Bài 4 tiệm cận

BÀI TIỆM CẬN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Đường thẳng y  y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm f  x   y0 lim  y0 số y  f  x  xlim x     Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x  ; lim f  x   ; x  x0 x  x0 lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định đường tiệm cận dựa vào định nghĩa Phương pháp giải Tiệm cận ngang f  x   y0 Đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  xlim   f  x   y0 xlim  Tiệm cận đứng Đường thẳng x  x0 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x  ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 Bài tập Bài tập 1: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  tạo với hai trục tọa độ hình chữ x nhật có diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Bài tập 2: Biết đường tiệm cận đường cong  C  : y  6x 1  x2  trục tung cắt x tạo thành đa giác  H  Mệnh đề đúng? A  H  hình chữ nhật có diện tích B  H  hình vng có diện tích C  H  hình vng có diện tích 25 D  H  hình chữ nhật có diện tích 10 Dạng 2: Tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Để tồn đường tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b c 0 ad  bc 0 cx  d Khi phương trình đường tiệm cận + Tiệm cận đứng x  d c + Tiệm cận ngang y  a c Bài tập Bài tập 1: Giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y   2m  1 x  x m có đường tiệm cận ngang y 3 A m 1 B m 0 C m 2 D m 3 Bài tập 2: Tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  A  B  \  0 C  \  1 Bài tập Tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x có tiệm cận đứng mx  D  \  0; 1 x khơng có tiệm cận đứng mx  A   1 B 0;   3 1  C   3 59 D  0 ax  b Biết đồ thị hàm số cho qua điềm A  0;  1 có đường x 1 tiệm cận ngang y 1 Giá trị a  b Bài tập 4: Cho hàm số y  A B C Bài tập 5: Biết đồ thị hàm số y  D  a  3 x  a  2019 x   b  3 nhận trục hoành làm tiệm cận ngang trục tung làm tiệm cận đứng Khi giá trị a  b A B -3 C D Bài tập 6: Giá trị thực tham số m để đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  x 1 qua 2x  m điểm A  1;  A m 4 B m  C m  D m 2 mx  với tham số m 0 Giao điểm hai đường tiệm cận đồ x  2m thị hàm số thuộc đường thẳng đây? Bài tập 7: Cho hàm số y  A x  y 0 B x  y 0 C x  y 0 Bài tập 8: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  D y 2 x 4x  có tiệm cận đứng nằm x m bên phải trục tung A m  m  B m  C m  m  D m  Dạng 3: Tiệm cận đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ Phương pháp giải - Tiệm cận đồ thị hàm số y  - Đồ thị hàm số y  A với A số thực khác f  x  đa thức bậc n  f  x A ln có tiệm cận ngang y 0 f  x - Đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x0 nghiệm f  x f  x  hay f  x0  0 - Tiệm cận đồ thị hàm số y  - Điều kiện để đồ thị hàm số y  f  x g  x f  x g  x với f  x  , g  x  đa thức bậc khác có tiệm cận ngang bậc f  x   bậc g  x  60 - Điều kiện để đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x g  x x0 nghiệm g  x  không nghiệm f  x  x0 nghiệm bội n g  x  , đồng thời nghiệm bội m f  x  m  n Bài tập Bài tập 1: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  mx  x  có tiệm cận 2x 1 đứng A m 8 B m 0 C m  D m  x (m, n tham số) nhận đường thẳng x 1 x  2mx  n  tiệm cận đứng, giá trị m  n Bài tập 2: Biết đồ thị hàm số y  A B 10 Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số y  C -4  2m  n  x  mx  x  mx  n  D -7 nhận trục hoành trục tung làm hai tiệm cận Giá trị m  n A B C D -6 ax  x  có đồ thị  C  (a, b số thực dương ab 4 ) Biết x  bx  có tiệm cận ngang y c có tiệm cận đứng Giá trị tổng Bài tập 4: Cho hàm số y  C T 3a  b  24c A B C D 11 Dạng Tiệm cận đồ thị hàm số vô tỷ Cho hàm số vô tỷ y  f  x  - Tìm tập xác định D hàm số - Để tồn tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  tập xác định D hàm số phải y chứa hai kí hiệu -∞ +∞ tồn hai giới hạn xlim  lim y hữu hạn x   Bài tập Bài tập 1: Biết đồ thị hàm số y 2 x  ax  bx  có tiệm cận ngang y  Giá trị 2a  b3 A 56 B -56 C -72 Bài tập 2: Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  đường tiệm cận ngang y 2 ? 61 D 72 mx  x  x  có 2x  A B Vơ số C D Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên hàm số y  f  x  , xác định tiệm cận đồ thị hàm số A y với A số thực khác 0, g  x  xác định theo f  x  g  x Phương pháp giải - Xác định tiệm cận đứng: + Số tiệm cận đồ thị hàm số y  A số nghiệm phương trình g  x  0 g  x + Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên hàm số y  f  x  để xác định số nghiệm phương trình g  x  0 để suy số đường tiệm cận đứng - Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận đồ thị, bảng biến thiên hàm số để xác định Bài tập Bài tập Cho hàm số y  f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ Tổng số đường tiệm cận hàm số y  A f  x  1 B C D Bài tập Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ bên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A B C 62 f  x  x  3 D 3 Bài tập Cho hàm số bậc ba f  x  ax  bx  cx  d  a, b, c, d    có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số g  x   có đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang? f   x2   A B C D Dạng 6: Biết đồ thị, bảng biến thiên hàm số y  f  x  , xác định tiệm cận đồ thị hàm   x số y  với   x  biểu thức theo x, g  x  biểu thức theo f  x  g  x Phương pháp giải - Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  tìm nghiệm phương trình g  x  0 xác định biểu thức g  x - Rút gọn biểu thức   x tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang g  x Chú ý: - Điều kiện tồn   x  - Sử dụng tính chất đa thức g  x  có nghiệm x x0 g  x   x  x0  g1  x  , g1  x  đa thức Bài tập Bài tập Cho hàm số bậc ba f  x  ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số x g  x   3x   x  x  f  x   f  x   có đường tiệm cận đứng? A B C D Bài tập Cho hàm số bậc ba f  x  ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ 63 Đặt g  x   x2  x Đồ thị hàm số y g  x  có đường tiệm cận đứng? f  x  f  x A B C D Bài tập Cho f  x  hàm đa thức bậc có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số  x    x  x  3 g  x  f  x   f  x    A có đường tiệm cận đứng? B C D Bài tập Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức bậc thỏa mãn f  1   f  a   a3  3a  0, a  Đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x   A B x 1 f  x    x3  3x C Dạng 7: Biện số đường tiệm cận đồ thị hàm số phân thức y  g  x  đa thức 64 D f  x g  x , với f  x  Phương pháp giải f  x Điều kiện đề đồ thị hàm số y  đồ thị hàm số y  f  x g  x g  x có tiệm cận ngang bậc f  x   bậc g  x  Khi có đường tiệm cận ngang Điều kiện để đồ thị hàm số y  f  x g  x có tiệm cận đứng x  x0 Trường hợp 1: x  x0 nghiệm phương trình g  x  0 khơng nghiệm phương trình f  x  0 Trường hợp 2: x  x0 nghiệm bội n phương trình g  x  0 , đồng thời nghiệm bội m phương trình f  x  0 n  m m n Ta có f  x   x  x0  f1  x  với f1  x  khơng có nghiệm x  x0 g  x   x  x0  g1  x  với g1  x  nghiệm x  x0 Khi m f  x   x  x0  f1  x  f1  x  y   n g  x   x  x0  g1  x   x  x0  n  m g1  x  nên x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Bài tập Bài tập Gọi S tập giá trị nguyên dương tham số m để đồ thị hàm số y x2 có ba tiệm cận Tổng giá trị tập S x  x  m  3m A B 19 C D 15 Bài tập Tổng tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x2  m có hai x  3x  đường tiệm cận A -5 B C -1 D x  3x  Bài tập Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  x  mx  m  khơng có đường tiệm cận đứng A -12 Bài y tập B 12 Tập hợp C 15 giá trị thực tham 2x   mx  x 1  x2  4mx 1 có đường tiệm cận 65 D -15 số m để đồ thị hàm số A   1;0 B  0 C   ;  1   0 D   ;  1   1;   Dạng 8: Biện luận số đường tiệm cận đồ thị hàm số chứa thức Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Xác định đường tiệm cận - Tiệm cận ngang + Điều kiện cần: Để đồ thị hàm số chứa thức có tiệm cận ngang tập xác định phải có khoảng   ; a   b;   a lim b đường thẳng y a + Điều kiện đủ là: Tồn giới hạn xlim  x   y b tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho y   lim y  * Tiệm cận đứng: Tồn giá trị x0 để giới hạn xlim  x0 x  x0 x x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Bài tập mẫu Bài tập Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  mx  có ba tiệm x cận A m  C  m  B m  Bài tập Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  D m   x   x  3x có x   m  1 x  m  hai đường tiệm cận A m     m 1  B   m   m    m  C   m   m 1 D   m  Bài tập Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x  mx  có tiệm cận ngang A m  B  m  C m 1 D m  Bài tập Tập tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  bốn đường tiệm cận phân biệt 66 x mx  3mx  có 9  B  ;     A  0;   8  C  ;     8  D  ;   \  1   Bài tập Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y   x 1 x    m  x  2m có hai tiệm cận đứng? A B C D Dạng 9: Biện luận số đường tiệm cận đồ thị hàm ẩn Bài tập Cho hàm số y  f  x  liên tục  y  f  x  có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số g  x   A Bài tập 2020 có nhiều đường tiệm cận đứng? f  x  m B 2 Cho hàm C số g  x   m, n, p, q  , m 0  , h   0 Hàm số 2020 h  x   m2  m D với h  x  mx  nx  px  qx y h x  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số g  x  có hai tiệm cận đứng? A B 11 C 71 D 2019 Bài tập Cho hàm số y  f  x  hàm số bậc Đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ f   1  20 67 Đồ thị hàm số g  x   f  x   20 f  x  m (m tham số thực) có bốn tiệm cận A m  f  3 B f  3  m  f   1 C m  f   1 D f  3 m  f   1 f  x  1 ; lim f  x   Có giá Bài tập Cho hàm số f  x  liên tục  xlim  x   trị nguyên tham số m thuộc   2020; 2020 để đồ thị hàm số g  x   x  3x  x f  x  f  x  m tiệm cận ngang nằm bên đường thẳng y  A B C 68 D có Dạng 10: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Đồ thị hàm số y  ax  b có đường tiệm cận ad  bc 0, c 0 cx  d Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng x  d c a Phương trình đường tiệm cận ngang y  c  d a - Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận điểm I   ;  tâm đối xứng đồ  c c thị - Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có kích thước  d a nên có chu vi c c  d a ad C 2    diện tích S  c c  c Bài tập mẫu Bài tập Giá trị tham số m để đồ thị hàm số y   mx  có đường tiệm cận đứng qua điểm 2x  m  A  1; A m  B m 2 C m  Bài tập Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  D m  2x  tạo với hai trục tọa độ hình chữ x nhật có diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) Bài tập Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  D (đvdt) 2mx  m có đường tiệm cận x đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích A m 2 C m  B m 2 69 D m 4 Bài tập Cho đồ thị hai hàm số f  x   2x 1 ax  1 g  x   với a  Tất giá trị thực x 1 x2 dương tham số a để tiệm cận hai đồ thị hàm số tạo thành hình chữ nhật có diện tích A a 6 B a 4 Bài tập Cho hàm số y  C a 3 D a 1 x 1 có đồ thị  C  Hai đường tiệm cận  C  cắt I Đường x thẳng d : y 2 x  b (b tham số thực) cắt đồ thị  C  hai điểm phân biệt A, B Biết b  diện tích tam giác AIB A -1 15 Giá trị b B -3 C -2 D -4 Bài tập Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn  C1   C2  có phương trình  x  1 2   y   1  x  1  y 1 Biết đồ thị hàm số y  ax  b qua tâm  C1  , xc qua tâm  C2  có đường tiệm cận tiếp xúc với  C1   C2  Tổng a  b  c A B C D -1 Dạng 11: Bài toán khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số y  ax  b đến đường tiệm cx  d cận Phương pháp giải Giả sử đồ thị hàm số y  cận 1 : x  ax  b 2x  có đường tiệm Bài tập: Xét hàm số y  có hai cx  d x đường tiệm cận x 1 y 2 Khi d a  : y  c c tích khoảng cách từ điểm M đồ thị đến hai đường tiệm cận  ax0  b  Gọi M  x0 ;  điểm đồ thị cx0  d   Khi d1 d  M ; 1   x0  d d  M ;    cx  d d  c c d ax0  b a ad  bc   cx0  d c c  cx0  d  Vậy ta ln có d1 d  ad  bc  K số c2 không đổi 70  1 1 Khi d1  d 2 d1 d 2 K nên  d1  d  2 K d1 d  cx0  d ad  bc    cx0  d   ad  bc c c  cx0  d  Bài tập Bài tập Gọi M giao điểm đồ thị y  2x  với trục hoành Khi tích khoảng cách từ 2x  điểm M đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số cho A B Bài tập Cho hàm số y  2x  x C D  C  Gọi M điểm  C  , d tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đồ thị Giá trị nhỏ d A 10 B C D  3x Bài tập Cho hàm số y  có đồ thị  C  Điểm M có hồnh độ dương, nằm  C  3 x cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang  C  Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng  C  A B Bài tập Cho hàm số y  C D 4x  có đồ thị  H  Gọi M  x0 ; y0  với x0  điểm thuộc đồ x 1 thị  H  thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận  H  Giá trị biểu thức S  x0  y0  A B C D Dạng 12: Bài toán liên quan tiếp tuyến tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Giả sử đồ thị hàm số y  ax  b có đồ thị  C  cx  d có đường tiệm cận 1 : x  a  d a  : y  I   ;  c  c c d c Ta có dạng câu hỏi thường gặp sau Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB ad  bc 1 S IAB  IA.IB   K 2 c2 , Câu 2: Tìm điểm M   C  viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vng có 71  ax0  b  Gọi M  x0 ;  điểm đồ thị cx0  d   a) Cạnh huyền nhỏ Khi tiếp tuyến  C  M Dấu xảy IA  IB d:y ad  bc  cx0  d  x  x0   ax0  b cx0  d AB  IA2  IB  IA.IB  K b) Chu vi nhỏ Ta có IA  IB  AB 2 IA.IB  IA.IB 2 K  K Gọi A d    d 2bc  ad  acx0  A   ; c  cx0  d   c Dấu xảy IA  IB   ad  bc    IA  c) Bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ c  cx0  d   K Ta có R  AB  2 B d   Dấu xảy IA  IB  cx0  d  d a   B  x0  ;   IB  c c c  Do IA.IB  ad  bc c2  K số khơng d) Bán kính đường trịn nội tiếp lớn Ta có r  S K  p IA  IB  AB Vậy r lớn IA  IB  AB nhỏ đổi K  K Do IAB vuông I nên Dấu xảy IA  IB ad  bc 1 S IAB  IA.IB   K 2 c2 số e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn Gọi H hình chiếu I lên d, ta có khơng đổi 1 2 K      IH  IA.IB K IH IA IB  x A  xB 2 xM Ngồi ra, ta có  nên M  y A  y B  yM Dấu xảy IA  IB trung điểm AB Nhận xét: Các câu hỏi đẳng thức xảy IA  IB nên IAB vng cân I Gọi  góc tiếp tuyến d tiệm cận ngang    d ;    d ; Ox  45 nên hệ số góc tiếp tuyến k tan 45 1 Vậy toán câu ta quy toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 72 ax  b biết hệ số góc k 1 k  cx  d Bài tập Bài tập Cho hàm số y  2x  có đồ thị  C  Tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ x thuộc  C  cắt đường tiệm cận  C  tạo thành tam giác có diện tích A B  Bài tập Cho hàm số y  C  2 D x  C  Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số  C  2x  Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến đồ thị  C  đạt giá trị lớn A B Bài tập Cho hàm số y   C  Biết tiếp tuyến C D 2x  có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận x   C  M cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Khi đó, diện tích lớn tam giác tạo  hai trục tọa độ thuộc khoảng đây? A  28; 29  B  29;30  Bài tập Cho hàm số y  C  27; 28  D  26; 27  x , gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x2 m  Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A  x1 ; y1  cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B  x2 ; y2  Gọi S tập hợp số m cho x2  y1  Tổng bình phương phần tử S A B C 73 D 10