Chuyên đề Số học-2013 Đào Thắng CHV VMO pre 213-214 Warm up Cho Bµi x, y ∈ Z , x 6= −1, y 6= −1 nguyªn Chøng minh Bài x4 y 44 chia hết cho Xác định số hữu tỷ dương 1 + y z vµ xyz cho x4 − y − + y+1 x+1 lµ sè x + (x, y, z) cho x + y + z, + x số tự nhiên Bài Tìm tất số Bài Cho sè nguyªn x, y, z ∈ N ∗ : 2xy − = z(x − 1)(y − 1) n > Chøng minh nÕu n | (3n + 1) n số chẵn a > số nguyên dương n, giả sử p ước nguyên tố lỴ cđa a + Chøng minh p − 2n+1 Bµi n Cho Víi số nguyên tố n dạng n chia hÕt cho p Bµi Bµi Cho p, chøng minh tồn vô hạn số có n N ∗ , p ∈ P , p > n + Chứng minh phương trình x x2 xp 1+ + + + =0 n + 2n + pn + nghiệm nguyên P (x) = x3 − 11x2 − 87x + m m Z , tồn n Z cho P (n) 191 2006 P h 17k i Bµi TÝnh tỉng S = 11 k=4 Bài Cho đa thức Bài 10 (IMO 96) Cho Chứng minh với a, b số nguyên cho 15a+16b 16a15b bình phương hai số nguyên dương Tìm giá trị nhỏ hai số bình phương Định lý số nguyên tố a, b, c số nguyên tháa m·n b | a3 , c | b3 13 minh abc | (a + b + c) Bµi Cho vµ a | c3 Chøng Bµi Tìm số nguyên dương (x, y, z) thỏa mÃn đồng thời điều kiện z 2012 nguyªn tè cïng nhau, 2 2012 (ii) (x + y ) = (xy)z (i) 2n Bµi Chøng minh không chia hết cho Bài Với số nguyên dương n!, n N m, n, chøng minh (2m)!(2n)! m!n!(m + n)! Bµi Tìm tất cặp số nguyên dương Bài Cho p∈P vµ a, n ∈ N ∗ (x, y) cho 3x = 2x y + Chøng minh r»ng nÕu 2p + 3p = an th× n = x, a, b số nguyên d¬ng tháa m·n xa+b = ab b x Chøng minh a = x vµ b = a Bµi (Iran 98) Cho x, y, n số nguyên, n > cho n | x2013 Chøng minh r»ng + x + y kh«ng chia hÕt cho n Bài Cho Bài (IMO 2001) Tìm tất cặp số nguyên dương n | y 2014 (n, p) tháa m·n ®ång thêi ®iỊu kiện p số nguyên tố, (ii) n 2p, p−1 n (iii) (p − 1) + n (i) Định lý Phéc-ma nhỏ p > Chøng minh (3p − 2p − 1) 42p Bµi Cho số nguyên tố Bài (IMO 2003) Tìm số nguyên dương số nguyên x , x2 , , x k k nhá nhÊt cho tồn thỏa mÃn x31 + x32 + + x3k = 20022002 Bµi Cho số nguyên tố p dạng 3k + số nguyên x, y Chứng minh x3 y Bài Bài Cho số nguyên (mod p) ⇔ x3 ≡ y (mod p) a CMR a2 + ước nguyên tố dạng 4k + Chứng minh phương trình sau nghiệm nguyên dương 4xy x y = z b) x − y = a) Bài Cho số nguyên lẻ n > Chøng minh r»ng n (3n + 1) Bài Tìm số số tự nhiên q r số nguyên p | q r + Chøng minh r»ng 2r | p − p | q Bài p n cho a25 − a n, ∀ a Z Cho số nguyên tố lẻ, Chứng minh với số nguyên tố lẻ n d¬ng n cho p | n.2 + Bài Bài 10 Tìm tất số tự nhiên tố thỏa mÃn p, tồn vô số số nguyên n cho n | 2n Định lý Trung Hoa phần dư Bài Tìm kN cho tồn số nguyên m thỏa mÃn 2k − | m2 + m = 20072008 Hỏi có tất bao n mà n < m vµ n(2n + 1)(5n + 2) chia hÕt cho m? Bài (VMO 08) Đặt Bài (VMO 2013) Tìm số thứ tự nhiêu số tự nhiên (a, b, c, a0 , b0 , c0 ) tháa m·n 0 ab + a b ≡ (mod 15) bc + b0 c0 ≡ (mod 15) ca + c0 a0 ≡ (mod 15) víi a, b, c, a0 , b0 , c0 ∈ {0, 1, , 14} p, q > nguyên tố Chứng minh tồn số nguyên k cho (pq 1)nk + hợp số với số nguyên dương n Bài Cho hai số nguyên dương Bài Chøng minh r»ng víi mäi n, tån t¹i n sè nguyên dương liên tiếp mà số chia hết cho bình phương số nguyên tố P (x) = (2x + 1)(3x + 1) Chøng minh r»ng víi số nguyên dương n, tồn số nguyên x cho P (x) chia hÕt cho n Bµi XÐt đa thức Bài Cho số nguyên dương n tùy ý Chứng minh tồn nhiên liên tiếp cho số có ước phương khác n mäi sè tù n cã Ýt nhÊt hai íc nguyên tố Chứng minh n1 tồn số nguyên d¬ng k , k cho k(k + 1) n Bài Chứng minh tồn số nguyên dương a, b, c cho abc n √ b2 − 4ac mµ tam thøc ax + bx + c cã hai nghiÖm x1 6= x2 , |x1 − x2 | n vµ chØ n có hai ước nguyên tố Bài Cho số nguyên dương Bài 10 Cho cộng có n số nguyên dương tùy ý Chứng minh tồn cấp số n số hạng mà số lũy thừa số nguyên dương Bài 11 Chứng minh với số nguyên dương gồm n n, tồn tập hợp phần tử gồm số nguyên dương mà tập có tổng phần tử lũy thừa số nguyên dương Bài 12 (SL 2002) Cho lưới ô vuông vô hạn hình vuông đơn vị Một điểm lưới A gọi nhìn thấy từ gốc tọa độ điểm lưới điểm dương n, O A O OA không chứa Chứng minh với số nguyên tồn hình vuông có cạnh đường lưới cho điểm lưới hình không nhìn thấy từ gốc tọa độ 13 Cho số nguyên dương b1 , b2 , , bl đôi khác nhau, n số nguyên tố, s1 , s2 , , sl ∈ N tháa m·n s1 + s2 + + sl = n Chứng Bài minh tồn số nguyên dương k cho (b1 + k)s1 (b2 + k)s2 (bl + k)sl = uv , ; u, v N v = Bài 14 Tìm tất số nguyên dương n cho tồn số nguyên b1 , b2 , , bn tất thỏa mÃn với số nguyên dương k, tích (b1 + k)(b2 + k) (bn + k) lũy thừa dương số nguyên dương 15 Cho P (x) P (y) 2013 xy Bài đa thức hệ số nguyên có tính chất: P (x) − 2013 Chøng minh nÕu P (x)−P (y) 61 th× x−y 61 m ∈ N Chứng minh tồn đa thức f (x) hệ số nguyên có tính chất: tồn x1 , x2 ∈ N cho Bµi 16 Cho f (xi ) ≡ vµ chØ (mod m) hcf (xi ) ≡ m chØ cã mét ước nguyên tố F (x) đa thức với hệ {a1 , a2 , , am } ⊂ Z cã tÝnh chÊt Bµi (mod m); i = 1, 17 Cho số nguyên thỏa mÃn tồn tËp A= ∀n ∈ Z , ∃j : F (n) aj Chøng minh ∃j0 cho ∀n ∈ Z , F (n) aj0 CÊp cña số nguyên thủy n | (an 1), ∀ a, n ∈ N ∗ , a > Bài Chứng minh Bài Tìm số nguyên dương Bài Tìm tất số nguyên tè p n nhá nhÊt cho 22013 | 17n − q + | 2003 + p, q cho p2 + | 2003q + Bài Tìm tất số nguyªn tè q p, q, r cho p | q r + 1, q | rp + vµ r | p + Bài Tìm tất số nguyên tố p, q cho pq | 2p + 2q Bài Tìm tất sè nguyªn tè p, q cho pq | (5p 2p )(5q 2q ) Bài Tìm tất số nguyên dương m, n thỏa mÃn n > vµ n n n | + m3 + m2.3 a561 − a, víi a = 2, 3, , 561 Bài Tìm ước chung lớn số Bài (SP TST 2008) Tìm số nguyên tố 3pq Bài 10 Tìm số nguyên tố 11 Tìm số p, q, r cho tồn số nguyên tố 12 Tìm số nguyên dương Bài 13 Tìm tất số nguyên thỏa mÃn n cho n2 | 2n + n > cho tồn số nguyên a với < a < n! tháa m·n an + ≡ (mod n!) 14 Chøng minh r»ng tån t¹i mét phân hoạch tập A 25 tâp hết cho 2001 thµnh p, q (mod 3pq), ∀ α ∈ Z Bµi Bµi tháa m·n (mod pqr), ∀ α ∈ Z α3pq ≡ αβ d¬ng tháa m·n (mod 3pq), ∀ α ∈ Z αpqr ≡ α Bµi p, q = {13 , 23 , , 20003 } thỏa mÃn tổng tất phần tö mét tËp chia S = {n1 , n2 , , nk } lµ mét tập hợp gồm số phương nguyên tè cïng víi p T×m sè k nhá nhÊt cho tån t¹i mét tËp A cđa S thỏa mÃn tích phần tử A đồng dư với theo môđun p Bài Bài n= Bài 15 Cho số nguyên tố lẻ p, đặt 16 Tìm tất số nguyên dương p1 p2 p3 , pi ∈ P vµ 2n + n 17 Cho số nguyên dương kiện cần đủ để n1 cho a + n n n < 1000 n = 2k + 1, k > cho có dạng Chứng minh điều số nguyên tố tồn số nguyên dương n a>1 Thặng dư toàn phương khác nguyên tố Chøng minh 2 r»ng mäi íc nguyªn tè lẻ a + b có dạng 4k + Bài Cho số nguyên a, b p, chøng minh r»ng nÕu tån t¹i x ∈ Z : x2 + p p > p (mod 3) Bài Cho số nguyên tố Bài Cho số nguyên tố p lẻ, chứng minh tồn x Z : x4 +1 p p ≡ (mod 8) Bµi p−1 Bµi Chøng minh r»ng nÕu + p p = 2n + 1, n > Cho số nguyên dương số nguyên tè th× a, b, c; (a, b) = tháa m·n a2 − ab + b2 = c2 Chøng minh ước nguyên tố c có dạng 6k + (m + 3)n + Bài Cho số nguyên dương m, n thỏa mÃn A = ∈ Z 3m Chøng minh A lµ sè lẻ 2n + ước nguyên tố dạng 8k + Bài Chứng minh Bài Tìm n ∈ N ∗ : 2n − | 3n Bài Tìm kN Bài 10 Tìm ước nguyên tố nhỏ Bài 11 (IMO 96) Cho cho tån t¹i a, b ∈ Z m∈N cho tháa m·n 2k − | m2 + 15 122 + 15a + 16b vµ 16a − 15b bình phương hai số nguyên dương Tìm sè nhá nhÊt hai sè ®ã D·y sè nguyên Bài b (VMO 2012) Xét số tự nhiên lẻ a, b mà a ước sè cđa b + 2 lµ íc sè cđa a + Chøng minh r»ng a vµ b lµ số hạng dÃy số tự nhiên (vn ) xác định v1 = v2 = = 4vn−1 − vn−2 , ∀ n > Bài Chứng minh nguyên dương Bài a, b tháa m·n a Chøng minh r»ng nÕu nguyªn d¬ng a, b tháa m·n a k k số nguyên dương cho tồn số + b2 + = kab th× k = số nguyên dương cho tồn số + b2 + = kab th× k = k cho phương trình x2 +y +1 = giá trị k tìm được, hÃy tìm tất Bài Tìm tất số nguyên dương kxy có nghiệm nguyên dương, với nghiệm phương trình đà cho Bài (xn ), (yn ) xác ®Þnh nh sau (VMO 2009) Cho hai d·y sè x1 = 1, x2 = 4, xn+2 = 3xn+1 − xn , ∀ n > 1, y1 = 1, y2 = 2, yn+2 = 3yn+1 − yn , ∀ n > Chứng minh số nguyên dương a, b thỏa mÃn phương trình a 5b2 = tồn số nguyên dương k cho a = xk , b = Bµi (VMO 2011) Cho d·y sè nguyªn − yk (an ) xác định a0 = 1, a1 = vµ an = 6an−1 + 5an−2 , ∀ n > Chøng minh r»ng a2012 − 2010 chia hÕt cho 2011 (VMO 2010) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dương 2 n trình x + 15y = có n nghiệm tự nhiên Bài n, ph¬ng n (Moscow MO 85) Chøng minh r»ng sè , n > ®Ịu biĨu diƠn n 2 dạng = 7x + y , với x, y số nguyên lẻ Bài Bài toán Số học qua kỳ thi Bài ( TST 95 ) Tìm tất số nguyên a, b, n lín h¬n tháa m·n (a3 + b3 )n = 4(ab)1995 Bµi 10 (TST 96) Víi số nguyên dương để số n, gọi f (n) số nguyên lớn [ n1 ] X Cn2i+1 3i chia hÕt cho 2f (n) i=0 T×m tất số nguyên dương Bài n mà f (n) = 1996 11 (TST 97) H·y t×m sè thùc lớn cho tồn vô hạn số tù (an ), n = 1, 2, , thỏa mÃn đồng thời điều kiện sau n (i) an > 1997 , ∀ n ∈ N ; (ii) với n > có un > an , un ước số chung lớn họ tất số + ak mà i + k = n nhiên d íc d¬ng cđa + 19981998 Chøng minh 2 r»ng d cã thĨ biĨu diƠn díi d¹ng d = 2x + 2xy + 3y , ë ®ã x, y số nguyên d chia cho 20 có dư Bài 12 (TST 1998) Giả sử Bài 13 (TST 2002) Chứng minh tồn số nguyên số nguyên dương đôi mét kh¸c m Y a2i a1 , a2 , , am −4 i=1 m X m > 2002 vµ m cho sè a2i i=1 lµ số phương (n, k) với n số nguyên 2006n không âm, k số nguyên lớn cho sè A = 17 +4.172n +7.195n cã thÓ phân tích thành tích k số nguyên dương liên tiếp Bài 14 (TST 2006) HÃy tìm tất cặp số (an ) xác định , ∀ n = 1, 2, 3, a0 = 1, an+1 = an + 3an Chøng minh với số nguyên dương n, số A = 3a2n phương có n ước nguyên tố phân biệt Bài 15 (TST 2006) Cho d·y sè thùc 1 Bµi (2m Bµi lµ số 16 (TST 2008) Cho m, n số nguyên dương Chứng minh + 3)n + chia hÕt cho 6m vµ chØ 3n + chia hÕt cho 4m 17 (TST 2009) Cho c¸c số nguyên dương a, b cho a, b ab số phương Chứng minh hai phương trình ax2 by = ax2 − by = −1 cã Ýt nhÊt mét phương trình nghiệm nguyên dương Bài 18 (TST 2010) Với số nguyên dương n, xét tập hợp Tn = {11(k + h) + 10(nk + nh ) | k, h 10} Tìm tất giá trị n cho không tồn a, b ∈ Tn , a 6= b cho a − b chia hÕt cho 110 19 (TST 2010) Gäi n cđa nhÞ thøc (1 + x) , x Bµi chia hÕt cho Bµi víi mäi n 20 (TST 2011) Cho d·y sè Chøng minh r»ng Bµi Sn tổng bình phương hệ số khai triển ∈ R , n ∈ N ∗ Chøng minh r»ng S2n + kh«ng (an ) : a0 = 1, a1 = vµ an+2 = 1+ an an+2 − a2n+1 = 2n , ∀ n ∈ N 21 (TST 2011) Tìm tất số nguyên dương A = 2n+2 (2n − 1) + − 8.3n số phương h a2 n+1 i an n cho biĨu thøc Bµi 22 (TST 2012) Cho sè nguyªn tè p > 17 Chøng minh t=3 số nguyên dương lớn thỏa mÃn điều kiện: Với số nguyên a, b, c cho abc không chia hết cho p ah+ ib + c chia hÕt cho p th× tån p số nguyên x, y, z thuộc tập {0, 1, , − 1} cho ax + by + cz t chia hÕt cho p Bài 23 (TST 2012) Cho dÃy số nguyên dương ( Chứng minh Bài (xn ) xác định x1 = 1, x2 = 2011 xn+2 = 4022xn+1 − xn , ∀ n ∈ N ∗ x2012 + 2012 số phương 24 (TST 2013) Chứng minh tồn vô số số nguyên dương 2013t + số phương Xét m, n số nguyên dương t cho (m + 1)n + số ph¬ng Chøng minh r»ng n chia hÕt cho 8(2m + 1) cho mn + 2012t + vµ