CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ LÝ THUYẾT Đường tiệm cận ngang a; , ; b Cho hàm số y f ( x) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng ; ) Đường thẳng hàm số y f ( x) y y0 điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x) y0 , lim f ( x) y0 x đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị x Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x x0 gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y f ( x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) x x0 x x0 x x0 x x0 Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y y ax b c 0; ad bc 0 cx d ln có tiệm cận ngang a d x c tiệm cận đứng c Dấu hiệu nhận biết đường tiệm cận đồ thị hàm số Hàm phân thức mà nghiệm mẫu không nghiệm tử có tiệm cận đứng Hàm phân thức mà bậc tử bậc mẫu có TCN Hàm thức dạng: y f x g x , y f x g x , y g x ngang (dùng liên hợp) y a x , a 1 Hàm Hàm số có tiệm cận ngang y log a x , a 1 y 0 có tiệm cận đứng x 0 Cách tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số Tiệm cận đứng: ta tìm nghiệm mẫu khơng nghiệm tử Tiệm cận ngang: tính giới hạn: lim y x lim y x Một số ý trình tìm tiệm cận Nếu x x x x x Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” f x có tiệm cận CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Cho hàm số y f x có lim f x lim f x 2 A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Mệnh đề sau đúng? B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 2 x x Lời giải Chọn B VÍ DỤ Cho hàm số A Vì y C B lim f x x 2x2 x x 5x Số đường tiệm cận đồ thị hàm số là: D nên đồ thi hàm số có tiệm cận đứng x 1 Lời giải Chọn C x x 5x 0 x , hai nghiệm không nghiệm tử số nên Xét phương trình hai đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2x2 x 2 Mặt khác: x x 5x , nên đường y 2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận lim VÍ DỤ Cho hàm số A y x3 x 3x Đồ thị hàm số có đường tiệm cận B C D Lời giải Chọn D x3 x 1 , x 1 x 3x x 1 x x x 2 x Ta có: x 2 Khi ta thấy đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số lim 0 x x 2 x Mặt khác: , nên đồ thị hàm số nhận y 0 làm tiệm cận ngang f ( x) VÍ DỤ Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số A y 2; y B y 2; y x 5x C y x 3x D y 2 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Lời giải Chọn B 5 x2 5x x2 3x D ;0 ; lim f ( x) lim x 2 Ta có x 2x Tập xác định Và lim f ( x) lim x x x2 5x x 3x 2x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y VÍ DỤ Cho hàm số y f ( x) ax bx cx d có đồ thị hình bên y g x Hỏi đồ thị hàm số A 2x f x B có đường tiệm cận đứng? C D Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: f ( x) 0 Từ đồ thị ta thấy f ( x) 0 x , x x 2 Khi f ( x) a( x 4)( x 1)( x 2) có nghiệm y VÍ DỤ Biết đồ thị hàm số A Do đồ thị hàm số x ax b x 2 B 10 y g x khơng có tiệm cận đứng Khi 4a b bằng: C D có đường tiệm cận đứng Lời giải Chọn A y Đồ thị hàm số x ax b x 2 f x 3x ax b 0 khơng có tiệm cận đứng có nghiệm kép x 2 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN f 0 f 0 1 a b 0 a 0 2.3 a b 2 3 a b 4 2 Vậy y x 1 x 3x mx x VÍ DỤ Tìm tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận m ;0 m ; m ;0 m ; 0 A B C D Lời giải Chọn A Ta có x 1 x x 0 x 1 Trường hợp 1: Nếu m 0 đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Do đồ thị hàm số khơng thể có ba đường tiệm cận Trường hợp 2: Nếu m 0 đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 0 Do đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận mx x 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 1; thuộc nửa khoảng 1 3m ' 0 m x1 1 x2 1 0 1 m x1 1 x2 1 m VÍ DỤ Cho hàm số y m m m m m ;0 Vậy x x có đồ thị C , gọi d tiếp tuyến với C điểm có hồnh độ C A x ;y m Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng điểm 1 cắt tiệm cận ngang B x ;y điểm 2 Gọi S tập hợp số m cho x2 y1 Tính tổng bình phương phần tử S A B C 10 D C Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Lời giải Chọn C y Ta có x 2 Với x m 2 y 1 A m 2;1 m 0 m m: C : y 3 x m 2 m m Phương trình tiếp tuyến d C Đồ thị có tiệm cận ngang y 1 tiệm cận đứng x 3 y x m 2 m m x Tọa độ điểm A nghiệm hệ: y 1 m y1 1 x m nên 3 y x m 2 m y 1 m y 1 x 2m nên x2 2 m Tọa độ điểm B nghiệm hệ: Suy x2 y1 2m m 1 m m 2m2 4m 0 12 10 Vậy tổng bình phương phần tử S Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”