053 đề HSG toán 8 củ chi 2018 2019

TRƯỜNG THCS CỦ CHI ĐỀ THI OYMPIC TOÁN LỚP NĂM HỌC 2018-2019 Câu (6 điểm) 1 1    a) Giải phương trình: x  x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A   3 bca a c b a bc Câu (5 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm số nguyên n để n  chia hết cho n  Câu (3 điểm) 1   9 a) Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c 2000 2000 2001 2001 2002 2002 b) Cho a, b dương a  b  a  b  a  b 2011 2011 Tính a  b Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh rằng: a)OA.OB  OC.OH · b) OHA có số đo khơng đổi c) Tổng BM BH  CM CA không đổi ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x  4; x  5; x  6; x  7 Phương trình trở thành: 1 1     x    x  5  x  5  x    x    x   18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1    x  x  18  18( x  7)  18  x     x    x     x  13   x  13  x      x  b) Đặt b  c  a  x  0; c  a  b  y  0; yz xz x y ;b  ;c  2 Từ suy Thay vào ta được: y  z x  z x  y  y x   x A         2x 2y 2z  x y   z abc z 0 a A z   y z     x   z y     2 hay A   a  b  c Từ suy Câu a) Gọi số phải tìm a b , ta có a  b chia hết cho a  b3   a  b   a  ab  b    a  b   a  b   3ab    Ta có: a  b  3ab chia hết cho   a  b Vì chia hết Do vậy, b)  a  b   a  b   3ab   chia hết cho n5  1M  n3  1   n5  n2  n2  1 M n3  1  n  n3  1   n  1 M  n3  1   n  1  n  1 M  n  1  n  n  1  n  1Mn  n   n  n  1 Mn  n  n  nMn  n    n  n  1  1M  n2  n  1 Hay  1Mn  n  Xét hai trường hợp: n  )n  n    n  n    n  )n  n   1  n  n   0, giá trị n thỏa mãn Câu b c 1    a a a  a c 1 a  b  c 1  1  c b b a b 1    c c c  a.Từ 1 a b a c  b c                   a b c b a c a c b  abc Dấu “=” xảy a b) 2001  b 2001   a  b    a 2000  b 2000  ab  a 2002  b 2002   a  b   ab  a    a  1  b  1    b  b  1(tm) a   b 2000  b2001   b  0(ktm) Với  a  1(tm) b   a 2000  a 2001    a  0(ktm) Với 2011 2011 Vậy a  1; b   a  b  Câu a) BOH : COA  g g   OB OH   OA.OB  OH OC OC OA OB OH OA OH    µ OC OA OC OB O b) chung  OHA : OBC · ·  OHA  OBC (không đổi) c) Vẽ MK  BC ; BKM : BHC ( g g ) BM BK    BM BH  BK BC (3) BC BH CM CK CKM : CAB  g g     CM CA  BC CK (4) CB CA Cộng vế (3) (4) ta có: BM BH  CM CA  BK BC  BC.CK  BC. BK  KC   BC (Không đổi) ...    x    x  5  x  5  x    x    x   18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1    x  x  18  18( x  7)  18  x     x    x     x  13   x  13  x... a  b chia hết cho a  b3   a  b   a  ab  b    a  b   a  b   3ab    Ta có: a  b  3ab chia hết cho   a  b Vì chia hết Do vậy, b)  a  b   a  b   3ab   chia hết