Chuyên đề 24 ứng dụng hình học giải tích oxyz để giải quyết một số bài toán

CHU N ĐỀ 24 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC .1 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH .3 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC .5 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH 17 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH 22 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU .27 PHẦN A CÂU HỎI Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vuông ABC D điểm M thuộc đoạn OI cho MO 2 MI (tham khảo hình vẽ) Khi  MC D  MAB  sin góc tạo hai mặt phẳng 85 A 85 17 13 B 65 85 C 85 13 D 65 Câu (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I MO  MI tâm hình vng ABC D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho (tham khảo hình   vẽ) Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng ( MC D ) ( MAB) 13 A 65 85 B 85 85 C 85 17 13 D 65 Câu (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D , có AB a, AD a 2, góc AC mặt phẳng  ABCD  30 Gọi H hình chiếu vng góc A AB K hình chiếu vng góc A AD Tính góc hai mặt  AHK   ABBA phẳng A 60 B 45 C 90 D 30 Câu (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB tam giác  SAB  vng góc với  ABCD  Tính cos  với   SAC   SCD  góc tạp A B C D Câu (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC , biết a MN  Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  A B C D Câu (THPT LÊ Q ĐƠN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có  A ' B ' CD   ACC ' A ' cạnh a Góc hai mặt phẳng 60 B 30 C 45 D 75 A Câu (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA , OB  , OC đơi vng góc OA OB OC a Gọi M trung điểm cạnh AB Góc tạo hai vectơ BC  OM A 135 B 150 C 120 D 60 Câu (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có ABCD  độ dài đường chéo a SA vng góc với mặt phẳng  Gọi  góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  Nếu tan   góc hai mặt phẳng  SAC   SBC  A 30 B 60 C 45 D 90 Câu (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB a , SA a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: 15 arccos arccos arccos arccos A B C D (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có A ABC tứ diện ABC  cạnh a Gọi M , N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng  CMN   2 A B C D 13 Câu 10 Câu 11 (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt  ABC  (hình vẽ) phẳng A C O B M   cot     cot     cot   Khi giá trị nhỏ biểu thức A 48 B 125 C Số khác D 48 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH  S  có tâm I   1; 2;1 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu A  1;0;  1  S  cho AB, AC , AD đơi vng góc với qua điểm Xét điểm B, C , D thuộc Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn 32 64 A 64 B C D 32 Câu 12  S  có tâm I   1; 0;  (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu A  0;1;1  S  cho AB , AC , AD đôi vuông góc với qua điểm Xét điểm B , C , D thuộc Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A B C D Câu 13 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B (a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b  a  b 2 Gọi M trung điểm cạnh CC  Thể tích khối tứ diện BDAM có giá trị lớn 64 32 A 27 B 27 C 27 D 27 Câu 14 Câu 15 (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi M , N trung điểm BC AB Mặt phẳng  MND ' chia khối H H lập phương thành hai khối đa diện, khối chứa điểm C gọi   Tính thể tích khối   55a 55a 181a 55a A 72 B 144 C 486 D 48 Câu 16 (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O đỉnh B  m;0;0  , D  0; m;0  , A 0;0; n  với m, n  m  n 4 Gọi M trung điểm cạnh CC  Khi thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn 64 75 245 A B 27 C 32 D 108 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 0; 0;  D  2; 0;0  B  0; 4;  S  0;0;  hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật Biết  , , , Gọi M CDM  trung điểm SB Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  d B, CDM   2 d B, CDM   2 A   B   d  B,  CDM    D d  B,  CDM    C Câu 17 Câu 18 (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng cân, AB  AC a , AA h  a, h   Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB BC  theo a , h ah ah ah ah A a  5h B 5a  h C 2a  h D a  h2 Câu 19 (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác  cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác cân với ASB 120 nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN 327 a 79 A B 237a 79 237 a 79 C 237 a D 316 (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC  tam giác cạnh a Gọi I trung điểm AB , hình chiếu S lên mặt phẳng  trung điểm CI , góc SA mặt đáy 45 (hình vẽ bên) Gọi G trọng tâm tam giác SBC Khoảng cách hai đường thẳng SA CG Câu 20 a 21 A 14 a 14 B a 77 C 22 a 21 D Câu 21 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN - 2018) Cho hình lập phương   ABCD A B C D cạnh a Gọi K trung điểm DD Tính khoảng cách hai đường thẳng CK AD 4a a 2a 3a A B C D Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU Câu 22 (CHUN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN a 93 a 29 5a a 37 A 12 B C 12 D Câu 23 (CHUYÊN KHTN - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  5; 0;  B 3; 4;   Với C điểm nằm trục Oz , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động trục Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn 5 A B C D Câu 24 (CHUYÊN VINH - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A , B , C (không trùng O ) thay đổi trục Ox , Oy , Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích ABC  tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC Biết mặt phẳng  tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt cầu A B C D (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , x y z x  y 1 z  x y z        d1  :  d2  :  d3  : 2 , 2 , 2 Mặt cho đường thẳng I a; b; c  d d d cầu bán kính nhỏ tâm  , tiếp xúc với đường thẳng   ,   ,   Tính S a  2b  3c A S 10 B S 11 C S 12 D S 13 Câu 25 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vng ABC D điểm M thuộc đoạn OI cho MO 2 MI (tham khảo hình  MC D  MAB  vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng 85 A 85 17 13 B 65 85 C 85 Lời giải 13 D 65 Chọn C Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cạnh hình lập phương , ta tọa độ điểm sau :  1 1 M ; ;   2  , C  0;1;  , D 1;1;0  A  1;0;1 , B  0;0;1 Khi   n MC D  0;1;3 ; n MAB   0;5;3  5.1  3.3   cos   MAB  ,  MC D  52  32 12  32 nên  85  85      85 MAB , MC D  85 sin       85 Suy 85 Câu (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I MO  MI tâm hình vuông ABC D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho (tham   ( MC D ) ( MAB ) khảo hình vẽ) Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng 6 13 A 65 85 B 85 85 C 85 17 13 D 65 Lời giải Khơng tính tổng qt ta đặt cạnh khối lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho A(0;0;0), B(1;0; 0), D(0;1;0) A(0;0;1) (như hình vẽ)  1 1 M  ; ;   2 3 Khi ta có:     1   1 2  AB (1; 0;0), MA  ; ;     AB, MA  0;  ;   n1 (0;  4;3) 2  2 3  Suy ra: VTPT ( MAB ) mặt phẳng     1 1   1 DC  (1;0; 0), MD  ;  ;    DC , MD  0; ;    n2 (0; 2;  3)  2 3  2 VTPT mặt   ( MC D ) phẳng cosin góc hai mặt phẳng ( MAB) ( MC D) bằng:   n1.n2 0.0  4.2  3.(  3) 17 13   cos( n1 , n2 )      2 2 2 n1 n2 65  ( 4)    (  3) Câu (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D , có AB a, AD a 2, góc AC mặt phẳng  ABCD  30 Gọi H hình chiếu vng góc A AB K hình chiếu vng góc A AD Tính góc  AHK   ABBA hai mặt phẳng A 60 B 45 C 90 D 30 Lời giải Do ABCD ABC D hình hộp chữ nhật nên A ' C ' hình chiếu vng góc A ' C  ' C ' 30 ( ABCD)  ( A ' C , ( ABCD)) ( A ' C , A ' C ') CA  ' C '  CC '  CC ' a AC  AB  AD a 3; tan CA A'C ' Ta có Kết hợp với giả thiết ta ABB ' A ' hình vng có H tâm Gọi E , F hình chiếu vng góc K A ' D '& A ' A 1 a A ' K  A ' A2  AK  a ;    AK  ; 2 AK A ' A AD Ta có 1 a a  2  KF  ; KE  A ' K  KF  KE  2 KF KA A ' K 3   Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O  A ' D , B , A theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz Khi ta có tọa độ điểm là: a a a a a a A(0;0; a), B '(0; a;0), H (0; ; ), K ( ; 0; ), E ( ;0;0), F (0;0; ) 2 3 3  ABB ' A '   ( yOz ) n Mặt phẳng mặt phẳng nên có VTPT (1;0;0);    a 2  AK , AH   n , n (2; 2; 2)   Ta có  Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT n (2; 2; 2);  AHK   ABBA Gọi  góc hai mặt phẳng   cos  cos (n1 , n )    450 Ta có Câu (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB tam giác  SAB  vuông góc với  ABCD  Tính cos  với  góc tạp  SAC   SCD  A B C D Lời giải Chú ý: Ta giải tốn với cạnh hình vng a 1  SAB  vng góc với Gọi O, M trung điểm AB, CD Vì SAB tam giác  ABCD  nên SO   ABCD  3    O  0; 0;0  , M  1;0;  , A  0; ;0  , S  0;0;      Oxyz Xét hệ trục có Khi  1    C  1; ;  , D  1; ;0               SA  0; ;  , AC  1;  1;  , SC  1; ;  , CD  0;1;0  2 2     Suy        1 n1  SA, AC   ; ;  2 2 SAC    Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến     n1  SC , CD   ; 0;1  SAD  có véc tơ pháp tuyến   Mặt phẳng   n1.n2 cos      n1 n2 Vậy Câu (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC , biết A MN  a Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  B C D Lời giải  ABCD  , suy I trung điểm AO Gọi I hình chiếu M lên 3a CI  AC  4 Khi Xét CNI có: CN  a  45o , NCI Áp dụng định lý cosin ta có: a 9a a 3a 2 a 10 NI  CN  CI  2CN CI cos 45     4 2 o 3a 5a a 14 MI  MN  NI    Xét MIN vuông I nên 2 a 14 MI / / SO, MI  SO  SO  2 Mà Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ:      2    B  0; ;  D  0;  ;  C  ;0;0  N  ; ;  2 4 O  0; 0;0  ,  ,  ,  , Ta có: ,      14  14  A   ; 0;0  S  0; 0; ; 0;  M       ,   ,   2 MN  ; ;  Khi 14    ;  SB  0;  ,  14    ;  SD  0;  ,  14    10 1 6 3 6  M  ; ;  N  ; ;   12 12    , N trung điểm BB  M trung điểm AA  1 5 6  CM  ; ;  12  MN   1;0;0   ,   3 n2  0; ;   0; 2;5 12 CMN     12  có vtpt  tan    2 2 cos  cos   33  Câu 11  (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng  ABC  (hình vẽ) A C O B Khi giá trị nhỏ biểu thức A 48 B 125 M   cot     cot     cot   C Số khác D 48 Lời giải Chọn B Gọi H trực tâm tam giác ABC , tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc nên ta 1 1  2  2 OH   ABC  OA OB OC có OH     OB;  ABC   OBH   OC ;  ABC   OCH  OA;  ABC   OAH Ta có , , OH OH OH sin   sin   sin   OA , OB , OC Nên 1 1  2 2 2 a b c Đặt a OA , b OB , c OC , h OH h 15 M   cot     cot     cot                  sin    sin    sin     a2   b2   c2           8   a  b  c    a 2b  b c  c a   a 2b 2c h   h  h   h2 h4 h6 1  1 1  a  b2  c  h12  a  b2  c   a  b2  c2  3 a b2 c2 3 a b2 c2 9 Ta có:  1 1  a b  b c  c a  h14  a 2b2  b2c2  c 2a   a  b  c  2 2 2 2   1  3 a 2b b2 c c a  3    3 a 4b c 27  a b c    a 4b4 c 3   1   1 1 a b c     a 2b 2c  3    27 2 abc  a b c  a b c    h Do đó: 1 M 8   a  b  c    a 2b  b 2c  c a   a 2b 2c h h h 8  4.9  2.27  27 125 Dấu đẳng thức xảy a b c , hay OA OB OC Vậy M 125 2 A α a H h c O C b B 16 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH Câu 12  S  có tâm (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu I   1; 2;1 A  1;0;  1  S  cho AB, AC , AD đôi qua điểm Xét điểm B, C , D thuộc vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn 32 64 A 64 B C D 32 Lời giải Chọn B D N I C A M B  S  có bán kính r IA    2 Mặt cầu Đặt AB a; AC b; AD c a  b2  c IA  Ta có 2 a b c 12 Do a  b  c 3 a 2b c  4 Theo BĐT Cơ-si ta có: 1 32 V  abc  163  6 Do Dấu xảy a b c Câu 13  S  có tâm (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu I   1; 0;  A  0;1;1  S  cho AB , AC , AD qua điểm Xét điểm B , C , D thuộc đôi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A B C D Lời giải Chọn C 17 D D a R a I c C A R A b I c C M M b B B Đặt: AD a , AB b , AC c Ta có:  R IA  AM   b2  c a b2  a  c2 ; IM   R IA2  3 2 2 2 2 2 b  a  c 3 b a c  b a c AD BĐT Cosi: 1  V  abc   6 Câu 14 b   a2  c2  27  abc 8 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B (a;0;0) , D(0; a;0) , A(0; 0; b) với a, b  a  b 2 Gọi M trung điểm cạnh CC  Thể tích khối tứ diện BDAM có giá trị lớn 64 32 A 27 B 27 C 27 D 27 Lời giải z A' D' B' C' M y A D x B C b C ( a; a; 0), C '(a; a; b), M (a; a; ) Tọa độ điểm 18    b BA ' (-a;0; b), BD (-a; a; 0), BM (0; a; )      a 2b VBDA ' M   BA ', BD  BM   BA ', BD  ( ab;  ab;  b )   nên 64 32  a  a  2b  a.a.(2b)     a b   VBDA ' M  27 27 27   Ta có: Câu 15 (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi M , N trung điểm BC AB Mặt phẳng  MND ' chia khối lập phương thành hai khối đa diện, khối chứa điểm C gọi  H  H Tính thể tích khối   55a A 72 55a B 144 181a C 486 Lời giải 55a D 48 Thể tích khối lập phương a 1 EC  DC BP  BB cắt cạnh DC E thỏa ; cắt BB P cho V H  VC .DNPME  VC .CEM  VC  BPN Khi a 2a a VB.C NP  a  18 Có MND Mặt phẳng  a a a3 VC C ME  a  48 Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ; lấy đơn vị trục đơn vị a 19 1 1       E  ;0;  M  0; ;  R  0;0;   Q   ;1;0  C  0; 0;  C  0;0;1 3 ,  ,  ,   , D 1;0;1 Ta có , , 4 x y z  MND :   1  x  y  3z  0 29   d  C ,  MND   29 Mặt phẳng 29 29 11 29   12 48 11  d  C ,  MND  S DNPME  a 3 36 55  a 144 S MPNDE S EQND  S PMQ  VC .DNPME Vậy Câu 16 V H  (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O đỉnh B  m;0;0  , D  0; m;0  , A 0;0; n  với m, n  m  n 4 Gọi M trung điểm cạnh CC  Khi thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn 64 75 245 A B 27 C 32 D 108 Lời giải z n a B' A' D' C' M D y m A m x B C n  M  m; m;  2   BA   m;0; n   BD   m; m;   n  BM  0; m;  2  Ta có    BA; BD    mn;  mn;  m      n  BA; BD  BM  m n  m  m n   2    1 2 1   64 VBADM   BA; BD  BM  m n  m   m   m.m   2m      4 8   27 20