Độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN QUANG HUY ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN QUANG HUY ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XN TẤN Thái Ngun - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời cam đoan ii Tóm tắt nội dung iii Lời cảm ơn iv Danh sách ký hiệu v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian thường dùng 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.1.3 Không gian Hilbert 1.1.4 Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 1.1.5 Không gian đối ngẫu 10 1.2 Ánh xạ đa trị 11 1.2.1 Định nghĩa 11 1.2.2 Tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị 11 1.3 Các toán lý thuyết tối ưu 13 Chương Độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng 15 2.1 Các khái niệm 15 2.2 Các kết bổ trợ 17 2.3 Các tính chất liên tục nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số 20 2.4 Các trường hợp đặc biệt 30 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i 2.5 Một vài ứng dụng 32 2.6 Kết luận 35 Chng Tớnh liờn tc Hă older nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham số 36 3.1 Tớnh liờn tc Hă older ca nghim ca P (, λ) 37 3.2 Các kết bổ trợ 39 3.3 Chứng minh Định lý 3.1 45 3.4 Kết luận 50 Kết luận chung 52 Tài liệu tham khảo 53 Soá hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 30 tháng 05 năm 2015 Học viên Trần Quang Huy Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii TĨM TẮT NỘI DUNG Cũng giống nhiều ngành toán học khác, vấn đề chủ yếu nghiên cứu lý thuyết bất đẳng thức biến phân tồn nghiệm, tính liên tục tập nghiệm theo tham số, thuật tốn tìm nghiệm Nội dung luận văn toán Xét H không gian Hilbert thực, M Λ hai tập tham số khác rỗng lấy hai không gian định chuẩn đó, f : H × M → H ánh xạ đơn trị, K : Λ → 2H ánh xạ đa trị nhận giá trị tập lồi đóng, khác rỗng Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số  Tìm x ∈ K(λ) cho < f (x, µ), y − x > ≥ ∀y ∈ K(λ), (0.1) ú (à, ) M ì l cp tham số toán < ·, · > ký hiệu tích vơ hướng H Với cặp tham s (à, ) M ì cho trc, ta xem (0.1) tốn nhiễu bất đẳng thức biến phân  Tìm x ∈ K(λ) cho < f (x, µ), y − x > ≥ ∀y ∈ K(λ) (0.2) Giả sử x nghiệm (0.2) Chúng ta muốn biết xem liệu (0.1) có nghiệm x = x(λ, µ) gần x (λ, µ) gần (λ, µ) hay khơng, hàm x(µ, λ) có dáng điệu nào? Hay nói cách khác ta cần nghiên cứu độ nhạy nghiệm x thay đổi (µ, λ) Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iv LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Nhân Chính bạn lớp Cao học K7A trường Đại học Khoa học, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, 2015 Trần Quang Huy Học viên Cao học Toán K7A, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Soá hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ v DANH SÁCH KÝ HIỆU Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: B(a, r) Hình cầu mở tâm a, bán kính r B(a, r) Hình cầu đóng tâm a, bán kính r BX Hình cầu đơn vị X Aδ Tập điểm cách A không δ d(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai tập A, B || · || Chuẩn Ux0 Lân cận x0 X∗ Không gian đối ngẫu X F :X⇒Y Ánh xạ đa trị từ X vào Y NK (x) Nón pháp tuyến tập K x ∂ϕ(x) Dưới vi phân ϕ x dom G Miền hữu hiệu G graf G Đồ thị G Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đời cách 50 năm với cơng trình quan trọng G Stampacchia, P Hartman, G Fichera, J L Lions F.E Brower Trong suốt thời gian đó, lý thuyết thu hút quan tâm nhiều tác giả ngồi nước Đã có nhiều báo, sách đề cập bất đẳng thức biến phân ứng dụng chúng Hiện nay, toán phụ thuộc tham số nhà toán học nhà khoa học chuyên ngành khác quan tâm nghiên cứu nhiều Những kết ứng dụng nhiều lĩnh vực Vậy lý thuyết biến phân nghiên cứu vấn đề gì? Sau đây, xin đưa số toán bất đẳng thức biến phân Giả sử K tập lồi đóng khơng gian định chuẩn X, f : K → X ∗ ánh xạ đơn trị từ K vào không gian đối ngẫu X ∗ X Bài tốn “Tìm x ∈ K cho < f (x), x − x > ≥ với x ∈ K” gọi bất đẳng thức biến phân xác định toán tử f tập K ∗ Nếu F : K → 2X ánh xạ đa trị từ K vào X ∗ tốn “Tìm x ∈ K cho tồn x∗ ∈ F (x) thỏa mãn < x∗ , x − x > ≥ với x ∈ K” gọi bất đẳng thức biến phân suy rộng xác định tập K toán tử F Khi toán tử f (F ) phụ thuộc tham số µ tập hạn chế K phụ thuộc tham số λ tốn gọi bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số (hay tương ứng bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số) Ở đây, (µ, λ) cặp tham số tốn Bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, với ứng dụng khác chúng nội dung luận văn Luận văn bao gồm ba chương: Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết quen thuộc không gian dùng luận văn này; khái niệm số kết ánh xạ đa trị; nhắc lại toán tối ưu • Chương Độ nhạy nghiệm tốn biến phân suy rộng Chương này, chúng tơi trình bày khái niệm bản; kết phụ trợ; tính chất liên tục nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số; trường hợp đặc biệt ứng dụng • Chương Tớnh liờn tc Hă older ca nghim bi toỏn biến phân phụ thuộc tham số Trong chương này, chúng tụi trỡnh by cỏc tớnh cht liờn tc Hă older nghiệm P (θ, λ); kết bổ trợ dùng chứng minh định lý chính; cuối kết tính liên tục kiu Lipchitz - Hă older ca ỏnh x nghim theo tham số Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Trần Quang Huy Học viên Cao học Toán K7A Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40 ta có y(a) = λ01 , y(b) = λ02 Vậy y ∈ K(λ0 ) Vì y(t) − x(t) = µ(t)(λ2 − λ1 + λ01 − λ02 ) + λ02 − λ2 (3.6) nên |y(t) − x(t)| ≤ |µ(t)|(|λ2 − λ02 | + |λ1 − λ01 |) + |λ2 − λ02 | ≤ 2(|λ2 − λ02 | + |λ1 − λ01 |), với t ∈ [a, b] Do đó, ||y − x||pp p Zb ≤2 (|λ1 − λ01 | + |λ2 − λ02 |)p dt a ≤ (b − a)(|λ1 − λ01 | + |λ2 − λ02 |)p p (3.7) Từ (3.6) ta có y(t) ˙ − x(t) ˙ = (λ2 − λ1 + λ01 − λ02 ), a−b với hầu khắp t ∈ [a, b] Vì ||y˙ − x|| ˙ pp ≤ b−a (|λ1 − λ01 | + |λ2 − λ02 |)p p |a − b| (3.8) Kết hợp (3.7) (3.8) ta có   b−a p p p ||y − x||p + ||y˙ − x|| ˙ p ≤ (b − a) + (|λ1 − λ01 | + |λ2 − λ02 |)p p |a − b|  1/p b − a Đặt k = 2p (b − a) + , ta có |a − b|p ||y − x||1,p ≤ k|λ − λ0 | Từ suy tính chất (3.5) nghiệm Đó điều phải chứng minh Với θ ∈ M , ta ký hiệu Jx (x, θ) đạo hàm Frechet hàm số J(·, θ) x Bây ta thiết lập tớnh cht liờn tc Hă older ca Jx (x, ) theo (x, θ) Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41 Mệnh đề 3.4 Giả sử giả thiết H1 ) H2 ) thỏa mãn Khi đó, với θ ∈ M , phiếm hàm J(·, θ) khả vi Frechet theo x, tồn số k1 > cho p/q ||Jx (x1 , θ1 ) − Jx (x2 , θ2 )|| ≤ k1 (||x1 − x2 ||1,p + ||θ1 − θ2 ||p/q p ), (3.9) với (xi , θi ) ∈ X × M , i = 1, Chứng minh Cố định θ ∈ M xét phiếm hàm J(·, θ) Với sˆ ∈ M , hàm J(·, θ) khả vi Frechet x ˆ Thực vậy, giả sử f (ˆ x, θ) phiếm hàm tuyến tính xác định công thức Zb f (ˆ x, θ)h = ˙ (Lˆu (t)h(t) + Lˆv (t)h(t))dt, a với h ∈ X, Lˆu (t) = Lu (t, x ˆ(t), x ˆ˙ (t), θ(t)), Lˆv (t) = (t, x ˆ(t), x ˆ˙ (t), θ(t)) Do H2 ) ta có |Lˆu (t)| ≤ |Lu (t, x e(t), ye(t), ze(t))+ + l(|ˆ x(t) − x e(t)|p−1 + |x ˆ˙ (t) − ye(t)|p−1 + |θ(t) − ze(t)|p−1 ) = β(t) + l(|ˆ x(t) − x e(t)|p−1 + |x ˆ˙ (t) − ye(t)|p−1 + |θ(t) − ze(t)|p−1 ), |Lˆv (t)| ≤ |Lv (t, x e(t), ye(t), ze(t))+ + l(|ˆ x(t) − x e(t)|p−1 + |x ˆ˙ (t) − ye(t)|p−1 + |θ(t) − ze(t)|p−1 ) = γ(t) + l(|ˆ x(t) − x e(t)|p−1 + |x ˆ˙ (t) − ye(t)|p−1 + |θ(t) − ze(t)|p−1 ), với hầu khắp t ∈ [a, b] Vì β(·) ∈ Lq ([a, b], R) γ(·) ∈ Lq ([a, b], R), ta suy Lˆu (t), Lˆv (t) thuộc Lq ([a, b], Rn ) Từ bất đẳng thức i), iv) Bổ đề 3.2 suy Zb |f (ˆ x, θ)h| ≤ ˙ |Lˆu (t)h(t) + Lˆv (t)h(t)|dt a Zb ≤ p 1/p ˙ (|Lˆu (t)q | + |Lˆv (t)q |)1/q (|h(t)|p + |h(t)| ) dt a Soá hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42  b 1/q  b 1/p Z Z p ˙ ≤  (|Lˆu (t)q | + |Lˆv (t)q |dt)  (|h(t)|p + |h(t)| )dt a a ≤ σ||h||1,p ,  b 1/q Z σ =  (|Lˆu (t)q | + |Lˆv (t)q |)dt a Điều chứng tỏ f (ˆ x, θ) phiếm hàm tuyến tính liên tục X Chúng ta có J(ˆ x + h, θ) − J(ˆ x, θ) − f (ˆ x, θ)h = o(h), (3.10) o(h) vơ bé bậc cao ||h|| Thực vậy, Zb n ˙ J(ˆ x + h, θ) − J(ˆ x, θ) − f (ˆ x, θ)h = L(t, x ˆ(t) + h(t), x ˆ˙ (t) + h(t), θ(t))− a o ˙ ˙ ˆ ˆ − L(t, x ˆ(t), x ˆ(t), θ(t)) − Lu (t)h(t) − Lv (t)h(t) dt Sử dụng định lý giá trị trung bình giả thiết H2 ), ta có ˙ ˙ ˆ u (t)h(t) − L ˆ v (t)h(t)| |L(t, x ˆ(t) + h(t), x ˆ˙ (t) + h(t), θ(t)) − L(t, x ˆ(t), x ˆ˙ (t), θ(t)) − L n ˙ ˆ u (t)||h(t)|+ ≤ sup |Lu (t, x ˆ(t) + µh(t), x ˆ˙ (t) + µh(t), θ(t)) − L µ∈[0,1] o ˙ ˙ ˙ ˆ + Lv (t, x ˆ(t) + µh(t), x ˆ(t) + µh(t), θ(t)) − Lv (t)h(t)| p−1 ˙ ˙ ≤ sup {l(|µh(t)|p−1 + |µh(t)| )(|h(t)| + |h(t)|)} µ∈[0,1] p−1 ˙ ˙ ≤ l(|h(t)|p−1 + |h(t)| )(|h(t)| + |h(t)|) (3.11) Mặt khác, theo Bổ đề 3.2 (i) ta có p−1 ˙ ˙ l(|h(t)|p−1 + |h(t)| )(|h(t)| + |h(t)|) p ˙ ˙ = l(|h(t)|p + |h(t)| ) + l(|h(t)|p−1 |h(t)| + |h(t)|p−1 |h(t)|) p p 1/p (p−1)q 1/q ˙ ˙ ˙ ≤ l(|h(t)|p + |h(t)| ) + l(|h(t)|p + |h(t)| ) (|h(t)|(p−1)q + |h(t)| ) p p ˙ ˙ = l(|h(t)|p + |h(t)| ) + l(|h(t)|p + |h(t)| ) p ˙ = 2l(|h(t)|p + |h(t)| ) Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN (3.12) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43 Kết hợp (3.11), (3.12) ta ˙ ˙ ˆ u (t)h(t) − L ˆ v (t)h(t)| |L(t, x ˆ(t) + h(t),ˆ˙(t) + h(t), θ(t)) − L(t, x ˆ(t), x ˆ˙ (t), θ(t)) − L p ˙ ≤ 2l(|h(t)|p + |h(t)| ) Do ta có |J(ˆ x + h, θ) − J(ˆ x, θ) − f (ˆ x, θ)h| ≤ 2l||h||p1,p Vì p > nên từ bất đẳng thức ta suy (3.10) Ta phải (3.9) nghiệm Lấy tùy ý (x1 , θ1 ) ∈ X × M (x2 , θ2 ) ∈ X × M Áp dụng Bổ đề 3.2 sử dụng giả thiết H2 ), ta có |Jx (x1 , θ1 )h − Jx (x2 , θ2 )h| = |f (x1 , θ1 )h − f (x2 , θ2 )h| b Z ˙ = [Lu (t, x1 , x˙ , θ1 )h − Lv (t, x2 , x˙ , θ2 )h + Lv (t, x1 , x˙ , θ1 )h˙ − Lv (t, x2 , x˙ , θ2 )h]dt