Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 36 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Môc lôc Lời cảm ơn Lời nói đầu Một số ký hiệu chữ viết t¾t Chương 1.1 Một số kiến thức TËp låi vµ hµm låi 1.2 Toán tử đơn điệu 1.3 BÊt đẳng thức biến phân hỗn hợp 11 Chương Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu 20 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh 20 2.2 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 26 KÕt luËn 38 Tài liệu tham khảo 39 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc cô giáo T.S nguyễn Thị Thu Thủy Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến cô Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2009 - 2011, người đà đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường THPT Phú Bình nơi công tác đà giúp đỡ, tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học trình làm luận văn Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết người động viên, chia sẻ, giúp suốt trình học tập hoàn thành luận văn Người viết luận văn Trần Thị Phương Thảo S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn lời nói đầu X không gian Banach thực phản xạ, X không gian liên hợp X , hai có chuẩn kí hiệu k.k, A : X X toán tử đơn điệu đơn trị : X → R ∪ {+∞} lµ phiÕm hµm låi thường nửa Cho liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp inequality) phát biểu nh­ sau (xem [4]): Cho (mixed variational f ∈ X ∗ , t×m x0 ∈ X cho hA(x0 ) − f, x − x0 i + ϕ(x) − ϕ(x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X, (0.1) hx∗ , xi kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tơc x∗ ∈ X ∗ t¹i x ∈ X ë Có nhiều phương pháp đưa để giải bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1), chẳng hạn Phương pháp điểm gần kề [8], Phương pháp nguyên lý toán phụ [3] Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp toán tử A tính chất đơn điệu đơn điệu mạnh hàm không lồi mạnh, nói chung toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Do người ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán ban đầu Một phương pháp sử dụng rộng rÃi có hiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Bằng phương pháp O A Liskovets [6] đà xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa việc giải bất đẳng thức biến phân: tìm x X cho hAh (x ) + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα i + ϕε (x) − ϕε (x ) 0, x X (0.2) (Ah , fδ , ϕε ) lµ xÊp xØ cđa (A, f, ϕ), τ = (h, δ, ε) Mơc ®Ých luận văn nhằm trình bày lại kết O A Liskovets [6] Nguyễn Thị Thu Thủy [10] hiệu chỉnh bất đẳng S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thức biến phân hỗn hợp (0.1) với toán tử nhiễu đơn điệu đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với toán tử ngược đơn điệu mạnh Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày số kiến thức tập hợp lồi, hàm lồi, toán tử đơn điệu toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp không gian Banach thực, phản xạ X Đồng thời trình bày toán thực tế đưa toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp nêu trường hợp đặc biệt bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Sự tồn nghiệm tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp trình bày phần cuối chương Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (0.1) với toán tử nhiễu đơn điệu Cụ thể trình bày định lý tồn nghiệm toán hiệu chỉnh (0.2), hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm xác bất đẳng thức biến phân (0.1), đồng thời đánh giá tốc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh hai tr­êng hợp toán tử A Ah có tính chất ngược đơn điệu mạnh S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mét sè ký hiệu chữ viết tắt H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X không gian liên hợp Rn không gian Euclide tập rỗng X n chiều x := y x định nghĩa y ∀x víi mäi ∃x tån t¹i inf F (x) x∈X x x infimum cña tËp {F (x) : x X} I ánh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị ma trận ab a tương đương với b A toán tử liên hợp toán tử D(A) miền xác định toán tử R(A) miền giá trị cđa to¸n tư xk → x xk * x d·y d·y A A A A {xk } héi tơ m¹nh tíi x {xk } héi tơ u tíi x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng Mét sè kiÕn thøc c¬ Chương trình bày số tính chất hàm lồi toán tử đơn điệu; trình bày tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, số toán liên quan toán thực tế đưa toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Các kết chương tham khảo tài liệu [1], [4] [11] 1.1 Tập lồi hàm lồi X không gian Banach thực phản xạ, X không gian liên hợp X Cho D X gäi lµ mäi sè thùc λ ∈ [0, 1] ta có Định nghĩa 1.1 Tập tập lồi với mäi x, y ∈ D vµ λx + (1 − )y D Định nghĩa 1.2 Hàm (i) Cho D X tập lồi khác rỗng : D R {} gọi lồi D với x, y D ∈ [0, 1] ta cã ϕ(λx + (1 − λ)y) (x) + (1 )(y); (ii) lồi chặt D nÕu víi ∀x, y ∈ D, x 6= y vµ ∀λ ∈ (0, 1) ta cã ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y); (iii) låi mạnh D với x, y D, ∈ (0, 1) tån t¹i τ ∈ R, τ > ta cã ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y) − λ(1 − λ)τ kx − yk2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn NhËn xÐt 1.1 Từ Định nghĩa 1.2 dễ thấy (ii) Định nghĩa 1.3 Miền hữu hiệu hàm (i) (iii) (i) kí hiệu dom ®Þnh nghÜa nh­ sau: domϕ = {x ∈ D : (x) < +} Định nghĩa 1.4 Hàm gọi lµ chÝnh th­êng nÕu domϕ 6= ∅ vµ ϕ(x) > , x D Định nghĩa 1.5 (i) Hàm gọi nửa liên tục điểm x0 nÕu víi mäi d·y {xn } ⊂ domϕ mµ xn → x0 th× ∈ domϕ ϕ(x0 ) ≤ lim inf (xn ) n (ii) Hàm gọi nửa liên tục dÃy {xn } dom mà xn * x0 yếu điểm x0 dom nÕu víi ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ) n→∞ (iii) Hàm gọi nửa liên tục (nửa liên tục yếu) X nửa liên tục (nửa liên tục yếu) điểm x X Định lý 1.1 Cho : X → R ∪ {+∞} lµ hµm låi, nưa liên tục nửa liên tục yếu hàm lồi X Phiếm hàm x X gọi gradient hàm x X Định nghĩa 1.6 Giả sö ϕ(x) − ϕ(y) ≤ hx∗ , x − yi, y X Tập tất gradient x gọi vi phân x, kÝ hiƯu lµ ∂ϕ(x), tøc lµ ∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X ∗ : ϕ(x) − ϕ(y) ≤ hx∗ , x yi, y X} Hàm gọi khả vi phân S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên t¹i x nÕu (x) 6= http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.7 Cho : X R Hàm gọi khả vi theo hướng x X tån t¹i giíi h¹n: ϕ(x + λy) − ϕ(x) λ→0 λ ϕ0 (x, y) = lim ϕ0 (x, y) = hx , yi gọi khả vi Gâteaux (khả vi yếu) x X, (x, y) gọi vi phân Gâteaux x, (x) gọi đạo hàm Gâteaux x Nếu : X R gọi khả vi Fréchet (khả vi mạnh) x X, tồn toán tử tuyến tính A : X X Định nghĩa 1.8 Hµm chÝnh th­êng cho ϕ(x + y) − ϕ(x) = hA(x), yi + w(x, y) vµ w(x, y) = 0, kyk→0 kyk ®ã x + y ∈ X Khi hA(x), yi gọi vi phân A(x) = (x) gọi đạo hàm Fréchet hàm x lim Nhận xét 1.2 Hàm Fréchet khả vi Fréchet x X khả vi Gâteaux điểm Tính lồi hàm khả vi Gâteaux cho mệnh đề sau Mệnh đề 1.1 (xem [4]) Cho X không gian Banach thực phản xạ F : X R {} hàm khả vi Gâteaux A, phát biểu sau tương đương: (i) (ii) F với đạo hàm Gâtaeux là hàm lồi; F (x) ≥ F (x0 ) + hA(x0 ), x − x0 i, ∀x, x0 ∈ X MƯnh ®Ị 1.2 (xem [4]) Cho X không gian Banach thực phản xạ Giả sử F : X R {} phiếm hàm lồi thường, nửa liên tục khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux A Khi x X phát biểu sau tương đương: S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (i) x0 nghiệm toán cực trị F (x); x∈X (ii) hA(x0 ), x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X; (iii) hA(x), x − x0 i ≥ 0, x X X gọi lồi chặt bất đẳng thức kx + yk < víi mäi x, y ∈ X cho kxk = kyk = 1, x 6= y Định nghĩa 1.9 Không gian Định nghĩa 1.10 Không gian Banach thực phản xạ gian có tính chất Ephimov - Stechkin X gọi không (hay không gian có tính chất E-S) không gian lồi chặt thỏa mÃn với dÃy {xn } mà xn * x kxn k kxk xn x Sau số khái niệm kết toán tử đơn điệu 1.2 Toán tử đơn điệu §Þnh nghÜa 1.11 Cho A : X → X ∗ toán tử đơn trị Toán tử A gọi (i) đơn điệu (ii) (iii) hA(x) A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X; đơn điệu chặt đơn điệu mạnh x 6= y th× hA(x) − A(y), x − yi > 0, ∀x, y ∈ X; nÕu tån t¹i mét h»ng sè τ > tháa m·n hA(x) − A(y), x − yi ≥ τ kx − yk2 , ∀x, y ∈ X tử A xác định R2 với x = (x1 , x2 ) ∈ R2 cho Cho to¸n  x    = (x2 − x1 ) Khi A toán tử đơn điệu A(x) =  −1 x2 ThËt vËy, víi mäi x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , y = (y1 , y2 ) ∈ R2 ta cã A(x) = (x2 , −x1 ), A(y) = (y2 , −y1 ) suy A(x) − A(y) = (x2 − y2 , −x1 + y1 ) Do VÝ dô 1.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Nếu A toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp, xác định không âm không gian Hilbert H A toán tử ngược đơn điệu mạnh Kết nội dung cđa bỉ ®Ị sau Bỉ ®Ị 2.1 (xem [7]) Nếu A:HH toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp không gian Hilbert H điều kiện sau tương đương: (i) (ii) mA > : hA(x), xi ≥ mA kA(x)k2 , ∀x ∈ H ; hA(x), xi ≥ 0, ∀x ∈ H ; (iii) tất giá trị riêng A không âm Một toán tử ngược đơn điệu mạnh không thiết đơn điệu mạnh Ví dụ 2.1 Toán tử Cho PK H không gian Hilbert, K tập lồi đóng H chiếu H lên K toán tử không giÃn, đơn ®iƯu vµ tháa m·n ®iỊu kiƯn hPK (x) − PK (y), x − yi ≥ kPK (x) − PK (y)k2 , x, y H, có nghĩa PK toán tử ngược đơn điệu mạnh, PK không đơn điệu mạnh trừ K H (xem [7] tài liệu dẫn) Hệ thức sau sử dụng đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh: cho a, b, c số không âm ®ñ bÐ, p > q > NÕu
ap ≤ baq + c th× ta cã ap = O bp/(pq) + c gọi bất đẳng thức Young Định lý sau cho ta kết tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh (xem [2]) Định lý 2.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mÃn: (i) A toán tử ngược đơn điệu mạnh từ X vào X khả vi Fréchet với tính chất Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 kA(x) − A(x0 ) − A0 (x0 )(x − x0 )k ≤ τ˜kA(x) − A(x0 )k, (2.18) x X, A0 (x) đạo hàm Fréchet A x, h»ng sè d­¬ng; A0 (x0 )∗ z = U s (x0 x ), U s ánh xạ đối ngẫu thỏa mÃn điều kiện (2.8); (ii) tồn mét phÇn tư (iii) tham sè z∈X cho ®ã α ®­ỵc chän tháa m·n α ∼ (h + δ + ε)η , < η < Khi ®ã, kxτα(h,δ,ε) − x0 k = O((h + δ + ε)µ1 ),   1−η η , µ1 = s 2s Chøng minh Tõ (2.1), (2.3) vµ (2.4) suy αhU s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 i + hA(xτα ) − A(x0 ), xτα − x0 i ≤ αhU s (x0 − x∗ ), x0 − xτα i (2.19) + hAh (xτα ) − A(xτα ), x0 − xτα i + hfδ − f, xτα − x0 i + [d(kx0 k) + d(kx k)] Do tính đơn điệu A (2.2), (2.3), (2.8) bất đẳng thức (2.19) trë thµnh ms kxτα − x0 ks ≤ hU s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 i hg(kxτα k) + δ τ kxα − x0 k ≤ α s + hU (x − x∗ ), x0 − xτα i  ε + d(kx0 k) + d(kxτα k) α (2.20) g(t), d(t) vµ tham sè α, suy d·y {xτα } bị chặn Mặt khác kết hợp với tính chất ngược đơn điệu mạnh toán tử A, tính Do tính chất hàm S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 U s , tõ (2.19) ta cã    τ −1 hg(kxτα k) + δ + αkx0 − x∗ ks−1 kA(xα ) − A(x )k ≤ mA    × kxτα − x0 k + ε d(kx0 k) + d(kx k) đơn điệu ánh xạ Do tham số hiệu chỉnh chọn theo điều kiện (iii) định lí dÃy {x } giới nội nên từ bất đẳng thức ta nhận
kA(xτα ) − A(x0 )k = O h + + + Kết hợp điều kiện (2.21) (i), (ii) định lý (2.21) ta nhận hU s (x0 x ), x0 xτα i = hz, A0 (x0 )(x0 − xτα )i ≤ kzk(˜ τ + 1)kA(xτα ) − A(x0 )k √
≤ kzk(˜ τ + 1)O h + δ + + Khi (2.20) viết lại lµ hg(kxτα k) + δ τ kxα − x0 k α √ + kzkO( h + δ + ε + α)  ε + d(kx0 k) + d(kxτα k) Tham số chọn cho (h + δ + ε)η , < η < 1, nªn tõ bÊt ms kxτα − x0 ks ≤ đẳng thức suy
ms kx(h,,) x0 ks = O (h + δ + ε)1−η kxτα(h,δ,ε) − x0 k

+ O (h + δ + ε)η/2 + O (h + δ + ε)1−η ¸p dụng bất đẳng thức Young cho bất đẳng thức cuối ta có đánh giá
kx(h,,) x0 k = O (h + δ + ε)µ1 (2.22) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Đánh giá kiểu (2.22) điều kiện đặt lên phần dư tuyến tính hóa A Chẳng hạn, vế trái đánh giá có dáng điệu kiểu O(kx x0 k2 ) cho toán tử khả vi Fréchet có đạo hàm liên tục Lipschitz: kA(x) − A(x0 ) − A0 (x0 )(x − x0 )k ≤ τ˜kx − x0 k2 (2.23) A toán tử phi tuyến số hạng kA(x) A(x0 )k cã thĨ nhá h¬n kx − x0 k cách đáng kể, điều có nghĩa đánh giá (2.22) mạnh Khi (2.23) 2.2.1 Trường hợp toán tử Ah ngược đơn điệu mạnh Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với điều kiện toán tử x đà đánh giá định lý 2.4 A toán tử ngược đơn điệu mạnh Một câu hỏi đặt Ah có tính chất ngược đơn điệu mạnh tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đánh nào? Định lý sau cho ta kết Định lý 2.5 (xem [10]) NÕu h, δ, ε > tháa m·n ®iỊu kiƯn (1)-(3) điều kiện sau thỏa mÃn (i) Ah toán tử ngược đơn điệu mạnh từ X vào X khả vi Fréchet với tính chất kAh (x) − Ah (x0 ) − A0h (x0 )(x − x0 )k kAh (x) Ah (x0 )k, A0h (x) đạo hàm Fréchet Ah (ii) tồn phần tử zh cho dÃy zh (2.24) x, số dương; bị chặn A0h (x0 ) zh = U s (x0 x ), Us (iii) tham số ánh xạ đối ngẫu thỏa mÃn điều kiện (2.8); chọn thỏa mÃn (h + + ε)η , < η < Khi ®ã, kxτα(h,δ,ε) − x0 k = O((h + δ + ε)µ2 ),   1−η η µ2 = , s 2s Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Chøng minh Tõ (2.1) vµ (2.4) suy αhU s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 i + hAh (xτα ) − Ah (x0 ), xτα − x0 i ≤ αhU s (x0 − x∗ ), x0 − xτα i 0 + hAh (x ) − A(x ), x − xτα i (2.25) + hf − fδ , x0 − xτα i + ϕε (x0 ) − ϕ(x0 ) + ϕ(xτα ) − ϕε (x ) Do tính đơn diệu Ah (2.2), (2.3), (2.8) bất đẳng thức (2.25) trở thành kx − x0 ks ≤ U s (x0 − x∗ ), x0 − xτα hg(kx0 k) + δ (2.26) kx − xτα k α  ε + d(kx0 k) + d(kx k) Do tính chất hàm g(t), d(t) vµ tham sè α, suy d·y {xτα } bị chặn Mặt khác kết hợp với tính chất ngược đơn điệu mạnh toán tử Ah , tính đơn điệu ánh xạ U s , từ (2.25) ta cã    τ −1 kAh (xα ) − Ah (x )k ≤ mA hg(kx0 k) + δ + αkx0 − x∗ ks−1    × kx0 − xτα k + ε d(kx0 k) + d(kxτα k) ≤ Suy kAh (xτα ) − Ah (x0 )k = O Hơn kết hợp ®iỊu kiƯn √
h+δ+ε+α (i), (ii) cđa ®Þnh lí bất đẳng thức ta nhận s U (x − x∗ ), x0 − xτα = zh , A0h (x0 )(x0 − xτα ) ≤ kzh k(˜ τ + 1)kAh (xτα ) − Ah (x0 )k √
≤ kzh k(˜ τ + 1)O h + δ + ε + α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Khi (2.26) có dạng hg(kx0 k) + kx0 − xτα k α √ (2.27) + kzh k(˜ τ + 1)O( h + δ + ε + α)  ε + d(kx0 k) + d(kxτα k) α Khi tham số chọn cho (h + δ + ε)η , < η < 1, từ bất kx x0 ks đẳng thøc nµy suy
kxτα(h,δ,ε) − x0 ks = O (h + δ + ε)1−η kx0 − xτα(h,δ,ε) k

+ O (h + δ + ε)η/2 + O (h + δ + ε)1−η Do ®ã kxτα(h,δ,ε) µ2 − x k = O (h + δ + ε)
  1−η η , , µ2 = s 2s B©y giê ta xÊp xỉ hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (2.1) Cho Xn dÃy không gian hữu hạn chiều X : Xn Xn+1 , ∀n vµ Pn lµ phÐp chiÕu tuyÕn tÝnh X lªn Xn cho Pn x → x, ∀x X n Giả sử Pn bị chặn X, kPn k = Khi ta có bất đẳng thức Anh (x,n ) + αU sn (xτα,n − xn∗ ) − fδn , xn − xτα,n n + ϕε (x ) − ϕε (xτα,n ) ≥ 0, n (2.28) ∀x ∈ Xn , Anh = Pn Ah Pn , U sn = Pn∗ U s Pn , xn = Pn x, fn = Pn f Pn liên hợp cđa Pn , cã nhÊt nghiƯm xτα,n víi mäi > 0, > n Đặt γn (x) = k(I − Pn )xk, ∀x ∈ X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Định lý 2.6 (xem [10]) Nếu n dÃy h/, /, / n (x)/α → α → vµ {xτα,n } héi tơ tíi nghiƯm x0 ∈ S x ∈ S, xn = Pn x, tõ (2.8) vµ (2.28) ta cã αms kxτα,n − xn ks ≤ α U s (xτα,n − xn∗ ) − U s (xn − xn∗ ), xτα,n − xn ≤ Anh (xτα,n ) − fδn , xn − xτα,n + ϕε (xn ) − ϕε (xτα,n ) + α U s (xn − xn∗ ), xn − xτα,n Chøng minh Víi Do tính đơn điệu Ah tính chất toán tử chiếu Pn nên từ bất đẳng thức suy αms kxτα,n − xn ks ≤ Ah (xn ) − fδ , xn − xτα,n + ϕε (xn ) − ϕε (xτα,n ) + α U s (xn − xn∗ ), xn − xτα,n , hay bÊt đẳng thức có dạng h x k Ah (xn ) − A(xn ) + A(xn ) − A(x) α i n τ n τ + A(x) − f + f − fδ , x − xα,n + ϕε (x ) − ϕε (xα,n ) + α U s (xn − xn∗ ), xn − xτα,n ms kx,n n s Mặt khác từ tính đơn điệu cña (2.29) A ta suy kA(xn ) − A(x)k C0 n (x), C0 số dương phụ thuộc thuộc vào x Do sử dụng bất đẳng thức này, x S (2.2), (2.3) tõ (2.29) suy r»ng h τ n s Ah (xn ) − A(xn ) + A(xn ) − A(x) ms kxα,n − x k ≤ α + f − fδ , xn − xτα,n ®ã + hA(x) − f, x − xτα,n i + ϕ(x) − ϕ(xτα,n ) + hA(x) − f, xn − xi + ϕε (xn ) − ϕε (x) i τ τ + ϕε (x) − ϕ(x) − ϕε (xα,n ) + ϕ(xα,n ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 + U s (xn − xn∗ ), xn − xτα,n Suy ms kxτα,n hg(kxn k) + C˜0 γn (x) + δ n −x k ≤ kx − xτα,n k α
ε + d(kxτα,n k + d(kxk) α (C0 + kA(x) − f k)γn (x) + α s n + U (x − xn∗ ), xn − xτα,n n s (2.30) xτα,n * x1 ∈ X h/α, δ/α, γn (x)/α → n Do tính chất Ah , Pn (2.28) Không tính tổng quát, ta cã thĨ gi¶ sư r»ng suy r»ng Ah (xn ) − fδ , xn − xτα,n + α U s (xτα,n − xn∗ ), xn − xτα,n + ϕε (xn ) ≥ ϕε (xτα,n ), ∀xn Xn Từ bất đẳng thức trên, cho h, δ, ε, α → vµ cho n → +∞ ta hA(x1 ) f, x x1 i + ϕ(x) − ϕ(x1 ) ≥ 0, ∀x ∈ X Do ®ã x1 ∈ S Trong (2.30) thay xn bëi xn1 = Pn x1 , ta thÊy d·y {xτα,n } hội tụ mạnh đến x1 U s (x − x∗ ), x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ S Trong bất đẳng thức ta thay cho x bëi tx1 + (1 − t)x, t ∈ (0, 1), sau chia (1 t) cho t dần tíi 1, ta cã s U (x − x∗ ), x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ S Do ®ã U s (x1 − x∗ ), x − x∗ ≥ U s (x1 − x∗ ), x1 − x∗ = kx1 − x∗ ks , ∀x ∈ S kx1 − x∗ k ≤ kx − x∗ k, x S Do tính lồi, đóng S tính lồi chặt X nên suy x1 = x0 , định lý chứng minh Suy Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Đặt n = max{n (x0 ), γn (x∗ )} Tèc ®é héi tơ cđa dÃy Định lý 2.7 {x,n } cho định lý sau (xem [10]) Giả sử (i) Các điều kiện (i), (ii) Định lý 2.5 thỏa mÃn; (ii) Us thỏa mÃn điều kiện (2.8) kU s (x) − U s (y)k ≤ C(R)kx − ykν , < ν ≤ 1, ®ã (iii) (2.31) C(R), R > 0, hàm dương tăng R = max{kxk, kyk} Ah (Xn ) n»m Xn Khi ®ã với n đủ lớn h đủ nhỏ ∼ (h + δ + ε + γn )η1 , < η < 1, th× kxτα,n − x0 k = O((h + δ + ε + γn )µ3 + γnµ4 ), n1 − η η o n1 ν o 1 µ3 = , , µ4 = , s 2s s s−1 Chøng minh ms kxτα,n Trong (2.30) thay − xn0 ks xn bëi xn0 = Pn x0 ta hg(kxn0 k) + C0 n + δ n ≤ kx0 − xτα,n k α
ε τ + d(kxα,n k + d(kx0 k) α (C0 + kA(x0 ) − f k)γn + α s + U (x − x∗ ), xn0 − xτα,n + U s (xn0 − xn∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xn0 − xτα,n (2.32) Tõ (2.8), (2.31) điều kiện (i) định lý suy r»ng s n ˜ ν γnν kxn0 − xτα,n k, (2.33) U (x0 − xn∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xn0 − xτα,n ≤ C(R)2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 ˜ > kx0 − x∗ k vµ R s U (x − x∗ ), xn0 − xτα,n = hU s (x0 − x∗ ), xn0 − x0 i ®ã + hzh , A0h (x0 )(x0 − xτα,n )i s−1 ≤ kx − x∗ k (2.34) γn + kzh k(1 + τ˜)kAh (x0 ) − Ah (xτα,n )k kAh (x0 ) − Ah (xτα,n )k Thay xn bëi xn0 (2.28) vµ sư dơng tÝnh chÊt cđa to¸n tư chiÕu Pn , ta cã Ah (xτα,n ) − Ah (xn0 ) + Ah (xn0 ) − Ah (x0 ) + Ah (x0 ) − A(x0 ) + A(x0 ) − f + f − fδ , xn0 − xτα,n + α U s (xτα,n − xn ), xn0 x,n Ta đánh giá + ϕε (xn0 ) − ϕε (xτα,n ) ≥ Do ®ã, Ah (xτα,n ) − Ah (xn0 ), (xτα,n − xn0 ≤ ≤ hAh (xn0 ) − Ah (x0 ) + Ah (x0 ) − A(x0 ) + f − fδ , xn0 − xτα,n + α U s (xτα,n − xn∗ ), xn0 − xτα,n + hA(x0 ) − f, xn0 − x0 + x0 − xτα,n i + ϕε (xn0 ) − ϕε (xτα,n ) Sử dụng tính chất ngược đơn điệu mạnh kAh (xτα,n ) − Ah (xn0 )k2 Ah vµ (2.2), (2.3) ta cã h i τ n s−1 ˜ ≤ C1 γn + hg(kx k) + δ + αkxα,n − x∗ k × kxn0 − xτα,n k + (C0 + kA(x0 ) − f k)γn

+ ε d(kxτα,n k + d kx0 k , C1 số dương phụ thuộc vào x0 Do ®ã p kAh (xτα,n ) − Ah (xn0 )k = O( h + δ + ε + α + γn ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Ngoài ra, kAh (x,n ) − Ah (x0 )k ≤ kAh (xτα,n ) − Ah (xn0 )k + kAh (xn0 ) − Ah (x0 )k, nªn suy p kAh (xτα,n ) − Ah (x0 )k ≤ O( h + δ + ε + α + γn ) + C˜1 γn KÕt hỵp (2.33), (2.34) bất đẳng thức từ (2.32) suy  n ˜ k) + C γ δ + hg(kx n ˜ ν γnν × ms kxτα,n − xn0 ks ≤ + C(R)2 α

˜ s−1 γn + ε d(kxτα,n k + d kx0 k × kxn0 − xτα,n k + R α (C0 + kA(x0 ) − f k)γn + αh i p ˜ + kzh k(1 + τ˜) O( h + δ + ε + α + γn ) + C1 γn  Nếu tham số chọn cho ∼ (h + δ + ε + α + γn )1 , từ (2.35) ta có bất đẳng thức kxτα,n − xn0 ks h 1−η1 ≤ C (h + δ + ε + α + γn ) + γnν i kxn0 − xτα,n k + C γn + C (h + δ + ε + α + γn )1−η1 + C (h + δ + ε + α + γn )η1 /2 , ®ã C i , i = 1, 2, 3, lµ số dương Suy
kx,n xn0 k = O (h + δ + ε + α + n )à3 + nà4 Do
kx,n − x0 k = O (h + δ + ε + + n )à3 + nà4 , định lý chứng minh S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 KÕt luận Với phạm vi ứng dụng rộng rÃi bất đẳng thức biến phân vấn đề quan trọng toán học Luận văn đà trình bày lại kết báo O A Likoverts [6] Nguyễn Thị Thu Thủy [10] hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu đơn điệu đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hai trường hợp A Ah toán tử ngược, đơn điệu mạnh S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Tài liệu tham khảo [1] Ya I Alber and I P Ryazantseva, Monotone Type, Nonlinear Ill-Posed Problems of Springer Verlag, New York (2006) [2] Ng Buong and Ng T T Thuy (2008), "On regularization parameter choice and convergence rates in regularization for ill-posed mixed variational inequalities", ematical Sciences, 4(3), International Journal of Contemporary Math- pp 181-198 [3] G Cohen (1988), "Auxiliary problem principle extended to variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 59, pp 325-333 [4] I Ekeland and R Temam (1970), Problems, Convex Analysis and Variational North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland [5] I V Konnov and E O Volotskaya (2002), "Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems", matics, 6, Journal of Applied Mathe- pp 289-314 [6] O A Liskovets (1991), "Regularization for ill-posed mixed variational inequalities", Soviet Mathematics Dokl., 43, pp 384-387 (in Russian) [7] F Liu and M Z Nashed (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variational inequalities and convergence rates", Set-Valued Analysis, 6, pp 313-344 [8] M A Noor (2002), "Proximal methods for mixed variational inequalities", Journal of Optimization Theory and Applications, 115(2), 447-452 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn pp 40 [9] Ng T T Thuy (2010), An iterative method to a common solution of inverse-strongly problems in Hilbert spaces, Advances and Applica- tions in Mathematical Siences, pp 165-174 [10] Ng T T Thuy (2010), Convergence rates of the Tikhonov regularzation for ill-posed mixed varritional inequalities with inverse-strongly monotone perturbations, Nonlinear Functional Analysis and Applications, pp 467-479 [11] E Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York, (1985) Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Luận văn đà chỉnh sửa theo yêu cầu hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên ngày 18 tháng 11 năm 2011 Chữ kí giáo viên hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thđy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn