Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu và không đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC _ Nguyễn Tuấn Anh BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU VÀ KHƠNG ĐƠN ĐIỆU Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Mở đầu Chương 1.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 1.1.2 Sự tồn nghiệm tính chất tập nghiệm 13 Bài toán đặt không chỉnh 16 1.2.1 Khái niệm toán đặt chỉnh đặt không chỉnh 16 1.2.2 Phương ph¸p hiƯu chØnh 18 1.1.1 Phát biểu toán ví dụ 1.2 Chương 2.1 2.2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu 23 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu 23 2.1.1 Sù héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 23 2.1.2 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 26 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu 30 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chØnh 30 2.2.2 Tèc ®é héi tơ 33 2.2.3 VÝ dô sè 35 Tài liệu tham khảo S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Thu Thủy, Chủ nhiệm khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người đà hướng dẫn, dạy tận tình để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thày, cô giáo công tác trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam đà truyền thụ kiến thức cho suốt trình học tập vừa qua Tôi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đà chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tác giả Nguyễn TuÊn Anh Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức biến phân đơn điệu lớp toán nảy sinh từ nhiều vấn đề toán học ứng dụng phương trình vi phân, toán vật lý toán, tối ưu hóa Ngoài nhiều vấn đề thực tế toán cân mạng giao thông đô thị, mô hình cân kinh tế mô tả dạng bất đẳng thức biến phân đơn điệu Rất tiếc toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, nói chung, lại toán đặt không chỉnh Do tính không ổn định toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện toán dẫn đến sai số lời giải Vì nảy sinh vấn đề tìm phương pháp giải ổn định cho toán đặt không chỉnh, cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán ban đầu Cho hợp X không gian Banach phản xạ thực, X không gian liên X , hai có chuẩn kí hiệu k.k, A : X X toán tử đơn điệu đơn trị K tập lồi đóng X Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu phát biểu sau: với tìm phần tử f ∈ X ∗ cho tr­íc, h·y x0 ∈ K cho (0.1) hAx0 − f, x − x0 i 0, x K, hx , xi kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tơc x∗ ∈ X ∗ t¹i x ∈ X Nếu K X toán (0.1) có dạng phương trình toán tử A(x) = f (0.2) Một hướng nghiên cứu quan trọng bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) việc xây dựng phương pháp giải Khi toán tử S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A tính chất đơn điệu đơn điệu mạnh toán (0.1), nói chung, toán đặt không chỉnh I P Ryazantseva [13] đà xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho toán së t×m xh,δ α ∈ K cho s h,δ h,δ hAh (xh,δ α ) + αU (xα − x∗ ) − fδ , x − xα i ≥ 0, ∀x ∈ K, ®ã (0.3) Ah : X → X xấp xỉ A có tính đơn ®iƯu, fδ lµ xÊp xØ cđa f , U s ánh xạ đối ngẫu X , > lµ tham sè hiƯu chØnh phơ thc vµo h , x phần tử cho trước đóng vai trò tiêu chuẩn chọn Nếu toán tử nhiễu Ah không đơn điệu bất đẳng thức biến phân hiƯu chØnh (0.3) cã thĨ kh«ng cã nghiƯm Trong tr­êng hợp Liskovets [11] đưa bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh dạng hAh x + U s (x − x∗ ) − fδ , x − xτα i ≥ −νg(kxτα k)kx − xτα k, ∀x ∈ K, ë ®©y xτα ∈ K, (0.4) ν ≥ h, τ = (h, ) Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày phương pháp giải ổn định bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) sở xây dựng nghiệm hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (0.3) (0.4) Trình bày hội tụ ®¸nh gi¸ tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh với toán tử ngược đơn điệu mạnh không gian Banach phản xạ thực dựa việc chọn tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu bất đẳng thức biến phân đơn điệu, trình bày tồn nghiệm tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân đơn điệu Đồng thời trình bày số kiến thức toán đặt không chỉnh vài phương pháp hiệu chỉnh giải loại toán Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu Cụ thể trình bày hội tụ đánh giá tốc S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh (0.3), trình bày hội tụ nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh phương pháp hiệu chỉnh (0.4) với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm, kết đà nhận đăng tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên năm 2011 phần cuối chương kết số có tính chất minh họa, chương trình thực nghiệm viết ngôn ngữ MATLAB S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu chữ viết tắt H không gian Hilbert thùc X kh«ng gian Banach thùc X∗ kh«ng gian liên hợp Rn không gian Euclide tập rỗng X n chiều x := y x định nghÜa b»ng y ∀x víi mäi ∃x tån t¹i inf F (x) x∈X x x infimum cña tËp {F (x) : x X} I ánh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị ma trận ab a tương đương với b A toán tử liên hợp toán tử D(A) miền xác định toán tử R(A) miền giá trị toán tử xk x xk * x d·y d·y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên A A A A {xk } héi tơ m¹nh tíi x {xk } héi tơ yếu tới x http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 1.1 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 1.1.1 Phát biểu toán ví dụ Cho X không gian Banach phản xạ thực, X không gian liên hợp X , A : X X toán tử đơn trị với miền xác định D(A) X (thông thường ta coi (miền ảnh) D(A) X không nói thêm) miền giá trị R(A) nằm X Các kiến thức mục tham khảo tài liệu [1, 3, 4, 7] Định nghĩa 1.1 Toán tử i) đơn điệu A gọi hA(x) A(y), x yi 0, x, y D(A) ii) đơn điệu chặt dấu bất đẳng thức đạt x = y iii) đơn điệu tồn hàm không âm (t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = vµ hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ D(A) NÕu δ(t) = cA t2 víi cA lµ mét số dương toán tử A gọi đơn điệu mạnh Định nghĩa 1.2 Toán tử A gäi lµ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun hemi-liªn tơc trªn X nÕu A(x + http://www.lrc-tnu.edu.vn ty) * Ax trªn X t → 0+ nÕu tõ NhËn xÐt 1.1 víi mäi x, y X, A gọi demi-liên tục xn → x suy Axn * Ax n Một toán tử đơn điệu hemi-liên tục X demi-liên tục A : X X toán tử đơn điệu, đơn trị K tập lồi Cho đóng sau: với X Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu phát biểu f X , h·y t×m x0 ∈ K cho (1.1) hAx0 − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K Bỉ ®Ị 1.1 (xem [3]) A : X → X∗ Cho X không gian Banach thực, toán tử đơn điệu hemi-liên f X Nếu tục (1.1) tương đương với (1.2) hAx − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K Chứng minh Do A toán tử đơn điệu nªn ta cã hAx − Ax0 , x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X, x0 ∈ X BÊt đẳng thức tương đương với hAx Ax0 , x − x0 i = h(Ax − f ) − (Ax0 − f ), x − x0 i hay hAx − f, x − x0 i ≥ hAx0 − f, x − x0 i Tõ (1.1) vµ bÊt đẳng thức ta suy (1.2) Ngược lại giả sö hAx − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K, ®ã víi mäi t ∈ (0, 1) ta cã hA[(1 − t)x0 + tx] − f, (1 − t)x0 + tx − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn suy thA[(1 − t)x0 + tx] − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ K Chia c¶ hai vÕ cđa bất đẳng thức cho tính chất t sau cho t sử dụng hemi-liên tục toán tử A ta bất đẳng thức (1.1) VÝ dơ 1.1 Cho f (x) lµ mét hµm thùc khả vi J = [a, b] HÃy tìm x0 ∈ J cho f (x0 ) = f (x) xJ Ta thấy có ba khả sau: 1) NÕu a < x0 < b th× f (x0 ) = 0; 2) NÕu x0 = a th× f (x0 ) ≥ vµ; 3) NÕu x0 = b f (x0 ) Những phát biểu tổng quát cách viết sau: f (x0 )(x − x0 ) ≥ 0, x J, bất đẳng thức biến phân F : X R {+} gọi Định nghĩa 1.3 Phiếm hàm i) lồi X nÕu víi mäi x, y ∈ X ta cã F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1] ii) nöa liªn tơc d­íi trªn X nÕu lim inf F (y) F (x), x X yx Định nghĩa 1.4 Cho F phiếm hàm lồi, thường x X Ta định nghĩa F X ®iÓm bëi: ∂F (x) = {x∗ ∈ X ∗ : F (x) ≤ F (y) + hx − y, x∗ i, y ∈ X} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Tõ |hAh (θ), x − θi| ≤ kAh (θ)kkx − θk ta suy hAh (θ), x − θi ≥ −kAh (θ)kkxk U s tính đơn điệu toán tử Ah , tõ (2.5) ta cã h(Ah + αU s )(x), xi αkxks − kAh (θ)kkxk ≥ kxk kxk (2.6) KÕt hợp định nghĩa = kxks1 kAh ()k Vì s nên từ (2.6) ta nhận h(Ah + αU s )(x), xi lim = +∞ kxk kxk→+∞ Hơn nữa, toán tử Ah + U s đơn điệu mạnh h(Ah + U s )(x) (Ah + αU s )(y), x − yi = hAh (x) − Ah (y), x − yi + αhU s (x) − U s (y), x − yi ≥ αmU kx − yks Theo Định lý 1.1 Chương 1, bất đẳng thức biến phân (2.4), với có nghiệm, kí hiệu nghiệm Bây giờ, ta chứng minh α > 0, xτα {xτα } héi tô ®Õn nghiÖm x0 cã x∗ -chuÈn nhá nhÊt ThËt vËy, tõ (2.1) vµ (2.4), víi mäi x0 ∈ S0 ta cã: hA(xτα ) − A(x0 ), xτα − x0 i + αhU s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 i ≤ hAh (xτα ) − A(xτα ), x0 − (2.7) xτα i + hf − fδ , x0 − xτα i + αhU s (x0 − x∗ ), x0 − xτα i Mặt khác, từ (1.8), (2.2), (2.3) tính chất đơn điệu toán tử A, (2.7) có dạng mU kx − x0 ks ≤ hU s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 i ≤ hg(kxτα k) + δ kx0 − xτα k α + hU s (x0 − x∗ ), x0 − xτα i Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn (2.8) http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Bất đẳng thức (2.8) chøng tá d·y {xτα } giíi néi V× X không gian Banach phản xạ, tồn mét d·y cđa {xτα } héi tơ u ®Õn phần tử x1 X Không làm tính tổng quát, ta giả thiết x * x1 , h+δ , α → Trong bất đẳng thức (2.4) cho h, , 0, sử dụng tính đơn điệu, hemi-liên tục Ah , U s vµ sù héi tơ u cđa d·y {x } ta hA(x) f, x x1 i 0, x K Vì K tập lồi đóng nên thay x bất đẳng thøc cuèi cïng bëi ty + (1 − t)x1 víi ∀y ∈ K , t ∈ (0; 1), sau ®ã chia c¶ hai vÕ cho t råi cho t → ta nhận hA(x1 ) f, y x1 i ≥ 0, ∀y ∈ K Chøng tá x1 ∈ S0 , tøc x1 lµ mét nghiƯm cđa (2.1) Mặt khác từ (2.8) cho h+ ta suy α, α ≤ mU kx1 − xks ≤ hU s (x − x∗ ), x − x1 i, x S0 Lại thay x bất đẳng thøc nµy bëi tx1 + (1 − t)x, < t < 1, chia c¶ hai vÕ cho (1 − t) cho t ta nhận hU s (x1 − x∗ ), x − x1 i ≥ 0, ∀x ∈ S0 , nghÜa lµ hU s (x1 − x∗ ), x − x∗ i ≥ hU s (x1 − x∗ ), x1 − x∗ i = kx1 x ks Từ suy kx1 x∗ k ≤ kx − x∗ k, ∀x ∈ S0 Vì tập nghiệm S0 (2.1) tập lồi đóng X không gian Banach lồi chặt nªn x1 = x0 Cịng tõ (2.8) suy dÃy nghiệm {x } hội tụ mạnh đến x0 2.1.2 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Trước đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, ta nhắc lại định nghĩa sau Định nghĩa 2.1 đơn điệu mạnh (xem [12]) Toán tử đơn trị tồn số A : X X gọi ngược mA > tháa m·n hA(x) − A(y), x − yi ≥ mA kA(x) − A(y)k2 , ∀x, y ∈ D(A) Nếu (2.9) A toán tử ngược đơn điệu mạnh A liên tục Lipschitz kA(x) A(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ D(A) ⊂ X mA Nhận xét 2.1 Một toán tử ngược đơn điệu mạnh không thiết đơn điệu mạnh Ví dụ 2.1 (xem [12]) Cho lồi đóng H không gian Hilbert, M tập H Toán tử PM chiếu H lên M toán tử không giÃn, đơn điệu thỏa mÃn điều kiÖn hPM (x) − PM (y), x − yi ≥ kPM (x) − PM (y)k2 , ∀x, y ∈ H, có nghĩa PM toán tử ngược đơn điệu mạnh, PM không đơn điệu mạnh trừ Nếu M H A toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp, xác định không âm không gian Hilbert H A toán tử ngược đơn điệu mạnh Ta có kết sau: Bổ đề 2.1 (xem [12]) Nếu A:HH toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp không gian Hilbert H điều kiện sau tương ®­¬ng: i) ii) ∃mA > : hAx, xi ≥ mA kAxk2 , ∀x ∈ H; hAx, xi ≥ 0, x H; iii) Tất giá trị riêng cđa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn A không âm http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Để ®¸nh gi¸ tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh ta sử dụng bất đẳng thức Young (xem [6] tµi liƯu dÉn): a, b, c ≥ 0, k > t, ak ≤ bat + c =⇒ ak = O(bk/(k−t) + c) Định lý sau cho ta kết tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh sở tham số hiệu chỉnh chọn thỏa mÃn = α(h, δ) ∼ (h + δ)η , < < Định lý 2.2 (i) (xem [6]) Giả sử: A toán tử ngược đơn điệu mạnh từ X lân cận x0 S0 vào X khả vi Fréchet với tính chất kA(x) − A(x0 ) − A0 (x0 )(x − x0 )k ≤ τ˜kA(x) − A(x0 )k, ∀x ∈ X, (2.10) ë A0 (x) đạo hàm Fréchet A x, số dương; (ii) tồn phần tử (iii) tham số zX = α(h, δ) cho A0 (x0 )∗ z = U s (x0 x ); chọn cho = α(h, δ) ∼ (h + δ)η , < η < Khi ®ã, kxτα − x0 k = O((h + δ)µ ),   1−η η µ = , s − 2s − Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Chøng minh Tõ (2.1)-(2.4) ta suy hA(xτα ) − A(x0 ), xτα − x0 i + αhU s (xτα − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 i ≤ hAh (xτα ) − A(xτα ), x0 − xτα i xτα i ∗ s + hf − fδ , x0 − + αhU (x0 − x ), x0 −
≤ hg(kxτα k) + δ kx0 − xτα k xτα i (2.11) + αhU s (x0 − x∗ ), x0 − xτα i Kết hợp tính chất ngược đơn điệu mạnh toán tử A, tính đơn điệu U s , từ (2.11) ta nhận
hg(kx k) + δ + αkx0 − x∗ ks−1 kx0 − xτα k kA(x ) A(x0 )k2 mA ánh xạ (2.12) Mặt khác, từ (1.2), (2.10), tính đơn điệu toán tử A điều kiện (ii) suy mU kx hg(kxτα k) + δ − x0 k ≤ kx0 − xτα k α + hz, A0 (x0 )(x0 − xτα )i s hg(kxτα k) + δ ≤ kx0 − xτα k α + kzk(1 + τ˜)kA(xτα ) − A(x0 )k Do tham số hiệu chỉnh dÃy (2.13) chọn tháa m·n α ∼ (h + δ)η , < < {x } bị chặn nên kết hợp (2.12), (2.13) ta mU kx x0 ks ≤ C1 (h + δ)1−η kx0 − xτα k + C2 (h + δ)η/2 kx0 − xτα k1/2 , C1 , C2 số dương áp dụng bất đẳng thức Young cho bất đẳng thức cuối ta có đánh giá  
− η , kxτα(h,δ) − x0 k = O (h + δ)µ , µ = s − 2s − Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 2.2 HiÖu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu 2.2.1 Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Cho A Ah toán tử hemi-liên tục từ không gian Banach phản xạ, lồi chặt X vào không gian liên hợp X X Giả sử toán tử A đơn điệu, toán tử nhiễu Ah không thiết đơn điệu thỏa mÃn điều kiện (2.3) Khi bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.4) nghiệm, để hiệu chỉnh cho toán (2.1) trường hợp ta sử dụng bất đẳng thức biến phân (xem [11]) hAh xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα i ≥ −νg(kxτα k)kx − x k, x K, x K, (2.14) h Bổ đề 2.2 Với > 0, ν > vµ fδ ∈ X ∗ , bất đẳng thức biến phân (2.14) có nghiƯm xτα Chøng minh LËp ln t­¬ng tù nh­ chứng minh Định lý 2.1 ta suy bất đẳng thøc biÕn ph©n hAxδα + αU s (xδα − x∗ ) − fδ , x − xδα i ≥ 0, ∀x ∈ K, cã nhÊt nghiƯm (kÝ hiƯu lµ x ) Từ (2.3) (2.15) ta nhận hAh xδα + αU s (xδα − x∗ ) − fδ , x − xδα i ≥ −hg(kxδα k)kx − xδα k, ∀x ∈ K, V× (2.15) xδα ∈ K (2.16) h nên x (suy x ) nghiƯm cđa (2.14) Trong phÇn tiÕp theo ta cÇn sư dụng định nghĩa sau (xem [3]) S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 A : X X Định nghĩa 2.2 Ta nãi r»ng mét to¸n tư tõ sù héi tơ u dÃy hội tụ mạnh ( Ah nÕu hAxn − Ax, xn − xi → suy xn x) n Định lý 2.3 Giả sử điệu, {xn } (xn * x) có tính chất A Ah toán tử hemi-liên tục, A toán tử đơn không đơn điệu thỏa m·n (2.3), fδ ∈ X ∗ tháa m·n (2.2), to¸n tư A cã tÝnh chÊt Γ vµ tËp nghiƯm cđa toán (2.1) khác rỗng Khi +h+ lim = (2.17) α→0 α τ th× {x } héi tụ mạnh đến nghiệm x0 có x -chuẩn nhỏ α Chøng minh Tõ (2.1) vµ (2.14) suy hAh xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x0 − xτα i + hAx0 − f, xτα − x0 i ≥ −νg(kxτα k)kx0 − xτα k (2.18) Bất đẳng thức tương đương với hU s (x − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτα − x0 i ≤ ≤ αhU s (x0 − x∗ ), x0 − xτα i + hAh xτα − Axτα , x0 − xτα i (2.19) + hAx0 − Axτα , xτα − x0 i + hf − fδ , x0 − xτα i + νg(kxτα k)kx0 − xτα k Sư dơng tÝnh chÊt cđa U s , tÝnh đơn điệu A, từ (2.2), (2.3) (2.19) ta nhận được: ms kx  h+ g(kx k) + kx0 − xτα k − x0 k ≤ α α s  (2.20) + hU s (x0 − x∗ ), x0 − xτα i V× ν/α → α → (vµ suy h/α → 0), tõ (2.17) (2.20) suy dÃy x bị chặn Vì vËy tån t¹i mét d·y cđa d·y xτα héi tụ yếu đến phần tử x X Không làm tính tổng quát ta giả sử x hội tơ u ®Õn x¯ ∈ X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Bây ta hội tụ mạnh dÃy điệu toán tử {x } tới x Từ tính chất đơn A tính chất U s suy ≤ hAxτα − A¯ x, xτα − x¯i ≤ hAxτα + αU s (xτα − x∗ ) − A¯ x − αU s (¯ x − x∗ ), xτα − x¯i = hAxτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯i (2.21) − hA¯ x + αU s (¯ x − x∗ ), xτα xi Vì dÃy {x } hội tụ yếu đến x¯ nªn lim hA¯ x + αU s (¯ x − x∗ ), xτα − x¯i = α→0 (2.22) Tõ (2.2), suy hAxτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯i = = hAxτα − Ah xτα + Ah xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯i (2.23) ≤ hAh xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯i + hg(kxτα k)kx xk Sử dụng bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.14) ta nhận hAh x + U s (xτα − x∗ ), xτα − x¯i = hAh xτα + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , xτα − x¯i + hfδ , xτα − x¯i (2.24) ≤ hfδ , xτα − x¯i + νg(kxτα k)k¯ x x k Vì x * x nên từ (2.24) suy lim hAh xτα + αU s (xτα − x∗ ), xτα − x¯i ≤ α→0 (2.25) Kết hợp (2.21), (2.22), (2.23) (2.25) ta nhận lim hAxτα − A¯ x, xτα − x¯i = 0 Cuối tính chất tụ mạnh đến toán tử A đẳng thức suy {xτα } héi x¯ ∈ X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 B©y giê ta chØ r»ng x¯ ∈ S0 Từ (2.3) (2.14) ta nhận hAx + αU s (xτα − x∗ ) − fδ , x − xτα i ≥ −(h + ν)g(kxτα k)kx − xτα k, ∀x ∈ X Cho (2.26) α → bất đẳng thức với ý A toán tử hemi-liên tục điều kiện (2.2) suy hA¯ x − f, x − x¯i ≥ 0, ∀x ∈ X NghÜa lµ x¯ ∈ S0 Ta sÏ chứng minh x = x0 Sử dụng tính đơn điệu ánh xạ U s , kết hợp U s , ta viÕt l¹i (2.16) ë d¹ng   h + ν δ hU s (x − x∗ ), xτα − xi ≤ g(kxτα k) + kx − xτα k, ∀x ∈ S0 α α (2.3) vµ tÝnh chÊt cña Tõ α → 0, δ/α, ν/α → (và h/ 0), bất đẳng thức cuối trở thµnh hU s (x − x∗ ), x¯ − xi ≤ 0, ∀x ∈ S0 Thay x bëi t¯ x + (1 − t)x, t ∈ (0, 1) bất đẳng thức cuối cùng, chia vế cho (1 − t) sau ®ã cho t tiÕn ®Õn 1, ta nhận hU s ( x x ), x¯ − xi ≤ 0, ∀x ∈ S0 , hay hU s (¯ x − x∗ ), x¯ − x∗ i ≤ hU s (¯ x − x∗ ), x − x∗ i, ∀x ∈ S0 Sư dơng tÝnh chÊt cña U s ta cã k¯ x − x∗ k ≤ kx − x∗ k, ∀x ∈ S0 Vì tính lồi đóng tập nghiệm S0 tính lồi chặt không gian X , ta suy x¯ = x0 2.2.2 Tèc ®é héi tơ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Trong mục nghiên cøu tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh cđa bất đẳng thức biến phân trường hợp toán tử nhiễu không đơn điệu Kết lấy từ báo [2] Định lý 2.4 Cho X không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt A : X X toán tử đơn điệu, bị chặn hemi-liên tục với D(A) = X , Ah toán tử i) với Us ii) iii) hemi-liên tục, không đơn điệu Giả sử h, điều kiện thỏa mÃn điều kiện (2.2) (2.3) thỏa mÃn; (1.8); A toán tử ngược đơn điệu mạnh, khả vi Fre'chet lân x0 S0 vµ tháa m·n kA(x) − A(x0 ) − A0 (x0 )(x − x0 )k ≤ τ˜kA(x) − A(x0 )k; iv) tồn phần tử zX (2.27) cho A0 (x0 )∗ z = U s (x0 − x∗ ); Khi ®ã, nÕu tham sè hiƯu chØnh α = α(ν, ) chọn cho = (, ) ' (ν + δ)η1 , < η1 < th× ta có đánh giá   1 kxτα(ν,δ) − x0 k = O((ν + δ)µ1 ), µ1 = , s 2s Chøng minh Bằng cách chứng minh tương tự chứng minh phần đầu Định lý 2.3 ta có (2.20) Tính bị chặn dÃy tính chất {x } suy từ (2.20) g(t) Mặt khác từ (2.19), tính chất U s tính ngược đơn điệu mạnh A ta nhận   s−1 kA(xτα ) − A(x0 )k2 ≤ m−1 (h + ν)g(kx k) + δ + αkx − x k ∗ A ì kx0 x k Do đó, √ kA(xτα ) − A(x0 )k = O( δ + ν + α) Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Hơn từ điều kiện iii), iv) đánh giá cuối ta nhận hU s (x0 x ), x0 − xτα i = hz, A0 (x0 )(x0 − xτα )i ≤ kzk(˜ τ + 1)kA(xτα ) − A(x0 )k √ ≤ kzk(˜ τ + 1)O( δ + ν + ) Vậy (2.20) có dạng ms kx Vì 2g(kx k) + δ − x0 k ≤ kx0 − xτα k α √ + kzk(˜ τ + 1)O( δ + ν + ) s (2.28) chọn trước thỏa mÃn α ∼ (ν + δ)η1 , < η1 < 1, nªn tõ (2.28) suy ms kxτα(ν,δ) − x0 ks ≤ C˜1 (ν + δ)1−η1 kx0 − xτα(ν,δ) k + C˜2 (ν + δ)η1 /2 Do ®ã, kxτα(ν,δ) − x0 k = O((ν + δ)µ1 ) 2.2.3 Ví dụ số Trong mục trình bày mét vÝ dơ sè tr­êng hỵp hiƯu chØnh bÊt đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu Xét toán F (x) xH không gian Hilbert thùc (2.29) H , víi F lµ hµm låi chÝnh th­êng nưa liªn tơc d­íi u trªn H hàm F có dạng F (x) = hAx, xi, A : H H toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp xác định không âm H Vì F (x) = Ax, nên x0 nghiệm toán S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 (2.29) vµ chØ x0 nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) víi f ≡ θ ∈ H Tõ Bỉ đề 2.1 ta có A toán tử ngược đơn điệu mạnh Hơn A khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet A Điều kiện (ii) Định lý 2.2 trë thµnh A(x0 )∗ z = x0 áp dụng kết ta giải toán tìm x0 ∈ RM tháa m·n hAx0 , x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ RM , ®ã A = B T B ma trận vuông cấp M với ma trận xác định B = (bij )M i,j=1 , b1j = cos(2011), j = 1, , M, b2j = cos(2011), j = 1, , M, 2011 bij = sin(i)cos(j), i = 3, , M, j = 1, , M, M > i+j Ah = Ih + A lµ xÊp xØ cđa A, I ma trận đơn vị cấp M Với toán tử A cho trên, x0 = (0, 0, , 0)T RM nghiệm toán (2.29) có chuẩn nhỏ Bây áp dụng Định lý 2.2 với tham số giá r,M chän bëi α ∼ (h + δ)2/3 , h = δ = = kxτα,M − x0 k ®Ĩ nhËn đánh M2 Sử dụng phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho toán (2.29) sau (xem [14]): cho trước z0 zm+1 H , dÃy {zm } xác định sơ đồ lặp   = zm − βm A(zm ) + αm (zm x ) , (2.30) x phần tử không gian Hilbert H , {m } {m } dÃy số dương, với tiêu chuẩn dừng dÃy lặp (m) max |xj 1jM S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (m−1) xj | 105 , http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 m số lần lặp Bảng kết sau tính toán với m = (1 + m)1/4 βm = (1 + m)−1/2 M α τ rα,M 0, 25 0.00118402 0.099213 0.0005687 16 0.039373 0.00021572 32 0.015625 9.6008 × 10−5 64 0.0062008 2.5505 × 10−5 B¶ng 2.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh Nguyễn Bường (2005), Bài toán không chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Néi [2] Ngun Tn Anh (2011), "Tèc ®é héi tơ nghiệm hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu không đơn điệu" (nhận đăng) [3] Y Alber and I Ryazantseva (2006), monotone type, Springer [4] V Barbu (1976), nach spaces, Nonlinear ill-posed problems of Nonlinear semigroups and differential equations in Ba- Noordhoff International Publishing, Leyden The Nether- lands [5] Ng Buong (2003), "Convergence rates in regularization under arbitrarily perturbative operators", Zh Vychisl Mat i Mat Fiz., 43 (3), pp 323- 327 [6] Ng Buong (2005), "Convergence rates in regularization for ill-posed variational inequalities", CUBO Mathematical Journal Chile, (3), pp 87-94 [7] I Ekeland and R Temam (1976), lems, Convex analysis and Variational prob- Amstedam: North Holland [8] H W Engl, M Hanke and A Neubauer (1996), verse Problems, Regularization of In- Kluwer Dordrecht Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 [9] J Hadamard (1932), Le problÐme de Caushy et Ðquations aux dÐrivÐes partielles linÐaires hyperpoliques, [10] M M Lavrentiev (1967), matical Physics, Hermann, Paris Some Improperly Posed Problems in Mathe- Springer, New York [11] O A Liskovets (1991), "Regularization of ill-posed variational inequalities on approximately given sets", Differen Equa., Minsk, 1-53 [12] F Liu and M Z Nashed (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variational inequalities and convergence rates", Set-Valued Analysis, , pp 313-344 [13] I P Ryazantseva (1983), "Solution of variational inequalities with monotone operators by the method of regularization", Mat Fiz., 23 Zh Vychisl Mat i , pp 479-483 (in Russian) [14] Ng T T Thuy (2010), "An iterative method to a common solution of inverse-strongly monotone problems in Hilbert spaces", Applications in Mathematical Sciences, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Advances and , pp 165-174 http://www.lrc-tnu.edu.vn