Website: tailieumontoan.com 28 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LỚP NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm : 150 phút I.Phần ghi kết (2 điểm) (thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) Câu 1: Tập nghiệm phương trình x2 x 0 x2 1 Câu 2: Tìm dư phép chia đa thức x5 x x cho đa thức x x y Câu 3: Cho x y x y 5 xy Tính biểu thức A x y Câu 4: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB , CD Gọi O giao điểm AC BD Biết OB 2cm , OB 4cm , S AOB 1cm Tính diện tích hình thang ABCD II.Phần tự luận (18 điểm) (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) x2 x 6x x2 : Câu 1(4 điểm): Cho biểu thức A x x 4x x , với x 0 ; x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A 2 Câu 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình : 3x x x x x3 0 b) Cho số a,b,c khác không thõa mãn : a 3b3 b3c3 c3a 3a 2b 2c Tính giá trị biểu thức M a b b c c a abc c)Tìm tất cặp số nguyên x; y thoả mãn x y 2 xy 11 Câu 3( 7,5 điểm ): Cho ABC nhọn ( AB AC ) có đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi M trung điểm cạnh BC a) Chứng minh AEF đồng dạng với ABC b) Chứng minh BH BE CH CF 4ME.MF HD HE HF c) Chứng minh số AD BE CF d) Trên tia đối FC lấy P cho AP //BE , tên tia đối EB lấy điểm Q cho AQ // CF Chứng minh AM PQ Câu 4: (2 điểm) a) Cho a b 2 Chứng minh a b 2 b) Cho đa thức f x có hệ số nguyên biết f ; f 1 số lẻ Chứng tỏ đa thức f x nghiệm ngun Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 28 ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LỚP PHÒNG GD&ĐT HUYỆN Ý YÊN NĂM HỌC: 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I.Phần ghi kết (2 điểm) Câu 1: Tập nghiệm phương trình x2 x 0 x2 1 Giải: x2 x 0 x2 1 x x 0 x x 1 0 x 0 x 1 0 x 0 x 1 S 0;1 Câu 2: Tìm dư phép chia đa thức x5 x3 x cho đa thức x Giải: x5 x3 x x 1 x x3 x x Nên số dư phép chia : Câu 3: Cho x y x y 5 xy Tính biểu thức A x y x y Giải: x y 5 xy x xy y xy 0 (2 x xy ) ( xy y ) 0 x x y y x y 0 x y x y 0 x y 0 x y 0 y 2 x x 2 y Do x y nên x=2y A x y 2y y 3 x y 2y y Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 28 Câu 4: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB , CD Gọi O giao điểm AC BD Biết OB 2cm , OB 4cm , S AOB 1cm Tính diện tích hình thang ABCD Lời giải: Do AB //CD ABO ∽ CDO S AOB OB SOCD OD SOCD 4cm S AOB OB S ABD DB S ABD 3S AOB 3cm2 SOCD OD S BCD DB 3 S BCD SOCD 6cm2 2 S ABCD S ABD S BCD 3 9cm2 II.Phần tự luận x2 x 6x x2 : Câu 1(4 điểm): Cho biểu thức A x x 4x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn biểu thức A , với x 0 ; x c) Tìm giá trị x để A 2 Lời giải: a) Rút gọn biểu thức A x2 x x x2 A : x x 4x x x x2 x x x2 A : x x x 2 x x2 x x x2 A x 2 x x x x x 2 6x x A x 2 x x 2x x 2x 2x 6x x2 A x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 28 x3 x x A x A x x b) Tìm giá trị lớn biểu thức A A x x A x x A x 1 2 Do x 1 0 A x 1 Nên A đạt giá trị nhỏ A x c) Tìm giá trị x để A 2 A x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x x 0 loai x loai Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Câu 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình : 3x x x x x3 0 b) Cho số a,b,c khác không thõa mãn : a 3b3 b3c3 c 3a 3a 2b 2c Tính giá trị biểu thức M a b b c c a abc c)Tìm tất cặp số nguyên x; y thoả mãn x y 2 xy 11 Lời giải: a) Giải phương trình : 3x x x x x3 0 3x x x x x3 0 x x x 1 x 1 2 x 0 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 28 TH1: x 0 nghiệm 2 2 TH2: x x x x 0 Đặt a x 3xa a x 0 xa a xa x 0 a x a x x a 0 x a a x 0 x a 0 a x 0 x x 0(vn) x x 0 x 1 0 x Vậy phương trình có hai nghiệm x x 0 b) Cho số a,b,c khác không thõa mãn : a 3b3 b3c3 c3a 3a 2b 2c Tính giá trị biểu thức M a b b c c a abc Lời giải: a 3b3 b3c3 c3a3 3a 2b c a 3b3 b3c c 3a 3a 2b 2c 0 (1) Đặt x ab; y bc; z ac (1) x3 y z xyz 0 [ x y z ] 3xy x y z x y z [ x y x y z z -3xy]=0 x y z 0 x y x y z z 3xy 0 TH 1: x y z 0 ab bc ca 0 M a b b c c a ab bc ca a b c abc TH : abc x y 2 abc x y z z 0 2 x y y z z x 0 x y z Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 28 ab bc ca a b c M a b b c c a 2a.2b.2c 8 abc abc c) x y 2 xy 11 10 x xy 15 y 0 x y y y x 3 Vì y ; x 3 Z y U ( 7); x 3 U ( 7) Ta có bảng sau: 2x 5 2y x y -7 -1 -7 -1 -5 -2 -1 Vậy cặp số x; y : 2;3 ; 1;6 ; 5; ; 2; 1 Câu 3( 7,5 điểm ): Cho ABC nhọn ( AB AC ) có đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi M trung điểm cạnh BC a) Chứng minh AEF đồng dạng với ABC b) Chứng minh BH BE CH CF 4ME.MF HD HE HF c) Chứng minh số AD BE CF d) Trên tia đối FC lấy P cho AP //BE , tên tia đối EB lấy điểm Q cho AQ // CF Chứng minh AM PQ Giải: a) ACF ∽ ABE AC AF AE AF ; A chung AB AE AB AC AEF ∽ ABC (cgc) b) CHD ∽ CBF CH CD CH CF CB.CD CB CF Tương tự có BH BE CB.BD CH CF BH BE CB.CD CB.BD CB Mà CB 2 EM ( BEC có EM trung tuyến) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 28 CB 2 FM ( BFC có FM trung tuyến) CH CF BH BE 4 EM FM S HCD HD S HD (1) ; BHD (2) c) S ADC AD S DAB AD (1), (2) S HCD S BDH S HCD S BDH S BHC HD S BHC (3) S ADC S ADB S ADC S ADB S ABC AD S ABC HE S AHC HF S AHB (4) ; (5) BE S ABC CF S ABC (3), (4), (5) HD HE HF S BHC S AHC S ABH S BHC S AHC S ABH 1 AD BE CF S ABC S ABC S ABC S ABC HD HE HF 1 AD BE CF d) Trên tia đối AP lấy P' cho AP ' AC Trên tia đối AQ lấy Q ' cho AQ ' AB ^ ^ ^ Vì AP / / BE mà BE AC nên AP AC PAC 900 PAF FAE 900 ^ ^ ^ Tương tự QAB 900 QAE EAF 900 ^ ^ ^ ^ PAF QAE 900 PAF QAE APF ∽ AQE AP AF AQ AE AP AB AF AC AQ AC AE AB ; Mà AC AP ' ; AB AQ ' AP AP ' PQ //P ' Q ' AQ AQ ' Trên tia đối MA lấy O cho MA MO AMB OMC (c.g.c) ^ ^ AB CO; ABM OCM ^ ^ ABM OCM AB //CO Vì ^ ^ BAC ACO 900 ^ ^ BAC P ' AQ ' 1800 ^ ^ Q ' AP ' ACO Q ' AP ' OCA (cgc) Gọi giao điểm MA với P ' Q ' K ta có : ^ ^ KAP ' CAO 900 ^ ^ Mà CAO AP 'Q' Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 28 ^ ^ KAP ' AP ' Q ' 900 Nên AKP ' vuông K AM P ' Q ' AM PQ Câu 4: (2 điểm) a) Cho a b 2 Chứng minh a b 2 b) Cho đa thức f x có hệ số nguyên biết f ; f 1 số lẻ Chứng tỏ đa thức f x khơng có nghiệm nguyên Giải: a b 2 0 a b 2a 2b 0 2(a b ) a b 2a 2b (a a b ) b2 2 Tương tự: a b => a b a b 2 22 22 2 b) Giả sử f(x) có nghiệm ngun a f ( x ) x a f ( x) x a g ( x) f (0) a g (0) số lẻ => a số lẻ f (1) a g (1) số lẻ a số lẻ a số chẵn Điều mâu thuẩn với giả thiết =>đpcm Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC