3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN Bài Cho dãy số số xn an u1 1 u u n n 1 u n thỏa mãn xác định xn n * Tìm tất số thực a cho dãy una n ( n * ) hội tụ giới hạn khác Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có dãy số un dãy số dương tăng(1) Giả sử un bị chặn suy hội tụ Đặt L lim un , ta có Vì un không bị chặn (2) L L Từ (1) (2) ta có lim un lim un31 un3 un3 ( n * ), ta có lim 0 Đặt Xét 4 4 1 v v3 4v 6vn 1 n un31 un3 vn4 n n vn v4 v 1 v n n n 4 un3 lim un31 un3 lim Từ n (sử dụng trung bình Cesaro) Suy una un a 43 lim lim u n n n 4 3 Ta có Vậy a 4 a a a giá trị cần tìm u ; u2 3 un 2 un 1.un , n N * un1 un u Bài Cho dãy số n xác định sau: a) Chứng minh tồn vô số giá trị nguyên dương n để un b) Chứng minh un có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn L (vô lý) Hướng dẫn giải u 1 un 1 un 2 n 1 * un 1 un a) Trước hết ta có un 0, n N Xét (1) * * Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh u3n , u3n 1 1, n N u3n2 1, n N Từ suy điều phải chứng minh u 1 un 1 un 2 n 1 un 1 un b) Ta có (2) un 2 un 1 un , n N * Chia vế (1) cho (2) có un 2 un 1 un Đặt un n N * * un , ta có 2 vn 1.vn n N Fn Fn Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh v2 v1 , với F1 F2 1 * Fn 2 Fn 1 Fn , n N 1 2 Hay Bài Fn 1 3 Cho dãy số Fn un 0 n , dẫn đến lim un 1 xác định sau u1 1 * un 1 un un un un 16, n n Đặt i 1 ui , tính lim Hướng dẫn giải * Dễ thấy un 0, n Theo ta có un 1 Suy u n 6un un2 6un 16 un 1 un 1 un n Do i 1 u un 1 n 6un un2 6un 1 un u n n 1 1 1 ui i 1 ui ui 1 u1 un 1 un 1 Mặt khác, từ un 1 un 6un ta suy un 1 6un Kết hợp với u1 1 ta có Fn dãy số Phibonxi: un 6n , n * lim un lim un 1 0 1 lim lim un 1 Từ ta có Bài Cho dãy số thực lim Tìm un * ln un2 nun 1, n * với n thỏa mãn n nun un n Hướng dẫn giải * f x ln x nx 1, x Với n , đặt n x 1 n 0 2x f x n 1 x x2 Ta có ' n x f n' x 0 n 1 Do fn x hàm tăng thực f n 1 f n n ln n Ta có un f u ! u n n Do cho n n Ta thấy lim un 0 n u2 n 1 lim ln u n n lim nun lim 1 ln un2 1 n Do đó: n n ln un n nun lim lim nun ln un2 un2 1 n n n un un lim Vậy Bài Cho dãy số an thỏa mãn: a1 n 1, n n a n a n 1 a a n n 1 n n 1 Tìm lim an Hướng dẫn giải n 2 * Dễ thấy an 0, n Từ giả thiết ta có * Với n , đặt n 2 yn n2 n 1 an 1 an ta có y1 1 1 1 n2 2 y n y n n y n y y y n 1 n n 1 n 1 n n 4 4 n 2 Do an 1 2 2 4n n 1 n 1 n yn an y1 2 n 1 n 16 n n 1 n 1 n Vậy lim an 4 Bài Tính giới hạn sau: lim a) x x3 x2 b) lim x 2x 1 x Hướng dẫn giải x2 x 4 x3 a ).lim lim 3 x x x x 2 b) lim x Bài x 1 x Tính giới hạn lim x x x x n n x Hướng dẫn giải lim x x x x n n ( x 1) ( x 1) ( x n 1) lim x1 x x ( x 1)[1 ( x 1) ( x x 1) ( x n 1)] x x lim lim ( x 1) ( x x 1) ( x n 1) x 1 n n( n 1) n Bài Cho n số nguyên dương a 0 Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải n Đặt y ax , từ x y Lim x ax a x n n Lim Vậy x Bài ax y y a aLim n a Lim n n y y x y 1 n y 1 y y y Tính giới hạn sau: lim a/ 13 53 93 (4n 3)3 n (4n 3) cos x x sin x lim x cos x b/ Hướng dẫn giải Câu a n n i 1 i 1 13 53 93 (4n 3)3 (4i 3)3 (64i 144i 108i 27) n n n i 1 i 1 i 1 = 64 i 144 i 108 i 27 n (4n 3) n(4n 2) 2n n n Mà ta có cơng thức: i i 1 n(n 1) n n(n 1)(2n 1) n n( n 1) i i i ; ; i 1 3 3 Do đó: P( x) 1 (4n 3) đa thức bậc có hệ số bậc 64 / 16 Và Q( x) (4n 3) lim Do đó: n đa thức bậc có hệ số bậc 13 53 93 (4 n 3)3 (4n 3) 16 4 Câu b cos3 x cos5 x cos3 x cos x cos x x sin x lim cos x x lim cos x x cos x = cos5 x cos3 x x sin x cos3 x cos x cos x 2sin x sin x sin x sin x lim lim x x sin x.cos x x x sin x.cos x x x cos x 4x Vì lim Vì lim x cos x cos 3x 0 lim u cos 3x áp dụng công thức u Bài 10 Cho dãy số xn u cos x x sin x lim e e x cos x , nên x1 2 x1 x2 3x3 (n 1) xn , n 1, n lim un xn n ( n 1) thỏa mãn Tìm với un ( n 1)3 xn Hướng dẫn giải x2 Ta có Với n 3 : x1 x2 3x3 nxn n xn (1) x1 x2 x3 ( n 1) xn ( n 1)3 xn (2) 3 Từ (1) (2) ta có nxn n xn (n 1) xn Suy xn xn ( (n 1)3 xn n n ( ) .xn n n n n 1 n n 2 2 n n ) ( ) ( ) x2 n n n 1 n 4(n 1) lim 4 xn lim un n n (n 1) suy = Bài 11 L lim x Tính giới hạn hàm số : x x x Hướng dẫn giải Ta có: lim x x x x x x 3x lim x x x = lim x x 2 x 3x 1 lim x x x ( x 1) (2 x) x 1 lim ( x 2)( x 2) lim x x x ( x 1)( x 2) ( x 1) (2 x) x 1 = lim x x = lim x = (2 x 1) ( x 1) (2 x) x 1 ( 3x 1) (2 x) x 1 Bài 12 3 lim x lim x ( x 2) (3 x 4) ( x 1)( x 2) = 12 x 2011x 2009 Lim x Tính: x Hướng dẫn giải lim x x 2011( x 1) x2 lim[ 2011] x ( x 1)( x 2) x lim( x x 1 4021 2011) x 3 Bài 13 an Cho dãy số thỏa mãn: a1 n 1, n n a n a n 1 a a n n 1 n n 1 Tìm lim an Hướng dẫn giải n 2 * Dễ thấy an 0, n Từ giả thiết ta có * Với n , đặt n 2 yn an 1 n2 n 1 an 1 an ta có y1 1 1 1 n2 2 y n y n n y n y y y n 1 n n 1 n 1 n n 4 4 n 2 2 2 4n n 1 n 1 n yn y a n 2 n 1 n 16 n n 1 n 1 n2 Do Vậy lim an 4 Bài 14 Cho dãy số xn a x1 0, xn (3 xn ), n 2,3, xn thỏa mãn Hướng dẫn giải a xn ( xn xn xn ) a xn Ta có với n 2 Do dãy xn bị chặn xn a 1 Với n 3 , ta có xn 4 xn 4 xn xn –1 Do xn dãy giảm x Từ suy dãy n Bài 15 có giới hạn dễ dàng tìm lim xn a x1 3 xn1 3 , n 1, 2,3, xn xn y Cho dãy số thực : Xét dãy số n cho : (3 5) n yn n ; n 1, 2,3, y x1.x2 x3 xn Chứng minh dãy số n có giới hạn hữu hạn tính giớn hạn Hướng dẫn giải Ta có : xn 1 3 xn xn 1 3xn ; n 1, 2,3, xn Đặt : zn x1.x2 x3 xn ta có zn 2 x1 x2 x3 xn xn 1.xn2 zn xn1.xn 2 zn (3xn 1 1) 3 zn xn 1 zn 3zn 1 zn z1 x1 3 z2 x1.x2 3 8 z 3 zn 1 zn ; n 1, 2,3, z Khi : n 2 Suy n dãy truy hồi tuyến tính cấp Xét phương trình đặc trưng : t 3t 0 t 3 n Dãy n 3 3 zn có số hạng tổng quát dạng 3 3 5 10 5 8 2 10 : Lúc này, ta có n 3 (3 5) n yn n x1.x2 x3 xn zn 3 lim yn 3 lim 3 Suy : Vậy : Bài 16 n yn n 3 n n n 3 3 5 3 1 5 53 10 5 n Cho dãy số un xác định bởi: u0 1 , un 1 un n lim n3un ? n un un2 Tìm n Hướng dẫn giải Từ giả thiết un 1 n un un * u n n v uk n 1 2 n n 2un un2 n u n k n ta có nên xác định có giới hạn hữu hạn, giả sử lim c n ( c hữu hạn) Cũng từ un 1 un 1 n un n n n un un un ta có un 1 1 n un n un 1 un 1 0 u0 Do u1 u0 1 12 u1 u2 u1 … 1 (n 1) un un u n 1 (n 1)n(2n 1) n uk u u k 0 Cộng theo vế ta : n (n 1)n(2n 1) n un 6n n3 Mà lim n 0 lim c n3 ( n ) nên (n 1)n(2n 1) lim n3un 3 n n u n 6n 3 hay nlim n lim Bài 17 x Cho dãy số n xác định : hạn hữu hạn tìm giới hạn x1 1, xn 1 1 , n 1 x xn Chứng minh dãy n có giới Hướng dẫn giải Ta có x2 1 Hàm số Ta có 4 3; x3 1 2 x1 ; x4 1 x2 f ( x) 1 xn 1 1 x liên tục nghịch biến [0,+), f ( x) 5 f ( xn ), n xn ( xn ) bị chặn x1 x3 f ( x1 ) f ( x3 ) x2 x4 f ( x2 ) f ( x4 ) x3 x5 suy dãy ( x2 n 1 ) tăng dãy ( x2 n ) giảm suy ( x2 n 1 ),( x2 n ) dãy hội tụ Giả sử lim x2 n a;lim x2 n 1 b (a, b 1) Từ x2 n 1 f ( x2 n ) lim x2 n 1 lim f ( x2 n ) b f (a ) Từ x2 n 2 f ( x2 n 1 ) lim x2 n 2 lim f ( x2 n 1 ) a f (b) b 1 a a b 2 a 1 1 b Giải hệ phương trình Vậy lim xn 2 Bài 18 Cho x1 2014, x2 2013 xn 2 (1 x ) xn 1 n lim x n n , n 2, 3, Tìm n n Hướng dẫn giải Ta có xn 2 xn1 xn 1 xn ( 1) n ( 1) n xn 2 x1 xn 2 xn1 ( x2 x1 ) n n! n ! ( 1) k x1 k! k 1 Dãy rõ ràng hội tụ có giới hạn Từ suy lim xn 2015 n e x1 ( 1) k x1 k! e k 0 ( 1) k k! k 1 n