Toan 9 viet tri (21 22)

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có: 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Rút gọn biểu thức 3 A 10  3 ta phân số tối giản  C B 13  a a,b  * Khi a  b b  D 42    Câu Đường thẳng d : y  m  x  2m  qua điểm I 1;3 Hệ số góc d A Câu Giá trị biểu thức A  B x 2 C  x  x B    2 D C D    Câu Tìm m để phương trình m  x   m có nghiệm x   4 A m  1;   5  B m   4 D m   1;   5 C m 1 Câu Diện tích tồn phần hình lập phương 294cm Thể tích khối lập phương A 343cm B 21cm C 434cm D 49cm Câu Cho hình vẽ bên Biết BC song song với MN , B BC  2cm, AC  3cm MN  4,5cm Độ dài cm C cm A đoạn thẳng AM A 3cm B 9cm M D 6,75cm cm Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH 4,5 cm N C B H (tham khảo hình vẽ bên) Biết BH 1cm,CH  3cm cm Độ dài cạnh AC A 12cm B 6cm C 2cm D 3cm cm A C Trang Câu Cho đường trịn tâm O có hai dây AB,CD C vng góc với I (tham khảo hình vẽ bên) Biết IA  3cm, IB  7cm Tổng khoảng cách từ O đến hai dây AB CD A 4cm B 5cm C 6cm D 8cm O K A I B H D     Câu Hai đường thẳng d1 : y  3m  x  5, m  d2 : y  x  cắt điểm   M a;b Giá trị nhỏ biểu thức b2  2a  21 A 16 B 21 C 12 a , b R  a , b  , a  b Câu 10 Cho thỏa mãn a  b   a2  a2  b2  2021 A 2021 B 2022 C 2024 Câu 11 Có giá trị nguyên âm m để phương trình x    D 25  b2 Giá trị biểu thức D 2030  mx  có nghiệm nguyên? A B C D   Câu 12 Cho tam giác ABC có B  2C , AB  9cm BC 16cm Độ dài cạnh AC A 12cm B 15cm C 18cm D 25cm Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH , trung tuyến AM AH : AM  40 : 41 (tham khảo hình vẽ bên) Tính diện tích tam giác A ABC biết BC  41cm A 10cm B 20cm B C 20 41cm D 10 41cm H M C Câu 14 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Ba điểm M , N , P di động cạnh AB, BC ,CA cho MN  AB, NP  BC , MP  AC Diện tích tam giác MNP 2 3R B 3R C 3R D 3R 4 Câu 15 Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường trịn bán kính R Giả sử AB R, điểm I thay đổi nằm ABC Tổng bình phương khoảng cách từ I đến ba cạnh ABC có giá trị nhỏ A 3R 3R 3R 3R B C D 8 Câu 16 Đội tuyển Tốn trường THCS có học sinh gồm nam nữ Chọn ngẫu nhiên A học sinh để tham gia trải nghiệm đội tuyển khác Hỏi có cách chọn học sinh có nam nữ, đồng thời số học sinh nam nhiều số học sinh nữ? A 15 B 45 C 30 D 10 Trang II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình tập số nguyên: 2xy  5x  6y  22  1 2021     Chứng minh 2) Cho ba số nguyên dương m, n, p thỏa mãn m n p mnp  2021  m   2021  n   2021  p  số phương 2 Câu (3,0 điểm) 1) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn b 2a c   abc b   2a   Tính giá trị  biểu thức P  ac  c    bc  b    2) Giải phương trình: x  6x  15x  2x     ab  a bc  2x   14  Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AD, BE ,CF đồng quy H 1) Chứng minh BH BE  CH CF  BC 2) Tính AH BH CH   AD BE CF 3) Từ điểm M thuộc cạnh AC , kẻ đường thẳng d1 song song với BA d2 song song với BC Gọi giao điểm d1 với BC K , d2 với BA P Xác định vị trí M AC cho hình bình hành BPMK có diện tích lớn 4) Các đường cao AD, BE ,CF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm A, B ,C  Chứng minh rằng: AD BE CF       AA sin2 BAC BB  sin2 CBA CC  sin2 ACB Câu (2,0 điểm) Xét a,b,c số thực dương thỏa mãn a  b  c  2021 Tìm giá trị nhỏ biểu thức K  1 1    2 a  b  c ab bc ca …………HẾT……… Họ tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang Trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2021 - 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN (HDC gồm 07 trang) PHẦN I ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Đáp án B A A B A Câu 10 11 12 13 Đáp án C D C B A D 14 C D 15 D A 16 B PHẦN II ĐÁP ÁN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình tập số nguyên: 2xy  5x  6y  22  1 2021     Chứng minh 2) Cho ba số nguyên dương m, n, p thỏa mãn m n p mnp 3,0  2021  m   2021  n   2021  p  số phương 2 1) Giải phương trình tập số nguyên: 2xy  5x  6y  22    2,0      Vì x, y     2y  5  ;  x  3   1.7  7.1    1   7    7   1 Ta có: x 2y   2y     x  2y   x  1  TH1:  2y   x    TH2:  2y  1  x   y 1 x 10  y   x    TH3:  y    x    TH4:  2y   0,5 0,25 0,25 0,25 x   y   0,25 x   y  0,25      Vậy nghiệm nguyên phương trình: 4;1 ; 10;  ; 2;  ;  4;  0,25 1 2021     2) Cho ba số nguyên dương m, n, p thỏa mãn m n p mnp  Chứng minh 2021  m Ta có: 1,0   2021  n   2021  p  số phương 2 1 2021      np  mp  mn  2021 m n p mnp    0,25      1 2 +) 2021  m np  mp  mn  m  p m  n  m m  n  m  n m  p , 0,25 Trang            2 2 +) 2021  n np  mp  mn  n  p m  n  n m  n  m  n p  n ,            0,25    2 +) 2021  p np  mp  mn  p  p n  p  m n  p  n  p m  p , 2 2 Từ ; ;  2021  m 2021  n 2021  p   m  n m  p n  p       0,25 Vì m, n, p   nên   m  n   m  p  n  p  số phương      2021  m2 2021  n2 2021  p2 số phương Câu (3,0 điểm)     1) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn b 2a c   abc b   2a   Tính giá trị biểu thức P  ac  c   bc  b   3,0 ab  a bc    2) Giải phương trình: x  6x  15x  2x  2x   14      1) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn b 2a c   abc b   2a   Tính giá trị biểu thức P   ac  c     bc  b  1,0 ab  a bc       Ta có: b 2a c   abc b   2a    2a  b  abc   0,25 Vì a,b,c   2a  b    abc    abc 1 +) ac  c  1 +) bc  b   +) ab  ab  a bc  ab   ac  c  a a   bc  b     ab  a bc  ab    Từ ; ;  P   ab a2bc  abc  ab a abc  ab  a   ab , a  ab  a  ab  a  1 0,25   , 0,25   , ab  a  a  a  ab  1  ab  a  ab  a   a  ab  a  ab  1 0,25 Vậy P 1   2) Giải phương trình: x  6x  15x  2x  2x   14  2,0 ĐK: x  0,25   2x   2x    12x  8  3 x  2   2x  5  2x   Pt  x  6x  15x  14  2x    x3  6x2    x2    x  2    0,25  2x   x   2x   2x   x   x         2x   2x  5  x     2x   0,25 0,5 Trang  2x   x   x    2x   2x   3     Vì  x   x  2x   2x   3    x   x   2x    x   2x     x   (thỏa mãn) x  2x   Vậy nghiệm phương trình x    x  2         0,5 0,25 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AD, BE ,CF đồng quy H 1) Chứng minh BH BE  CH CF BC 2) Tính AH BH CH   AD BE CF 3) Từ điểm M thuộc cạnh AC , kẻ đường thẳng d1 song song với BA d2 song 4,0 song với BC Gọi giao điểm d1 với BC K , d2 với BA P Xác định vị trí M AC cho hình bình hành BPMK có diện tích lớn 4) Các đường cao AD, BE ,CF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm A, B ,C  Chứng minh rằng: AD BE CF       AA sin2 BAC BB  sin2 CBA CC  sin2 ACB A E F H B C D 1,0 1) Chứng minh BH BE  CH CF BC  chung,   Ta có: BHD ∽ BCE có B HDB  BEC  90 BH BD    BH BE  BC BD BC BE   Ta có: CHD ∽ CBF có C chung, CDH CFB  90 CH CD    CH CF CB CD CB CF 0,25         Từ   BH BE  CH CF  BC BD  CB CD BC BD  CD BC 0,25 0,5 Trang AH BH CH   AD BE CF AH BH CH  AD  HD   BE  HE   CF  HF     Ta có:      AD BE CF  AD   BE   CF    HD HE HF  HD   HE   HF   1      1    1  3    AD   BE   CF    AD BE CF  1,0 2) Tính 0,25  1 HD SBHC SBHC  HD.BC ;SABC  AD.BC   2 AD SABC  2 1 HE SCHA SCHA  HE AC ;SABC  BE AC   2 BE SABC  3 S 1 HF SAHB  HF AB ;SABC  CF AB   AHB 2 CF SABC  4      Thay ; ; vào  3  SABC SABC AH BH CH   3  AD BE CF 0,25  SBHC SCHA SAHB     SABC SABC SABC    0,25    AH BH CH Vậy    AD BE CF 3) Từ điểm M thuộc cạnh AC , kẻ đường thẳng d1 song song với BA d2 song song 0,25 1,0 với BC Gọi giao điểm d1 với BC K , d2 với BA P Xác định vị trí M AC cho hình bình hành BPMK có diện tích lớn A E F a H P M I B D b K C Ta có: AD cắt MP I Vì AD  BC  AI  MP Gọi S1 diện tích hình bình hành BPMK , S2 diện tích tam giác ABC Ta có: S1  ID.MP ;S2  BC AD S ID.MP MP ID   2 , S2 BC AD BC AD 0,25  Trang Đặt AM a;MC b,(a  0;b  0) MP AM a ID MC b Vì MP / / BC    ;   BC AC a  b AD AC a  b S1 a b 2ab , Thay vào ta S  2a  b a  b  2 a b        0,25   Vì a  0;b   a  b  ab  a  b  4ab, 0,25 S1 2ab 2ab 1    S1  S2 Từ ,  S  4ab 2 a b      Dấu ''  '' xảy a b tức M trung điểm AC Vậy diện tích hình bình hành BPMK lớn SABC M trung điểm AC AD , BE , CF 4) Các đường cao cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm 0,25 A, B ,C  Chứng minh rằng: 1,0 AD BE CF       2 AA sin BAC BB  sin CBA CC  sin ACB A B' J E C' F H O B C D A'   Gọi O;R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BC AC AB    2R *    sin BAC sinCBA sin ACB BC BC BC O    2R   Gọi J điểm đối xứng B qua BC sin BAC sin BJ C 2R AC AB  2R; 2R Chứng minh tương tự ta   sinCBA sin ACB   Ta chứng minh 0,25   Áp dụng * :     sinC 2R sin ACB AD AD AB sin B    sinCBA    90  C   AA AB AA 2R sin B cos C  B    0,25  Trang  sinC  AD AD sin B     Vì  cos C  B 1   sin B sinC     AA AA sin2 BAC sin2 BAC  Đẳng thức xảy C B   Tương tự:  1  sin A  BE sinC  A   , đẳng thức xảy C   2  BB sin CBA sin CBA  sin B  CF sin A  A   , đẳng thức xảy B   CC  sin2 ACB sin ACB   0,25      Cộng vế bất đẳng thức , , sử dụng bất đẳng thức Cauchy:  sinC   sin B  AD BE CF sin B sinC sin A sin A            AA sin2 BAC BB  sin2 CBA CC  sin2 ACB sin2 B sin2 C sin2 A  sinC sinC sin A  sin A  sin B  sin B  B  C  3  Dấu xảy A    sin B sin C sin A AD BE CF    3, dấu xảy tam giác Vậy    AA sin2 BAC BB  sin2 CBA CC  sin2 ACB ABC Câu (2,0 điểm) Xét a,b,c số thực dương thỏa mãn a  b  c  2021 Tìm giá trị nhỏ 0,25 2,0 1 1    biểu thức K  2 a  b  c ab bc ca Ta chứng minh: 1    a b c a bc  1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 1 1    33 a b c abc  1 1 1  a  b  c     9     a b c a bc a b c 0,25 a  b  c  33 abc;   Dấu ''  '' xảy a b c 1 1      Áp dụng  K  2 2 ab  bc  ca a  b  c ab bc ca a  b  c Ta có:  0,25   1      2 2 a  b  c ab  bc  ca  a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca  ab  bc  ca  9   a  b  c  2ab  2bc  2ca ab  bc  ca a b c 2 Ta lại có: a2  b2  c2  ab  ac  bc   a  b  c     ab  bc  ca  ab  ac  bc  0,5  2 0,25 Trang 10 a bc 3 30 30  K     2 2 Từ ; a bc a bc 2021 a b c a b c 2021  a b c  Dấu ''  '' xảy  a  b  c  2021 30 2021 a b c  Vậy giá trị nhỏ biểu thức K 2021  ab  bc  ca                  0,5 0,25  Lưu ý: - Chỉ cho điểm tối đa với làm xác, bố cục hợp lý, trình bày rõ ràng, đủ nội dụng; - Điểm toàn điểm trắc nghiệm tự luận, khơng làm trịn (điểm lẻ tự luận 0,25;điểm trắc nghiệm theo cấu trúc) - Khuyến khích làm sáng tạo, thể quan điểm học sinh (mở), cách diễn đạt khác mà đảm bảo nội dung theo yêu cầu./ Trang 11