Bài 4 tiệm cận

BÀI TIỆM CẬN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Đường thẳng y  y0 gọi đường tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số f  x   y0 lim  y0 y  f  x  xlim x     Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim f  x  ; lim f  x   ; x  x0 x  x0 lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Xác định đường tiệm cận dựa vào định nghĩa Phương pháp giải Tiệm cận ngang f  x   y0 Đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  xlim   lim f  x   y0 x   Tiệm cận đứng Đường thẳng x  x0 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: Trang 143 lim f  x  ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x    x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 Bài tập Bài tập 1: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y  2x  tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có x diện tích A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D  \  1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x 1 tiệm cận ngang y 2 Khi hình chữ nhật tạo hai đường tiệm cận hai trục tọa độ có kích thước nên có diện tích S 1.2 2 (đvdt) Bài tập 2: Biết đường tiệm cận đường cong  C  : y  6x 1  x2  trục tung cắt tạo x thành đa giác  H  Mệnh đề đúng? A  H  hình chữ nhật có diện tích B  H  hình vng có diện tích C  H  hình vng có diện tích 25 D  H  hình chữ nhật có diện tích 10 Hướng dẫn giải Chọn D  Tập xác định  ;      2;   \  5 x   x2  5  y 5 tiệm cận ngang  C  x   x Ta có lim y  lim x   x   x2  7  y 7 tiệm cận ngang  C  x   x lim y  lim x   lim y ; lim    x 5 tiệm cận đứng  C  x x  5 Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận y 5; y 7; x 5 với trục tung tạo thành hình chữ nhật có kích thước 5 nên có diện tích 10 Dạng 2: Tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b cx  d Phương pháp giải Để tồn đường tiệm cận đồ thị hàm số y  ax  b c 0 ad  bc 0 cx  d Khi phương trình đường tiệm cận Trang 144 + Tiệm cận đứng x  d c + Tiệm cận ngang y  a c Bài tập Bài tập 1: Giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y   2m  1 x  có đường tiệm cận ngang x m y 3 A m 1 B m 0 C m 2 D m 3 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận  m  2m  1    2m  m  0  m   Phương trình đường tiệm cận ngang y 2m  nên có 2m  3  m 2 Bài tập 2: Tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  A  B  \  0 C  \  1 x có tiệm cận đứng mx  D  \  0; 1 Hướng dẫn giải Chọn D  m 0  Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận     m 0 m 0  m 1 Bài tập Tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  A   B 0;  1  3 1  C   3 x khơng có tiệm cận đứng mx  D  0 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng  m 0  m 0     3m 0   m    ax  b Biết đồ thị hàm số cho qua điềm A  0;  1 có đường tiệm x 1 cận ngang y 1 Giá trị a  b Bài tập 4: Cho hàm số y  A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận a  b 0 Trang 145 Do đồ thị hàm số qua điểm A  0;  1 nên b  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y a  a 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy a  b 0 Bài tập 5: Biết đồ thị hàm số y   a  3 x  a  2019 x   b  3 nhận trục hoành làm tiệm cận ngang trục tung làm tiệm cận đứng Khi giá trị a  b A B -3 C D Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận   a  3  b  3   a  2019  0 Phương trình đường tiệm cận  x b     y a  b  0    a  0 b  (thỏa mãn điều kiện)   a 3 Vậy a  b 0 Bài tập 6: Giá trị thực tham số m để đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  x 1 qua điểm 2x  m A  1;  A m 4 B m  C m  D m 2 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận m  0  m 2 Đường tiệm cận đứng x  m m   1  m  (thỏa mãn) 2 mx  với tham số m 0 Giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị hàm x  2m số thuộc đường thẳng đây? Bài tập 7: Cho hàm số y  A x  y 0 B x  y 0 C x  y 0 D y 2 x Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận  2m  0  m   Phương trình đường tiệm cận x 2m; y m nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận I  2m; m  thuộc đường thẳng x 2 y Bài tập 8: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  4x  có tiệm cận đứng nằm bên x m phải trục tung A m  m  B m  Trang 146 C m  m  D m  Hướng dẫn giải Chọn A Điêu kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận  4m  0  m  Phương trình đường tiệm cận đứng x m Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung m  m   Vậy điều kiện cần tìm   m  Dạng 3: Tiệm cận đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ Phương pháp giải - Tiệm cận đồ thị hàm số y  - Đồ thị hàm số y  A với A số thực khác f  x  đa thức bậc n  f  x A ln có tiệm cận ngang y 0 f  x - Đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x0 nghiệm f  x f  x  hay f  x0  0 - Tiệm cận đồ thị hàm số y  - Điều kiện để đồ thị hàm số y  f  x g  x f  x g  x với f  x  , g  x  đa thức bậc khác có tiệm cận ngang bậc f  x   bậc g  x  - Điều kiện để đường thẳng x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x g  x x0 nghiệm g  x  không nghiệm f  x  x0 nghiệm bội n g  x  , đồng thời nghiệm bội m f  x  m  n Bài tập Bài tập 1: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  A m 8 B m 0 C m  mx  x  có tiệm cận đứng 2x 1 D m  Hướng dẫn giải Chọn D Trang 147  1 Tập xác định D  \   Đặt g  x  mx  x    Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  khơng nghiệm g  x  m  1  g    0   0  m   2 Bài tập 2: Biết đồ thị hàm số y  x (m, n tham số) nhận đường thẳng x 1 tiệm cận x  2mx  n  đứng, giá trị m  n A B 10 C -4 D -7 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện: x  2mx  n  0 Đặt g  x   x  2mx  n  Do x 1 nghiệm f  x   x  nên đồ thị hàm số cho nhận đường thẳng x 1 tiệm cận đứng x 1 phải nghiệm kép phương trình  g  1  2m  n  0 g  x  0      m  n  0  n 2m     m  m  0 m 1  n  Vậy m  n  Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số y   2m  n  x  mx  x  mx  n  nhận trục hoành trục tung làm hai tiệm cận Giá trị m  n A B C D -6 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện x  mx  n  0 Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y 2m  n  m  n 0 (1) 2 Đặt f  x  (2m  n) x  mx  g  x   x  mx  n  Nhận thấy f   0 với m, n nên đồ thị nhận trục tung x 0 tiệm cận đứng g   0  n  0  n 6 Kết hợp với (1) suy m 3 Vậy m  n 9 ax  x  có đồ thị  C  (a, b số thực dương ab 4 ) Biết x  bx   C  có tiệm cận ngang y c có tiệm cận đứng Giá trị tổng T 3a  b  24c Bài tập 4: Cho hàm số y  A B C D 11 Hướng dẫn giải Chọn D Trang 148 Điều kiện x  bx  0 a a Phương trình tiệm cận ngang đồ thị hàm số y   c 4 Đồ thị  C  có tiệm cận đứng nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình x  bx  0 có nghiệm kép x  x0 không nghiệm ax  bx  0 1  b  144 0  b 12 Vì b  nên b 12  a   c  12 x x Thử lại ta có hàm số (thỏa mãn) y x  12 x  1 Vậy T 3  12  24 11 12 Trường hợp 2: x  bx  0 có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm thỏa mãn ax  x  0 Điều khơng xảy ab 4 Chú ý: a; b > nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm âm, tử số hai nghiệm trái dấu Dạng Tiệm cận đồ thị hàm số vô tỷ Cho hàm số vô tỷ y  f  x  - Tìm tập xác định D hàm số - Để tồn tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x  tập xác định D hàm số phải chứa y lim y hữu hai kí hiệu -∞ +∞ tồn hai giới hạn xlim  x   hạn Bài tập Bài tập 1: Biết đồ thị hàm số y 2 x  ax  bx  có tiệm cận ngang y  Giá trị 2a  b3 A 56 B -56 C -72 D 72 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện ax  bx  0 Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang a  Khi đó, ta có   lim y  lim x  ax  bx   x   x     lim y  lim x  ax  bx   lim x   x   x    a   x  bx  ax  bx   x  Trang 149  a  0    b    a     a 4  b 4 Vậy 2a  b  56  y  bậc tử phải bậc mẫu nên phải có a  0 Khi lim y  Chú ý: Để xlim  x   Bài tập 2: Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  b  a mx  x  x  có đường 2x  tiệm cận ngang y 2 ? A B Vô số C D Hướng dẫn giải Chọn D 1  Tập xác định D  \   2 Ta có lim y  x   m 1 m ; lim y  x   2  m 1  2  m 3 y      Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang  m 5  m  2  Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên hàm số y  f  x  , xác định tiệm cận đồ thị hàm số A y với A số thực khác 0, g  x  xác định theo f  x  g  x Phương pháp giải - Xác định tiệm cận đứng: + Số tiệm cận đồ thị hàm số y  A số nghiệm phương trình g  x  0 g  x + Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên hàm số y  f  x  để xác định số nghiệm phương trình g  x  0 để suy số đường tiệm cận đứng - Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận đồ thị, bảng biến thiên hàm số để xác định Bài tập Bài tập Cho hàm số y  f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ Trang 150 Tổng số đường tiệm cận hàm số y  A B f  x  1 C D Hướng dẫn giải Chọn D Số đường tiệm cận đứng đồ thị số nghiệm phương trình f  x   0  f  x   Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y  có f  x  1 hai đường tiệm cận đứng Ta có xlim   1 1 1   ; lim   nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận x    f  x  1 1 f  x  1 1 ngang y  1 y  Vậy đồ thị hàm số y  có bốn đường tiệm cận f  x  1 Bài tập Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ bên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A B f  x  x  3 C D Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t x  x , ta có x    t    x   t   Trang 151 Mặt khác ta có t  3 x   0, x   nên với t   phương trình x  x t có nghiệm x Số đường tiệm cận đứng đồ thị số nghiệm phương trình f  t   0  f  t   Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm nên đồ thị hàm số y  f  x  x  3 có tiệm cận đứng Ta có xlim   y 1 1  lim  lim  lim 0 nên đồ thị hàm số ; x    f x3  x  t   f  t   f  x3  x   t   f  t     có tiệm cận ngang y 0 f  x  x  3 Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận Bài tập Cho hàm số bậc ba f  x  ax  bx  cx  d  a, b, c, d    có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số g  x   A có đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang? f   x2   B C D Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t 4  x , ta có x   t    g  x   lim Khi xlim   t   0 nên y 0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số g  x  f  t  Mặt khác f   x   0  f   x 2    x  3      x 4  x    x 0  Đồ thị hàm số g  x  có ba đường tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số g  x  có bốn đường tiệm cận Trang 152