142 đề hsg toán 8 quảng trạch 2018 2019

PHỊNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH TRƯỜNG THCS CẢNH HĨA ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Năm học : 2018-2019 Câu (2,0 điểm)   10  x   x A      : x   x  2 x x2  x2   Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A x b) Tính giá trị A, biết c) Tìm giá trị x để A  d) Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a)  x  8  x    x   72 1 1    b) x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 Câu (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE  AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N 1) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2 EF 1   AM AN 3) Chứng minh : AD Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng: 1    a  b  c  b3  c  a  c  a  b  Câu Cho an 1     n Chứng minh an  an1 số phương ĐÁP ÁN Câu A a) Rút gọn kết :   A x    x     2  x  A   b) c) A   x    x  d) A 1 x 1    x   U (1)  1  x   1;3 x Câu a) Đặt x  t Ta có:  t  1  t  1 t 72   t  1 t 72  x    t  8(ktm)  t 3  t  t  72 0       t   x    t 9(tm)    5 x ;  3 3 Vậy x  x  20  x    x   ; x  11x  30  x    x   ; x  13 x  42  x    x   b) DKXD : x   4;  5;  6;  7 Phương trình trở thành: 1 1     x    x  5  x  5  x    x    x   18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1    x  x  18   18( x  7)  18( x  4)  x    x     x  13  x   0  x  13(tm)   x 2(tm) Câu E A B H F D M C N    ABF (cùng phụ với BAH ) 1) Ta có: DAM  AB  AD ( gt ); BAF ADM 900 (ABCD hình vng)  ADM BAF  g c.g   DM  AF , mà AF  AE ( gt ) nên AE DM Lại có: AE / / DM (vì AB / / DC )  DAE  90 ( gt ) AEMD Suy tứ giác hình bình hành Mặt khác Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Ta có ABH FAH ( g.g ) AB BH BC BH    AB BC ; AE  AF  AF AH hay AE AH    Lại có: HAB HBC (cùng phụ với ABH )  CBH AEH (c.g c)  2 S SCBH  BC   BC   CBH  4( gt )    ,  4  BC  AE  S EAH  AE  mà S EAH  AE   BC 2 AE  E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD 2 EF hay AC 2 EF (dfcm) 3) Do AD / /CN ( gt ) Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: AD AM AD CN     CN MN AM MN Lại có: MC / / AB  gt  Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: MN MC AB MC AD MC     AN AB AN MN hay AN MN 2 2 2 2 MN  AD   AD   CN   CM  CN  CM   1         MN MN  AM   AN   MN   MN  ( Pytago) 1  AD   AD        1  2 AM AN AD  AM   AN  (dfcm) Câu Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi a, b, c   x, y, z  ta có: a b2 c  a  b  c     x y z xyz a b c    x y z Dấu " " xảy Thật vậy, với a, b   x, y  ta có: a b2  a  b    x y xy (*) (**)   a y  b x   x  y  xy (a  b)2   bx  ay  0 (luôn đúng) a b   x y Dấu " " xảy Áp dụng bất đẳng thức  ** ta có: 2 a b2 c  a  b  c2  a  b  c      x y z xy z xyz a b c    x y z Dấu " " xảy 1 2 1 a b c2      a  b  c  b3 (c  a) c3 (a  b) ab  ac bc  ab ac  bc Ta có: Áp dụng BĐT (*) ta có : 2  1 1  1 1 1         a  b2  c   a b c    a b c  ab  ac bc  ab ac  bc  ab  bc  ac   1 1 2     a b c  (Vì abc 1) Hay 1 a  b2  c 1       ab  ac bc  ab ac  bc  a b c  1 2 1 a   3  b  c  Mà a b c nên ab  ac bc  ab ac  bc 1    Vậy a  b  c  b  c  a  c  a  b  (đpcm) Câu an1 1     n  n  Ta có: 2 an  an1 2      n   n  n  n  1  n  n  2n   n  1 số phương