PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 02 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN:(16 câu; 8,0 điểm) Câu Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Tứ giác MNPQ A hình bình hành B hình thoi C hình vng D hình thang cân Câu Đa thức f ( x) 10 x x a chia hết cho x Giá trị tham số a A 10 B 12 C 12 D 10 Câu Một hình thoi có độ dài đường chéo 14cm 48cm Chu vi hình thoi A 96cm B 124cm C 100cm D 116cm Câu Cho x ax bx 25 x3 125 a, b A a = 1, b = 25 với giá trị x Giá trị a b B a 1, b 125 C a 1, b 5 D a 1, b 1 x 5 x3 x x Câu Cho x 0 thỏa mãn Giá trị biểu thức A 110 B 125 C 140 D 150 n 3n3 2n 6n n2 Câu Số số tự nhiên n để nhận giá trị nguyên A B C D Câu x 3 Giá trị nhỏ biểu thức 49 25 A Câu Phương trình ẩn m¹ A x 2 B 15 2mx x 1 x 3x 1 2022 0 m B Câu Tích nghiệm phương trình A B 49 C D (với m tham số) phương trình bậc m C x x x 3 12 C 12 m D D 12 x x m (với m tham số) có vơ số nghiệm B m 10 C m 7 D m 4 AP ABC , P Câu 11 Cho điểm thuộc cạnh AB cho BP Qua P kẻ đường thẳng song song BK BC cắt AC Q Qua Q kẻ đường thẳng song song AB cắt BC K Tỉ số BC A B C D NF Câu 12 Cho hình bình hành MNPQ E trung điểm cạnh NP, ME cắt NQ F Tỉ số NQ Câu 10 Phương trình A m Trang 1/2 A Câu 13 Cho hình thang 2 B ABCD AB / /CD C D hai đường chéo cắt O Biết S AOB 9cm ; S COD 25cm Diện tích hình thang ABCD 2 A 64cm B 66cm C 49cm D 48cm Câu 14 Cho ABC có chiều cao h Từ điểm O nằm ABC vẽ OH AB, OI BC , OK CA H AB, I BC , K CA Tổng OH OI OK h C h D A 2h B h Câu 15 Một cửa hàng bán lãi 20% so với giá bán Cửa hàng lãi phần trăm so với giá mua ? A 15% B 20% C 25% D 30% Câu 16 Trong giải cờ vua trường trung học sở thi đấu loại trực tiếp, có tất 16 học sinh tham gia chọn người vô địch Ban tổ chức phải tổ chức số trận đấu A 14 B 15 C 16 D 17 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 2 a) Tìm số nguyên n để n 2n 7n chia hết cho n 2 x; y b) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn x y 6 x 13 a, b, c 1 ab a b c c) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn Chứng minh a b số phương Câu (4,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử P 2a 7a b 7ab 2b b) Giải phương trình x x x 2x x y a b2 x y a b c) Cho a, b, x, y số thực thỏa mãn 2022 2022 2022 2022 a b Chứng minh x y Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh AEF ABC HB.HC HA.HC HA.HB 1 b) Chứng minh AB AC AB.BC AC.BC c) Cho M điểm di động cạnh BC Vẽ MP / / AB, MQ / / AC P, Q thuộc cạnh AC , AB Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác APMQ đạt giá trị lớn Câu (1,0 điểm) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz 1 Chứng minh x2 y x y z y z x2 2z 5 xy x yz y zx z HẾT -Họ tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:………………… Trang 2/2 Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 3/2 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn : TOÁN I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (8,0 điểm) - Mỗi câu 0,5 điểm - Tổng điểm phần Trắc nghiệm khách quan 0,5x16=8,0 điểm Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án A B C D A C C B B B B D A B C B II PHẦN TỰ LUẬN: (12,0 điểm) Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp án mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số Đáp án – thang điểm Câu Nội dung Điểm Câu 2 a) Tìm số nguyên n để n 2n 7n chia hết cho n (3,0 điểm) Ta có: n3 2n n n 3 n 4n Để n 2n 7n n 1 n 4n 1 n 3 4n 1 4n 1 n 3 1.0 16n 2 2 3 0.25 16 n 3 49 n 3 49 n 3 Vì n 3 n 7; 49 0,25 n 7 n2 4 n 2 n 49 n 46 Thử lại n 2 thỏa mãn Vậy n 2 thỏa mãn đề b) Tìm tất cặp số nguyên x; y 2 thỏa mãn 3x y 6 x 13 0.25 0.25 1,0 2 2 3x 6x 16 y x 1 4 y 0,25 Vì x 1 0 x y 0 y 4 y 1; 4;0 y 1;1; 2; 2; 0 Mà y số phương 0,25 Trang 4/2 x 2 y 1 y 1 x 1 4 x +Nếu x 3 x +Nếu 0,25 y 4 y 2 x 1 0 x 0 x 1 16 x 1 Vơ nghiệm +Nếu y=0 Vậy phương trình có nghiệm x; y 3;1 ; 3; 1 ; 1;1 ; 1; 1 ; 1; ; 1; 0,25 a, b, c 1 ab a b c Chứng 1,0 c) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn minh a b số phương Vì (4,0 điểm) 0,25 (1) ab a b c a b Từ (1) c b c b d d (c b, a b) b d b d a b d Gọi c d a d Vì a, b, c 1 d 1 0,25 c b a b số phương 0,25 Vì Câu b c a b ab b c a b b a b a b c b 0,25 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử P 2a 7a b 7ab 2b 1,0đ P 2a3 7a 2b ab 2b3 2 a b3 7ab a b 0,25đ P a b 2a 5ab 2b 0,25đ P a b 2a a 2b b a 2b 0,25đ P a b a 2b 2a b 0,25đ b) Giải phương trình x x x 2x 1,5đ 0,25đ x x x x 0 x x x x 0 0,5đ 0,25đ x x 1 0 x 0,25đ Phương trình có nghiệm x = -1 0,25đ x y a b a, b, x, y số thực thỏa mãn x y a b Cho Chứng minh c) x 2022 y 2022 a 2022 b 2022 1,5đ Trang 5/2 x y a b x y a b x y xy a b 2ab x y a b 0,25đ xy ab x y a b Xét hiệu ( x a)( x b) x x a b ab 0,25đ x x x y ab 0 0,25đ x a x b 0,25đ 0,25đ 2022 2022 a 2022 b 2022 Nếu x a y b x y 2022 2022 a 2022 b 2022 Nếu x b y a x y Câu (4,0 điểm) 0,25đ Cho tam giác ABC nhọn,đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh AEF ABC HB.HC HA.HC HA.HB 1 b) Chứng minh AB AC AB.BC AC.BC c) Cho M điểm di động cạnh BC Vẽ MP / / AB, MQ / / AC P, Q thuộc cạnh AC , AB Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác APMQ đạt giá trị lớn A E F H B D a) Chứng minh AEF ABC C 1.5đ Xét AEB AFC Có BAC chung 0,5 AEB AFC 90 (Vì BE , CF hai đường cao ABC ) 0,5 AEB AFC g g AEF ABC 0,5 HB.HC HA.HC HA.HB 1 b) Chứng minh AB AC AB.BC AC.BC 1,5đ Trang 6/2 Xét CEH CFA Có ACF chung 0,25 CEH CFA 90 (Vì BE , CF đường cao) 0,25 CEH CFA g g CE HC CF AC 0,25 HB.HC HB.CE S BHC AB AC AB.CF S ABC 0,25 HA.HB S AHB HA.HC S AHC ; AC BC S AB BC S ABC ABC Tương tự: 0,25 HB.HC HA.HC HA.HB S BHC S AHB S AHC S ABC 1 AB AC AB.BC AC.BC S ABC S ABC 0,25 c) Cho M điểm di động cạnh BC Vẽ MP / / AB, MQ / / AC P, Q thuộc cạnh AC , AB Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác APMQ đạt giá 1,0đ trị lớn A Q E F H B P S CM MP / / AB CMP CBA CMP SCBA BC Vì S BMQ Tương tự: S ABC BM BC C M D 0,25 S APMQ S ABC SCMP S BMQ x y CM BM S ABC S ABC BC BC x y 0,25 2 Áp dụng bất đẳng thức Trang 7/2 S APMQ S ABC CM BM S BC BC S ABC ABC 2 0,25 Dấu đẳng thức xảy CM BM M trung điểm BC Vậy M trung điểm BC diện tích tứ giác APMQ lớn Câu (1,0 điểm) 0,25 Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz 1 Chứng minh x2 y 2x y z y z x 2z 5 xy x yz y zx z A Đặt : 1,0 x2 y2 2x y z y z x2 2z xy x yz y zx z x y 2x 2xy 2x xy x 2 2 xy x xy x xy x Ta có: xy x y2 z2 y z x 2z 2 ; 2 yz y zx z zx z ; Tương tự: yz y 0,25 1 A 6 xy x yz y zx z 11 1 Áp dụng bất đẳng thức: a b a b với a, b, c dương dấu đẳng thức xảy a b 0,25 1 1 1 xy x xy x 1 xy x 1 1 1 1 ; Tương tự: yz y 4 yz y 1 zx z 4 zx x A 6 0,25 1 1 1 xy x yz y zx z A 6 1 z xz 1 xyz zx z xz yz xyz xz zx z 1 A 6 1 z xz 1 A 6 5 zx+z+1 xz z 1 zx z 1 Dấu đẳng thức xảy x y z 1 0,25 Trang 8/2