PHỊNG GD&ĐT THANH BA TRƯỜNG THCS LƯƠNG LỖ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian phát đề Đề thi có 02 trang I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm) Hãy ghi câu trả lời (Đáp số) cho câu hỏi sau vào giấy thi: 3 Câu Kết rút gọn biểu thức a b a b 6ab … Câu Kết phân tích đa thức x 1 3x x 1 x thành nhân tử … Câu Số dư phép chia 2222 5555 cho Câu Dư phép chia x99 x55 x11 x cho x … Câu Cặp số (x; y) thỏa mãn x y x 1 0 … Câu Biết biểu thức P = n 1 n n 1 có giá trị số nguyên tố giá trị số tự nhiên n … Câu Tập nghiệm phương trình x 1 x x 3 x 24 … Câu Các cặp số nguyên dương x, y nghiệm phương trình xy 10 x y 15 Câu Một ô tô từ A đến B với vận tốc 25km/giờ Lúc từ B đến A người với vận tốc 30km/giờ Thời gian 40 phút Độ dài quãng đường AB … Câu 10 Cho số dương a, b, c thỏa mãn b 2c a b c b c a c a b Giá trị c a b 3a biểu thức T 10 2017 … a b c Câu 11 Cạnh bé tam giác vuông 6cm, cạnh huyền có độ dài lớn cạnh cịn lại 2cm Độ dài cạnh huyền … Câu 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = 9cm, BC = 27cm Độ dài đoạn BH … Câu 13 Cho tam giác NMP vuông M, đường cao MS Biết NS = 5cm, SP = 45cm Độ dài đường cao MS … Câu 14 Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 14cm, BC = 16cm Tia phân giác góc ABC cắt AC M Độ dài đoạn thẳng MA, MC … Câu 15 Cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn phương trình x y 13 + = là: 15 a b b c c a Câu 16 Biết abc 0 a b c 0 Giá trị biểu thức C 1 1 1 I TỰ LUẬN (12,0 điểm) Trình bày lời giải đầy đủ cho toán sau: Câu (3,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho giá trị biểu thức n2 2n 12 số phương b) Giải phương trình: x 17 x x 6 2000 1007 672 Câu (3,0 điểm) a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x y x y z y 5 z Tính giá trị biểu thức S 2 x 10 y 23z a b 3c b) Cho abc = 3, rút gọn biểu thức: A ab a bc b ac 3c Câu (4,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh rằng: a) Tứ giác BEDF hình bình hành; b) CH.CD = CB.CK; c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2 Câu (2,0 điểm) Cho xyz 0 x y z 0 Chứng minh rằng: x2 y2 z2 2 2 2 2 x y z y z x z x y Hết -Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Thí sinh sử dụng máy tính Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: TỐN Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang Đáp án Điểm I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi ý 0,5 điểm, học sinh tìm thiếu thừa kết khơng điểm Câu 2a3 Câu x 1 Câu Câu 50 km Câu 10 133 320 Câu 11 10 cm Câu 11 Câu 12 BH = 3cm Câu x; y 1;0 Câu 13 MS = 15cm Câu n=2 Câu 14 MA = cm; MC = cm Câu 0; 5 Câu 15 x, y 1;2 Câu (3; 15); (5; 7) Câu 16 C =-1 x x 1 II TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho giá trị biểu thức n2 2n 12 số phương b) Giải phương trình: x 17 x x 6 2000 1007 672 a) Vì n2 2n 12 số phương nên đặt n2 2n 12 k (k N) 0,25 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 0,50 Nhận xét: k + n + > k - n - chúng số nguyên dương, nên k n 1 11 k 6 n 4 k n 1 0,50 Vậy: n = giá trị biểu thức n2 2n 12 số phương 0,25 x 17 x x x 17 x x 6 1 2 0 2000 1007 672 2000 1007 672 0,50 b) x 2017 x 2017 x 2017 1 0 x 2017 0 2000 1007 672 2000 1007 672 x 2017 ( 0,50 1 0 ) 2000 1007 672 0,50 Câu (3,0 điểm) a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x y x y z y 5 z Tính giá trị biểu thức S 2 x 10 y 23z a b 3c b) Cho abc = 3, rút gọn biểu thức: A ab a bc b ac 3c 2 4 y z 5 a) Từ (1) (2), suy ra: 2 x y z 0 0,25 Giả sử tồn hai số a, b thỏa mãn: 0,50 a x y z b y z 2 x 10 y 23z a 2 Đồng hệ số, ta tìm được: a 4b 10 a 7b 23 Vậy: S 2 x a a 2 b 3 0,50 y z y z 2.0 3.5 15 b 3c a ab 0,25 3abc b) A ab a bc b ac 3c ab a a (bc b 1) ab(ac 3c 3) a ab 3abc a ab 3.3 ab a abc ab a abca 3abc 3ab ab a ab a 3a 3.3 3ab a ab 1 ab a ab a ab a 0,50 0,50 0,50 Câu (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh rằng: a) Tứ giác BEDF hình bình hành b) CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 H C B F O A E D K 0,25 a) Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) BE // DF Chứng minh: BEO DFO( g c g ) BE = DF 0,25 0,25 Suy ra: Tứ giác BEDF hình bình hành 0,25 b) Ta có: ABC ADC HBC KDC 0,50 Chứng minh : CBH CDK ( g g ) 0,50 CH CK CH CD CK CB CB CD c) Chứng minh : AFD AKC ( g g ) 0,50 0,25 AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g g ) 0,25 0,25 CF AH CD AC Mà : CD = AB 0,25 CF AH AB AH CF AC AB AC Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đpcm) Câu (2 điểm) Cho xyz 0 x y z 0 Tính giá trị biểu thức: B 0,25 0,25 x2 y2 z2 x2 y z y z x2 z x2 y Ta có y z x x y z 2 yz Tương tự y z x 2 zx ; z x y 2 xy 0,75 x2 y2 z2 x y z 3xyz xyz 0 Khi đó: yz zx xy xyz xyz 0.75 CM lại HĐT: Nếu x y z 0 x3 y z 3xyz ( Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa) - Hết - 0,5