Câu [DS10.C2.1.E05.b] Cho hàm số C hai điểm phân biệt y 2x x có đồ thị C Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt A B cho PAB đều, biết P 2;5 Lời giải C nghiệm phương trình Hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị 2x x m x (m 3) x m 0 1 x 1 ( x không nghiệm (1)) C hai điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm Đường thẳng d cắt đồ thị phân biệt m 2m 13 m x1 x2 m x x m x , x Gọi nghiệm phương trình (1), ta có: A x1 ; x1 m B x2 ; x2 m Giả sử , Khi ta có: AB x1 x2 PA x1 PB x2 2 x1 m x1 x2 m x2 x2 2 x1 , Suy PAB cân P 2 Do PAB PA AB 2 2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 m 1 m 4m 0 m Vậy giá trị cần tìm m 1, m Câu y x m 1 x m P (m tham số thực) có đồ thị P hai điểm phân biệt Tìm tất giá trị m để đường thẳng d: y mx m cắt đồ thị nằm hai phía trục Oy [DS10.C2.1.E05.b] Cho hàm số: Lời giải x 3m x – m – m 0 1 2 Pt hoành độ giao điểm: Để thỏa mãn yêu cầu tốn (1) có nghiệm phân biệt trái dấu m 1 m2 m m Vậy m m Câu [DS10.C2.1.E05.b] Cho hàm số y x x (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số (1) b) Tìm m để đường thẳng : y 2 x m cắt (P) hai điểm phân biệt A , B cho tam giác OAB có diện tích ( O gốc tọa độ) Lời giải P hàm số: y x x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị * TXĐ: D I 1; Đỉnh Trục đối xứng: x 2 Do a 1 nên hàm số nghịch biến khoảng ( ; 2) đồng biến khoảng (2; ) * Đồ thị: 1;0 3;0 Đồ thị cắt trục Ox 0;3 Đồ thị cắt trục Oy P đường thẳng y 2 x m là: b) Phương trình hồnh độ giao điểm x x 3= 2x m x x m 0 * Ta có: m (P) đường thẳng y 2 x m cắt hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt m (**) Gọi x A , xB hai nghiệm pt (*) x A xB 6 x x 3 m Ta có: A B A x A ; x A m , B xB ; xB m Lại có AB xA 2 xB x A m xB m Suy ra: 36 m 2 m Độ dài đường cao tam giác OAB hạ từ O là: x A xB x A x B d O, AB d O, m OAB là: dt OAB AB.d O, m m Diện tích tam giác dt OAB 9 m m 9 m m 81 m3 6m2 81 0 m 3 Theo đề bài: (thỏa mãn đk **) Vậy m 3 giá trị cần tìm Câu [DS10.C2.1.E05.b] (HSG Trường Nguyễn Quán Nho Thanh Hóa năm 19-20) Cho hàm số y x x có đồ thị P1 hàm số y x x có đồ thị P2 Giả sử đường thẳng d : y m cắt P1 hai điểm phân biệt A, B cắt P2 hai điểm C , D Tìm m để AB 2CD Lời giải +) Xét phương trình: x x m 0 (1) x x m 0 (2) 1 m m2 m +) ĐK: 2 2 +) AB 2CD AB 2CD ( x1 x2 ) 2( x3 x4 ) ( x1 x2 ) x1 x2 2[( x3 x4 ) x3 x4 ] 16 4(3 m) 2[4 4(3 m)] m 5 Vậy m 5 giá trị cần tìm Câu 1.[DS10.C2.1.E05.b] Cho parabol tất giá trị m để A x1 x2 x1 x2 d P : y 2 x 2mx m đường thẳng d : y x 4m Tìm cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 biểu thức đạt giá trị lớn Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d P là: x 2mx m x 4m x x m 1 m 4m 0 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ' 0 m 1 m 4m 3 0 m 6m 0 m Theo định lí Viet ta có x1 x2 m 1 , x1 x2 A x1 x2 x1 x2 m 4m suy m 4m m 8m m 8m m 1 (do m 1) 2 Suy Amax 9 m Câu [DS10.C2.1.E05.b] (HSG 11 trường THPT Thạch Thành III – 2017-2018) P : d : P d Cho parabol y x đường thẳng y mx m Tìm m để cắt hai điểm x1 x2 A x1 x22 2( x1 x2 1) đạt giá trị nhỏ phân biệt có hồnh độ x1 x2 biểu thức Lời giải Câu Xét phương trình: x mx m 0 P d Để cắt đường thẳng pt có nghiệm phân biệt m 4m m 2 x1 x2 m x x m Theo vi-et ta có: 2m A m Để A đạt GTNN phương trình: Am 2m A 0 có nghiệm Khi đó: A2 A 0 A 1 Vậy A đạt GTNN m [DS10.C2.1.E05.b] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy – Thanh Hóa – 2017 - 2018) 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai Parabol ( P1 ) : y x x a ( P2 ) : y x 10 x b ( a, b tham số) Biết ( P1 ) cắt Ox hai điểm M x1 ;0 , M x2 ;0 ( P2 ) cắt Ox hai điểm x3 x2 x4 M x3 ;0 , M x4 ;0 x x3 x2 Tìm a b thỏa mãn Lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai Parabol ( P1 ) : y x x a ( P2 ) : y x 10 x b ( a, b tham số) Biết ( P1 ) cắt Ox hai điểm M x1 ;0 , M x2 ;0 ( P2 ) M x ;0 , M x4 ;0 ; cắt Ox hai điểm 3 thỏa mãn x3 x2 x4 x1 x3 x2 Tìm a b P Từ giả thiết: cắt Ox hai điểm k Đặt a 25 P2 cắt Ox hai điểm b 25 x3 x2 x4 x1 x3 x2 kết hợp với định lý Vi-ét ta có hệ: x1 x2 5 x x a x3 x4 10 x3 x4 b x kx x2 kx3 x4 kx2 Tìm k 2 x1 1 Với k 2 x1 1 suy a 4 b 16 (thỏa mãn) Kết luận: Vậy a 4 b 16 Câu 2 [DS10.C2.1.E05.b] Cho hàm số y x 2(m 1) x m (1) , ( m tham số) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho tam giác KAB vuông K , K (2; 2) Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x 2(m 1) x m 0 x 2(m 1) x m 0 (2) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt ' (m 1) m 2m m Gọi nghiệm phương trình (2) x1 , x2 Tọa độ giao điểm A, B A( x1 ;0), B ( x2 ;0) ; KA ( x1 2; 2), KB ( x2 2; 2) KA KB KA KB 0 ( x1 2)( x2 2) 0 x1 x2 2( x1 x2 ) 0 m 1 m 2.2(m 1) 0 m 4m 0 m 3 Kết hợp điều kiện m , ta m 1 , m 3 P Câu [DS10.C2.1.E05.b] [ HSG THANH HÓA 2018] Cho hàm số y x x m có đồ thị m Tìm P tất giá trị thực tham số m cho parabol m cắt Ox hai điểm phân biệt A , B thỏa mãn OA 3OB Lời giải * Phương trình hồnh độ giao điểm: x x m 0 P cắt Ox hai điểm phân biệt A , B * có hai nghiệm phân biệt Để ' 4 m m x 3xB OA 3OB x A 3 xB A x A xB Theo giả thiết TH1: x A 3 xB x A 3xB x A xB 4 m x A xB 3 (TM ) x x m A B TH2: x A 3xB : xA 3xB xA xB 4 m xA xB 12 (TM ) x x m A B Do m 3 , m 12 Câu [DS10.C2.1.E05.b] Cho Parabol (P ) có phương trình y x 3x 1, đường thẳng d có phương trình y (2m 1)x 2và điểm M (3;3) Tìm tất các giá trị tham số m cho đường A, B thẳng d cắt Parabol (P ) hai điểm phân biệt cho tam giác MAB vuông cân M Lời giải x2 2(m 2)x (*) ( P ) d Phương trình hồnh độ giao điểm (*) nên Do ac ln có hai nghiệm phân biệt hay d (P ) cắt hai điểm phân biệt A, B với m A(x1;(2m 1)x1 2); B(x2;(2m 1)x2 2) x ,x Gọi , với hai nghiệm (*) MA (x1 3;(2m 1)x1 1); MB (x2 3;(2m 1)x2 1) Tam giác AMB vuông M MA.MB (x1 3)(x2 3) (2m 1)x1 1 (2m 1)x2 1 x1x2 3(x1 x2) (2m 1)2x1x2 (2m 1)(x1 x2) 6(m 2) (2m 1)2 (2m 1).2.(m 2) m 8m 20m m m x1 1; x2 1 MA ( 4;2), MB ( 2; 4) MA MB + Với 13 13 13 13 m x1 ; x2 MA ; 1 , MB ; 1 2 2 + Với MA MB (không thỏa) Vậy m 2là giá trị cần tìm Câu [DS10.C2.1.E05.b] Cho hai hàm số y x x y 4 x m ( m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến trục tọa độ Lời giải P parabol y x x d đường thẳng y 4 x m P Phương trình hồnh độ giao điểm d là: x x 4 x m x x m 0 1 Gọi P d cắt hai điểm phân biệt khi: 1 có hai nghiệm phân biệt ' m Gọi x A ; xB hai nghiệm , I trung điểm AB nên: x A xB 1 y 4 x m m I ; I d I ; Ox d I ; Oy y I x I xI m 1 m m Kết hợp với m ta m Câu [DS10.C2.1.E05.b] (HSG Toán y x 2m 1 x m 2m 10 - Hà Nam năm với m tham số, có đồ thị P 19-20) Cho hàm Chứng minh đường thẳng d : y x cắt P hai điểm phân biệt A, B cho độ dài đoạn thẳng AB không đổi Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x 2m 1 x m2 2m x x 2m x m 2m 0 2 m 1 m 2m 4 Do với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt: x1 m 3; x2 m Giả sử A m 3; m 1 Khi B m 1; m 3 AB m m 1 m m 3 32 AB 4 số P Câu [DS10.C2.1.E05.b] (HSG 10 HẢI DƯƠNG 2018-2019) Cho hàm số y x x có đồ thị d : y x m cắt đồ thị P hai điểm phân biệt có Tìm giá trị tham số m để đường thẳng m 1 2 x , x x x2 hoành độ thỏa mãn Lời giải 2 * Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x x x m x x m 0 * có hai nghiệm phân biệt khác Xét theo yêu cầu tốn phương trình 13 4m 13 m 3 m 0 m 3 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình 1 2 x1 x2 x1 x2 0 ** x1 x2 * Ta có: x1 x2 5 2m 0 m ** x x m (thỏa mãn) Theo định lý Vi-ét: Thế vào ta được: m thỏa mãn yêu cầu toán Vậy Câu [DS10.C2.1.E05.b] Cho parabol P : y x x đường thẳng d : y mx 2m Tìm m P hai điểm phân biệt A , B AB ngắn để đường thẳng d cắt parabol Lời giải x m x 2m 0 1 Pt hoành độ giao điểm: m 32 , m pt (1) ln có nghiêm phân biệt d ln cắt P điểm phân biệt A , B Do đường thẳng Giả sử: A x1 ; mx1 2m B x2 ; mx2 2m ; AB m x2 x1 m x2 x1 1 x2 x1 m ABMin 4 m 0 2 1 x1 x2 x1 x2 m 1 m 32 4 , m