Lời giải +) Điều kiện: x  t   m  1 t  m  0 t  2t  2t   1;    2t    2t  1   t  f ' t    2t  1 f  t  m, t   1;   thì m 1 t +) Đặt t log x  x 2 t 2  Khi bất phương trình cho có dạng:  3t   2t  log t  4t  3t  5t t  4  3     1 t Chia vế bất phương trình cho , ta được:     t t t t  3  4  3  4 f  t        f  t    ln    ln  0, t  5  5  5  5 +) Xét hàm số Do hàm số Mà f   1 f  t nghịch biến ¡ f  t    f  t   f    t   log x   x  nên +) Đối chiếu điều kiện ta được:  x  Vậy nghiệm bất phương trình là: S (0; 4) x3  x  ln  x  x   m 0 x m Câu Cho bất phương trình Tìm m để bất phương trình nghiệm với x   0;3 Lời giải x3  x  0 x2  m Điều kiện: 2 x   0;3  * Do x  x   với nên toán ta xét với điều kiện x  m  Với điều kiện  * bất phương trình ta có:  ln  x  x    ln  x  m   x  x   m 0  ln  x  x    x  x  ln  x  m   x  m  1 Xét hàm: f  t  ln t  t  0;   f '  t   1  t   0;    f  t   0;   t với hàm đồng biến Do đó: Đặt  1  x3  x  x  m  m x3  3x  g  x  x  x  Bất phương trình cho nghiệm với x   0;3  x  m  x   0;3  m   m  g x     x 0;3 m  Vậy không tồn giá trị m thỏa mãn toán khi: