D05 sự tương giao của các đồ thị muc do 3

Câu y=x −2 mx+m−4 (với m tham số thực) Tìm m để đồ thị [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số hàm số đã cho cắt trục hồnh có hai nghiệm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x13  x23 26m Lời giải Xét phương trình x  2mx  m  0  15   m  m   m     m   2  Ta có: Vậy phương trình ln có nghiệm phân biệt với m   Theo định lý Viet: x1  x2 2m; x1 x2 m  x13  x23 26m   x1  x2   3x1 x2 ( x1  x2 ) 26m  8m3  6m(m  4) 26m  m(8m  6m  2) 0  m 0; m 1; m  Câu [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số y=x −2 mx+m−4 (với m tham số thực) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành có hai nghiệm phân biệt có hồnh độ số nguyên Lời giải Xét phương trình x  2mx  m  0  15   m  m   m     m   2  Ta có: Vậy phương trình ln có nghiệm phân biệt với m   Gọi x1 , x2 (x1  x2 ) hai nghiệm ngun phương trình Ta có: x1  x2 2m; x1 x2 m  Suy x1  x2  x1 x2 8  2( x1  x2 )  x1 x2  15  (2 x1  1)(2 x2  1)  15  x1    x1 0   m 4  x2  15  x2 8  TH1: 2 x1    x1    m 0  x2  3 x2 2   TH2:  x1   15  x1    m   x   x   TH3:  2 x1    x1    m 1  x2  5 x2 3   TH4: Thử lại m =0, m = 1, m = - 3, m = thỏa mãn điều kiện toán Câu [DS10.C2.1.E05.c] (HSG Tốn 12 – Triệu Sơn, Thanh Hóa năm 2020) Cho parabol  P : y  x  x  đường thẳng d : y  x  m Tìm tất giá trị thực tham số m để d cắt  P  hai điểm phân biệt M , N khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng MN đến trục tọa độ Lời giải  1  x  y   D  \   y  x  1   Ta có x 1 Tập xác định 2 Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x   x  m  x  x   m 0 (1) d cắt  P  hai điểm phân biệt M , N       m   m  (2) Gọi x1 , x2 hoành độ điểm M , N M  x1 ;  x1  m  M  x2 ;  x2  m  Khi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) ,  x1  x2 2  x x 2  m Theo Vi-et, ta có:   I  1; m  1 Vì I trung điểm đoạn thẳng MN m    1m    m 0 Vì I cách trục tọa độ Câu Kết hợp với điều kiện (2)  m 2 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG 11 trường THPT Thạch Thành III – 2017-2018) P : d : P d Cho parabol   y  x đường thẳng   y mx  m  Tìm m để   cắt   hai điểm x1 x2  A x x x1  x22  2( x1 x2  1) đạt giá trị nhỏ phân biệt có hồnh độ và biểu thức Lời giải Câu Xét phương trình: x  mx  m  0 P d Để   cắt đường thẳng   pt có nghiệm phân biệt  m  4m    m 2  x1  x2 m  x x m  Theo vi-et ta có:  2m  A m  Để A đạt GTNN phương trình: Am  2m  A  0 có nghiệm Khi đó:   A2  A  0    A 1  Vậy A đạt GTNN m  [DS10.C2.1.E05.c] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy – Thanh Hóa – 2017 - 2018) 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai Parabol ( P1 ) : y  x  x  a ( P2 ) : y  x  10 x  b ( a, b tham số) Biết ( P1 ) cắt Ox hai điểm M  x1 ;0  , M  x2 ;0  ( P2 ) cắt Ox hai điểm x3 x2 x4   M  x3 ;0  , M  x4 ;0  x x3 x2 Tìm a b thỏa mãn Lời giải 25  a P  P2  cắt Ox hai điểm  b  25 Từ giả thiết: cắt Ox hai điểm  x1  x2 5  x x a   x3  x4 10   x3 x4 b  x kx   x2 kx3 x x x k 3   x1 x3 x2 kết hợp với định lý Vi-ét ta có hệ:  x4 kx2 Đặt Tìm k 2 x1 1 Với k 2 x1 1 suy a 4 b 16 (thỏa mãn) Kết luận: Vậy a 4 b 16 Câu [DS10.C2.1.E05.c] (HSG trường THPT Nga Sơn-Thanh Hóa 2017-2018)Cho Parabol  P : x  mx  đường thẳng d : y 2mx  m Tìm m để  P  cắt d hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức B x1 x2  x  x22   x1 x2  1 Phương trình hồnh độ giao điểm đạt giá trị nhỏ Lời giải x  mx  m  0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt m  0 (luôn đúng)  x1  x2 m  x x m  Áp dụng định lí Viet ta có  Thay vào B ta 2m  ( m  2) 1 B    2m  2 m  2 m  Dấu “=” xảy Câu 2 [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số y  x  2(m  1) x   m (1) , ( m tham số) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho tam giác KAB vuông K , K (2;  2) Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  x  2(m  1) x   m 0  x  2(m  1) x  m  0 (2) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt   '   (m  1)  m    2m    m   Gọi nghiệm phương trình (2) x1 , x2   Tọa độ giao điểm A, B A( x1 ;0), B( x2 ;0) ; KA ( x1  2; 2), KB ( x2  2; 2)   KA  KB  KA KB 0  ( x1  2)( x2  2)  0  x1x2  2( x1  x2 )  0  m 1  m   2.2( m 1)  0  m2  4m  0    m 3 Kết hợp điều kiện m   , ta m 1 , m 3 Câu P  [DS10.C2.1.E05.c] [ HSG THANH HÓA 2018] Cho hàm số y x  x  m có đồ thị m P  Tìm tất giá trị thực tham số m cho parabol m cắt Ox hai điểm phân biệt A , B thỏa mãn OA 3OB Lời giải  * Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x  m 0  P  cắt Ox hai điểm phân biệt A , Để   ' 4  m   m   x 3xB OA 3OB  x A 3 xB   A  x A  xB Theo giả thiết  TH1: x A 3 xB B  * có hai nghiệm phân biệt  x A 3xB   x A  xB 4  m x A xB 3 (TM )  x x m  A B  TH2: x A  xB :  xA  3xB   xA  xB 4  m xA xB  12 (TM )  x x m  A B Do m 3 , m  12 Câu [DS10.C2.1.E05.c] (HSG Lớp 10 – SGD Hải Dương - Năm 2018) Cho parabol  P  : y  x đường thẳng  d  qua điểm I  0;  1 có hệ số góc k Gọi A B giao điểm  P   d  Giả sử A , B có hồnh độ x1 , x2 Tìm k để trung điểm đoạn thẳng AB nằm trục tung Lời giải d – Đường thẳng   có phương trình: y kx  2 P d - Phương trình hồnh độ giao điểm     :  x kx   x  kx  0   Phương trình   ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  k   , k x1  x2 k  - Trung điểm M AB có hồnh độ k   0  M nằm trục tung  k 0 Câu  P [DS10.C2.1.E05.c] (HSG10_THPT-PĐP_2017-2018) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị đường thẳng d có phương trình y  x  m  P  hai điểm phân biệt A, B cho OA2  OB 82 Tìm m để đường thẳng d cắt Lời giải Hoành độ giao điểm d (P) nghiệm phương trình: x  x   x  m  x  3x   m 0 (1) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B  (1) có hai nghiệm phân biệt  9  4(2  m)   4m    m   (*) Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm A( x1 ; x1  m) ; B( x2 ; x2  m) , x1 , x2 nghiệm 2 (1) Theo định lý Viet ta có: x1  x2 3, x1 x2 2  m Ta có: OA  OB 82  2 x12   x1  m   x22   x2  m  82   x12  x22   2m  x1  x2   2m 82   x1  x2   x1 x2  m  x1  x2   m 41  m 4    2(2  m)  3m  m 41  m  5m  36 0  m  Đối chiếu điều kiện (*) ta m 4 giá trị cần tìm Câu [DS10.C2.1.E05.c] (HSG Lớp 10 – SGD Hải Dương - Năm 2018) Cho parabol đường thẳng  d  qua điểm I  0;  1 có hệ số góc  P  : y  x k Gọi A B giao điểm  P  x  x23 2 k   A , B có hồnh độ x1 , x2 Chứng minh , Lời Giải x  x  k x x  Theo Viet ta có: , 2 3 x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2   x1  x2  x1  x2   x1 x2   - Ta có:  d  Giả sử 2 x  x  x1  x2   x1 x2 k   x1  x2  k  Có Câu  x13  x23  k   k  1 2 k   , Đẳng thức xảy k 0 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG10_SỞ GD&ĐT_QUẢNG NAM_2016-2017) Cho parabol (P) có phương trình y  x  3x  , đường thẳng d có phương trình y (2m  1) x  điểm M (3;3) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt parabol (P) điểm phân biệt A, B cho tam giác MAB vuông cân M Lời giải y  x  x  , đường thẳng d có phương trình y (2m  1) x  điểm M (3;3) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt Cho parabol (P) có phương trình parabol (P) điểm phân biệt A, B cho tam giác MAB vng cân M + Phương trình có hoành độ giao điểm (P) d là: x  2(m  2) x  0 (*) + Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt (vì a.c  ) Suy d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B với giá trị m + Gọi A( x1 ;(2m  1) x1  2) B ( x2 ;(2m  1) x2  2) (với x1 x2 hai nghiệm phương trình (*))   MA  ( x  3;(2 m  1) x  1) 1 + MB ( x2  3;(2m  1) x2  1) + Tam giác MAB vuông M suy ra:   MA.MB 0  ( x1  3)( x2  3)   (2m  1) x1  1  (2m  1) x2  1 0  x1 x2  3( x1  x2 )   (2m  1) x1 x2  (2m  1)( x1  x2 )  0    6( m  2)   (2m  1)  (2 m  1)2( m  2)  0  m  2   8m  20m  0    m   + Với m  Suy x1  1, x2 1     MA  MB Khi đó: MA ( 4; 2), MB ( 2;  4) Suy  12  12 x1  x2  , Suy + Với      12    12    MA  ;  1 , MB  ;  1 MA  MB 2     Suy Khi đó: (khơng thỏa ) Vậy với m  , tam giác MAB vuông cân M m  Câu [DS10.C2.1.E05.c] (Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Cho parabol  P  có phương trình y ax  bx  c, a  đường thẳng d có phương trình y  x  Tìm hệ số a, b, c P P biết đỉnh A   thuộc đường thẳng d , đồng thời   cắt đường thẳng d điểm thứ hai B cho AB  OA OB ( O gốc tọa độ) Lời giải A m;  2m   Ta có A  d nên  A đỉnh  P  nên phương trình  P  viết lại y a  x  m   2m   a   P Phương trình hồnh độ giao điểm   d là: a  x  m   2m   x    x  m   ax  am   0  x m    x m  a  Hai giao điểm  P 2 4  A  m;  2m   , B  m  ;  2m    a a  d  2  4 AB         5  a a  a 2  a   13 2 OA OB  m2    2m    m  1    2m    m  10 13 26 139 a 2; m   P  : y 2 x  x  10 ta có phương trình 50 Với 26 139 a 2, b  ,c  50 Vậy Câu [DS10.C2.1.E05.c] (Đề Ôn thi HSG Tốn 11 – Thanh Hóa năm 1819) Cho hàm số bậc hai y  x  2mx  3m  có đồ thị đường cong  P  Tìm tất giá trị m để  P  cắt trục 2 x, x hồnh hai điểm phân biệt có hồnh độ x1  x2 đạt giá trị nhỏ Lời giải P x  2mx  3m  0  * Phương trình hồnh độ giao điểm   với trục hoành: P x , x  Phương trình (*) có hai nghiệm Để   cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hoành độ m   m  3m      ** x , x  m   phân biệt x1  x2 2m, x1 x2 3m  Với điều kiện (**), theo định lí Viét ta có: x12  x22  x1  x2   x1 x2 4m   3m   4m  6m  Do 3 7  x12  x22 4m2  6m   2m     , m  D   ;1   2;   2 4  3 2m  0  m  (thỏa mãn điều kiện  ** ) Đẳng thức xảy m giá trị cần tìm Vậy Câu [DS10.C2.1.E05.c] (HSG Tốn 10 - Hà Nam năm 19-20) Cho hàm số y x   2m  1 x  m  2m   P  Biết đồ thị  P  đã cho tiếp với m tham số, có đồ thị xúc với đường thẳng d1 cố định Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng d qua điểm M  m; 2m  1 song song với d1 cho đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ Ox, Oy tam giác có diện tích 18 Lời giải Giả sử đường thẳng d1 : y ax  b với a, b   x   2m  1 x  m  2m  ax  b Khi phương trình hồnh độ giao điểm:  x   2m   a  x  m  2m   b 0 có nghiệm kép với m   2m   a   4m  8m  20  4b 0 m Do  4m  a  1  a  2a  21  4b 0 m  a 1  a 1    a  2a  21  4b 0 b  Do đường thẳng d1 : y x  d : y 1 x  m   2m  x  m  Đường thẳng (điều kiện: m  ) C   m;0  , D  0; m  1 Gọi C d  Ox, D d  Oy (điều kiện: m 1 )  m  SOCD   m  1 18    m 7 Đối chiếu điều kiện m 7 Câu [DS10.C2.1.E05.c] (HSG cấp trường Toán 10 – THPT Đan Phượng năm 2018- 2019)Cho P : y 2 x  x   : y  k   x  P parabol   Tìm giá trị k để đường thẳng cắt parabol   hai điểm phân biệt M , N cho trung điểm đoạn thẳng MN nằm đường thẳng d : y  x  Lời giải P  Phương trình hoành độ giao điểm     x  x   k   x   x  kx  0 (1) Phương trình (1) có  k  16  0, k   nên ln có hai nghiệm phân biệt Suy với giá P trị tham số k đường thẳng  ln cắt   hai điểm phân biệt M , N k x1  x2  x ,x Gọi hai nghiệm (1).Khi theo Vi-et ta có M  x1;  k   x1  1 ; N  x2 ;  k   x2  1 Ta có , nên tọa độ trung điểm I  k  k  6 k  I ;  1 4   k   k   k   k  8k  0  k  3 2 Điểm I  d Câu MN Vậy k  3 thỏa yêu cầu toán [DS10.C2.1.E05.c] (HSG Toán 10 - THPT Thuận Thành _2018-2019) Cho hàm số y  x  x   m;  Pm  P Tìm m để  m  cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ  1; 4 thuộc đoạn  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  Pm  trục hoành: x  x   m 0  x  x  m  Dựa vào đồ thị ta thấy,  1  1 có nghiệm thuộc đoạn   1; 4   m  3 hay  m 4 Câu 2 P  [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số y  x  2mx  2m  4m có đồ thị m P  Tìm m để m cắt Ox hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu Lời giải P  Lập phương trình hồnh độ giao điểm m Ox : x  2mx  2m2  4m 0  1  Pm  cắt Ox hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu phương trình  1 có nghiệm trái dấu  a.c    2m  4m    2m  m     m  Vậy  m  thỏa yêu cầu toán Câu 2 P  [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số y  x  2mx  2m  4m có đồ thị m x  x k Tìm giá trị k để phương trình có nghiệm phân biệt Lời giải I  2;   Xét ( P0 ) : y  x  x có TXĐ D  , đỉnh  x 0 x  x 0    x 4 Phương trình hồnh độ giao điểm ( P0 ) Ox Khi ta có bảng biến thiên hàm số y  x2  4x x  x k Từ bảng biến thiên phương trình có nghiệm phân biệt  k  Vậy  k  thỏa yêu cầu toán Câu [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số y  x   2m  3 x  2m   1  1 cắt đường thẳng y 3x  hai điểm A, B phân biệt cho Xác định m để đồ thị hàm số OAB vuông O (với O gốc tọa độ) Lời giải  1 đường thẳng y 3x  là: Phương trình hoành độ giao điểm ĐTHS x   2m  3 x  2m  3x   x  2mx  2m  0  *  1 cắt đường thẳng y 3x  điểm phân biệt A, B  phương trình  * có Để ĐTHS m     m 1 nghiệm phân biệt     x1  x2 2m  * ,ta có  x1 x2  2m  Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình A  x1 ;3 x1  1 , B  x2 ;3 x2  1 Đặt   OAB vuông O  OA.OB 0  10 x1 x2   x1  x2   0   26m  31 0 31  m 26 ( thỏa mãn) 31 m 26 Vậy Câu 1.[DS10.C2.1.E05.c] (HSG Hà Tĩnh - Khối 10 - Lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y x  x  , điểm I(1, 4) đường thẳng d: y mx  m  Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB cân I Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng d là: x  x  mx  m   x  (m  4) x  m  0 (1) Để đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B   (m  6)   m 6 2 Tam giác IAB cân I I, A, B không thẳng hàng IA IB * I, A, B không thẳng hàng  I  d  2m  4  m  2 * IA IB  ( x1  1)  ( y1  4) ( x2  1)  ( y2  4)  ( x1  1)  (mx1  m  4) ( x2  1)  ( mx2  m  4)  ( x1  x2 )  (1  m )( x1  x2 )  2m  8m   0  x1 x2  2  (1  m )( x1  x2 )  2m  8m  0  (1  m )( x1  x2 )  2m2  8m  0  m3  6m  9m  0  m      m    m   Vậy giá trị m thỏa yêu cầu đề m   , m  