Toan 9 viet tri (22 23)

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có: 03 trang) Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Giá trị tham số m để phương trình  m  2m  x  m  0 vô nghiệm A m 0 B m 2 C m  D m 0 Câu x0  26  15  26  15 nghiệm phương trình A x  0 B x  x 0 C x  x  0 D x  x 0 Câu Giá trị tham số m để I  3;  24  thuộc đường thẳng y 2 x  m  25 A  B 10 C D Câu Phương trình đường thẳng qua A  2;   cắt trục tung điểm có tung độ  16 A y 4 x  16 B y 2 x  16 C y 4 x  16 D y x  16 Câu Cho ABC nhọn, đường cao AM , BN , CP; trực tâm H Giá trị biểu thức HM HN HP   AM BN CP A B C Câu Cho ABC nhọn, đường cao AM , BN , CP Tỉ số D AM BN CP AB.BC.CA A sin A.sin B.sin C B cos A.cos B.cos C C sin A  sin B  sin C D cos A  cos B  cos C Câu Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 b2 c2   2023 Giá trị biểu thức a b b c c a b2 c2 a2   a b b c c a A B C 2023 D 4046 Trang Câu Cho điểm O nằm hình bình hành ABCD Tỉ số A B S AOB  SCOD S ABCD C D Câu Cho a, b số thực thỏa mãn a  b  4a  2b  0 Giá trị P 5ab  a  b A  11 B  12 C  14 D  10 Câu 10 Phân tích đa thức x  3x  18 thành nhân tử, ta A  x  3  x   B  x  3  x   C  x  3  x   Câu 11 Cho ABC vuông A , đường cao AH Biết A B 16 C D  x  3  x   AB AC BH  ; tỉ số CH 16 D Câu 12 Xét M điểm di động nửa đường tròn tâm O, đường kính AB 2 R Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B P Q Giá trị nhỏ OP.OQ A R C R B R 2 D R Câu 13 Cho đa thức f  x  = ax  bx  c Biết f   2020; f  1 2021; f   1 2022; f    A 2024 B 2025 C 2026 D 2027 Câu 14 Nếu a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  11 6 a   b   c a  b  c A 15 B 16 C 17 Câu 15 Số nghiệm phương trình  x    A D 19 1  x  1  x  3  B C Câu 16 Một tre cao 8m bị gió bão làm gãy ngang thân, D Điểm gãy chạm đất cách gốc 4m Điểm gãy cách gốc 4m Gốc A 2,5m B 3m C 3,5m Ngọn D 4m Trang II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,5 điểm) 1) Bạn An viết lên bảng 10 số tự nhiên liên tiếp từ đến 10 Bạn Bình muốn xóa số số bảng, cho số cịn lại khơng có số chia hết cho Hỏi bạn Bình phải xóa số? 2) Cho x, y số nguyên dương có tổng 2022 Chứng minh xy khơng chia hết cho 2022 Câu (3,5 điểm) Giải phương trình sau: 1) x   x   x  2 2) x  x  5  x  1 x  Câu (3,5 điểm) Cho đường trịn  O  , đường kính AB cố định Điểm C thay đổi thuộc  O  (C không trùng với A B) Gọi d1 , d đường thẳng qua A, B song song với OC Gọi D, E , F hình chiếu C AB, d1 , d 1) Chứng minh EF tiếp tuyến  O   2) Chứng minh EDF 90 3) Tìm vị trí điểm C cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn Câu (1,5 điểm) Xét   x 2, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x  x  …………HẾT……… Họ tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:………………… Cán coi thi khơng giải thích them Trang PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN (HDC gồm 04 trang) PHẦN I ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Đáp án A B A C B Câu 10 11 12 13 Đáp án A A C C D A 14 C C 15 D B 16 B PHẦN II ĐÁP ÁN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Nội dung Điểm Câu (3,5 điểm) 1) Bạn An viết lên bảng 10 số tự nhiên liên tiếp từ đến 10 Bạn Bình muốn xóa số số bảng, cho số cịn lại khơng có số chia hết cho Hỏi bạn Bình phải xóa số? 3,5 2) Cho x, y số nguyên dương có tổng 2022 Chứng minh xy không chia hết cho 2022 1) Bạn An viết lên bảng 10 số tự nhiên liên tiếp từ đến 10 Bạn Bình muốn xóa số số bảng, cho số cịn lại khơng có số chia hết cho Hỏi bạn Bình phải xóa 1,5 số? Ta chứng minh bạn Bình cần xóa số Thật Ta chia 10 số bảng thành cặp  1,  ;  2,  ;  3,9  ;  4,8  ;  5,10  cặp cặp số 0,5 chia hết cho nhau, đó, để thỏa mãn yêu cầu đề bài, bạn Bình cần xóa số 0,5 cặp, hay Bình cần xóa tối thiểu số Tiếp theo, ta phương án xóa số bạn Bình Bình xóa số nhỏ 1, 2, 3, 4, Các số lại 6, 7, 8, 9, 10 thỏa mãn yêu cầu toán 2) Cho x, y số nguyên dương có tổng 2022 Chứng minh xy không chia hết cho 2022 Ta chứng minh toán phản chứng Giả sử tồn số nguyên dương x, y thỏa mãn x  y 2022 xy 2022 2.3.337 Do xy2 nên x2 y2 Mặt khác x  y 20222 nên số x y chia hết cho Lập luận tương tự, ta thu x y đồng thời chia hết cho 337 Do x2022 y2022 Kết hợp với giả thiết x, y số nguyên dương, suy x, y 2022 Điều mâu thuẫn với giả thiết ban đầu x  y 2022 Do đó, điều giả sử phản chứng sai, hay Trang 0,5 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 ta có điều phải chứng minh Câu (3,5 điểm) 1) Giải phương trình x   x   x  2 3,5 2) Giải phương trình: x  x  5  x  1 x  1) Giải phương trình x   x   x  2 x   x   x  2  x   x    x 2  x   x  1x  Vì:  x  0 x ,    x 3  x x  x   x    x  x     x 2  x 1,5 0,25 0,25 0,25 Dấu '=' xảy khi:  x  x    x  0    x 3  x  x  0    x  0  3  x 0  0,25  x 1   x 2  x 2  x 3  0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm là: S  2 0,25 2) Giải phương trình: x  x  5  x  1 x    PT:  x  1  2 x  5  x  1 a  x  x  Đặt:  ta được: b  x   b   2a  2b 5ab  2a  5ab  2b 0  2a  4ab  ab  2b 0  a 2b  2a  a  2b   b  a  2b  0   a  2b   2a  b  0    2a b  x  0 Trường hợp 1: a 2b  x  2 x    2  x  1 4  x  3  x   x     2  x  x  8 x  12 7 x  x  11 0  1 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  76 76  PT (1) vơ nghiệm x  x  11 7  x      x 7 7  0,25 Trang  x  0  2 4  x  1 2 x  Trường hợp 2: 2a b   x  1  x     x   2 x  x  0  x     x    14   14    x     x    14   0,25 0,25 Vậy nghiệm phương trình x    14 Câu (3,5 điểm) Cho đường trịn  O  đường kính AB cố định Điểm C thay đổi thuộc  O  (C không trùng với A B) Gọi d1 , d đường thẳng qua A, B song song với OC Gọi D, E , F hình chiếu C AB, d1 , d 3,5 1) Chứng minh EF tiếp tuyến  O   2) Chứng minh EDF 90 3) Tìm vị trí điểm C cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn d1 E d2 C H F A O D B 1) Chứng minh EF tiếp tuyến  O  1,0 Ta có: AE  CE , BF  CF , AE / / BF / /OC (Vì E , F hình chiếu C d1 ; d )  E , C , F thẳng hàng  OC  FE  FE tiếp tuyến  O  0,5 0,5  2) Chứng minh EDF 90 1,5   Vì AE / /OC  EAC (hai góc so le trong) Vì OA OC R  AOC cân O OCA      OAC OCA (1)  EAC OAC 0,5  AEC ADC  ch  gn   CE CD Tương tự CD CF  CD  FE 0,5 Trang   EDF vuông D  EDF 90 3) Tìm vị trí điểm C cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn Kẻ DH  FE  H  FE  0,5 1,0 0,25 1 Ta có: S DFE  DH FE  DH 2CD DH CD 2 0,25 2 AB AB Theo quan hệ đường xiên hình chiếu  DH CD CD OC   S DFE  4 Dấu đẳng thức xảy C giao điểm trung trực đoạn thẳng AB với  O  2 0,25 0,25 Câu (1,5 điểm) Xét   x 2, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 1,5 P x  x  2 Ta có P  x  x  3   Dấu xảy x 0 0,5 Vậy MinP  x 0 2 Ta có P  x  3x  20  18  x    x  x  10   18  x     x  1  x      18 18 0,75 Đẳng thức xảy x 2 Vậy MaxP 18 x 2 Lưu ý: - Chỉ cho điểm tối đa với làm xác, bố cục hợp lý, trình bày rõ ràng, đủ nội dụng; - Điểm toàn điểm trắc nghiệm tự luận, khơng làm trịn (điểm lẻ tự luận 0,25;điểm trắc nghiệm theo cấu trúc) - Khuyến khích làm sáng tạo, thể quan điểm học sinh (mở), cách diễn đạt khác mà đảm bảo nội dung theo yêu cầu./ 0,25 Trang Trang Trang Trang 10 Trang 11 Trang 12 Trang 13 Trang 14 Trang 15