1 1 dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp

1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài Cho dãy số dãy cho  un  xác định : u1 11  un 1 10un   9n, n  N Xác định số hạng tổng quát Hướng dẫn giải Ta có: u1 11 10  u2 10.11   102 100  u3 10.102   9.2 1003 1000  Dự đoán: un 10n  n  1 Chứng minh theo quy nạp ta có u1 11 101  , công thức  1 với n 1 Giả sử công thức  1 với n k ta có uk 10k  k Ta có: uk 1 Cơng thức 10  10k  k    9k 10k 1   k  1  1 với n k  n Vậy un 10  n , n  N Bài Cho dãy số (un ) biết u1   un 3un   1, n 2 Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải un 3un    u n  Đặt un  1 3un    un  3(un   )(1) 2 2 1 5  v1 u1   2 (1)  3vn  , n 2 Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q 3 Nên v1.q n   Do Bài un vn   n  n 1   , n 1, 2, 2 3 n4  * u1 1; u n 1   un   , n  N n  n    xác định Tìm cơng thức số hạng u  Cho dãy số n tổng quát un dãy số theo n HƯỚNG DẪN GIẢI * Với n   , ta có 2un 1 3(un   2(un 1  Dãy số 3 3 ) 3(un  )  un 1   (un  ) n2 n 1 n2 n 1 (vn ), un   3    2 Bài n4 )  2un 1 3(un   ) (n  1)(n  2) n  n 1 n 3 q v1  n  cấp số nhân có cơng bội 1 3  1    , n  *  un     n 1    2 n , n  *   Cho hàm số f : Z  Z thỏa mãn đồng thời điều kiện: (1) f  n  1  f  n  n  Z  , (2) f  f  n    n  2000 n  Z  , a/Chứng minh: b/Tìm biểu thức f  n  1  f  n  n  Z  , f  n HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a Vì f  n  Z  f  n  1  f  n   n  Z  nên từ giả thiết (1) ta được: ,  Kết hợp giả thiết (2) ta n  Z n  2001  n  1  2000  f  f  n  1   f  f  n    n  2001 f  n 1  f  n   n  Z  đó: , Câu b f  n   f  1  n –1, n  Z   f  f  1   f  1  f  1 –1 Suyra: ,  2000 2 f  1 –1  f  1 1001  f  n  n  1000, n  Z  Thử lại thỏa điều kiện, nên f  n  n  1000, n  Z  Bài a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 b)Cho dãy số  un  u1 16   15  n.un  1 , n 1 un 1  14  n 1 có  Tìm số hạng tổng qt un Hướng dẫn giải a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 Gọi d công sai, số hạng thứ a Khi số hạng đầu csc a  d , a, a  d a  d  a  a  d 9  2 a  d   a   a  d  125    Theo giả thiết ta có hệ: 3a 9  2 3a  2d 125  a 3   d 7 Vậy có cấp số thỏa mãn có số hạng đầu là: -4;3;10 10;3;-4 b)Cho dãy số  un  u1 16   15  n.un  1 , n 1 un 1  14  n 1 có  Tìm số hạng tổng quát un 15  n.un 1 un 1  14    un 1  14   n  1 15  n.un  1 n 1 Ta có:   n  1 un 1 15nun  14n  Đặt nun   v1 16  (1) trở thành: Đặt 1 15vn  14n   1   n  1 15   n  w n vn  n   w1 15  (2) trở thành: (1) (2) wn 1 15wn   w n  n csn có w1 15, q 15  w n 15 15n  n un  n Từ ta có: Bài Cho dãy số  un  xác định : u1 1; u2 4; un 2 7un 1  un  2, n   * Chứng minh : un số phương với n nguyên dương Hướng dẫn giải Ta có u1 1; u2 4; u3 25 Đặt un vn  18 123 v1  ; v2  ; v3  5 un 2 7un1  un  2, n   * Khi  2 7vn 1  , n   *  2  2  7  1    5  2      2, n   * 5  2 2 Ta có : 2  1 (7vn 1  ).vn  1 vn 1 (7vn  1 )  vn 1vn   2  vn21 vn 1vn   vn2  v3v1  v22  ; n   * Suy : Suy 2  2  2  4    un 2    un     un1     un 2un   un 2  un     un 1  un 1    25  25  5  5  5  :  un  2un   7un1    un21  un1   u u u  2u  (u 1) ; n   * n 2 n n 1 n 1 n 1 5 Từ hệ thức un 2un (un 1  1) ; n   * u1 ; u2 số phương suy un số phương với n nguyên dương  Bài  an  n 1 Cho dãy số n xn  i 1 tăng, an  n 1, 2,3,   Xét dãy số   xn  n1 xác định 1  xn 1ai Chứng minh tồn nlim   Hướng dẫn giải  x Dễ dàng thấy dãy  n  n 1 tăng ngặt Trường hợp Nếu   1  1 1         xn     1 1ai ai 1ai ai 1 a1 dãy  xn  n 1 bị chặn tồn lim xn n   Trường hợp Nếu    1   1       * *   ai11  1    ai1  ai 1ai   ai ai1   1 ai1  ai    1  ** 1  Ta chứng minh (**) Xét hàm số tồn số f  x   x c   ; 1  Từ ta có Trên đoạn  ; 1  f '  c  thoả mãn rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên ai1  ai a   a a  a   c   i 1 i   ai11  i 1 i 1  ai 1  ai 1  đpcm  xn    lim xn xn  n 1   a1 dãy bị chặn tồn n   Bài Cho dãy số  xn  xác định : x4 1 xn 1  xn  1 n     n  3   n       n   1, Tính giới hạn lim n   với n 4 xn n4 Hướng dẫn giải Ta có: 1 n     n  3   n     n     n  1  1    n        n  1  3    n     n  1   n     n  1       n     12  2  32    n      =  n  1  n    n  1   n    n  1  2m  3 Do ta suy : Ta chứng minh xn 1  xn   n  n  1  n   n  n  1  n    xn  Cn3  * xn Cn4 Thật với n 4 , ta có x4 1 C44 Giả sử với n 4 ta có : xn Cn 4 Ta có : xn 1 xn  Cn theo (*) hay xn 1  xn  Cn Cn  Cn Cn xn n!  lim  4 n   n n   4! n   ! n lim Bài 1  f  3x   f  f  x    x f :  0;     0;   2  Cho hàm số thỏa mãn điều kiện với x  Chứng minh f  x  x với x  Hướng dẫn giải 1  f (3 x)  f  f (2 x)   x (1) 2  Ta có:   2x   2x 2x f ( x)  f  f      f ( x )  , x     Từ (1) suy (2) 1 f ( x)  f  2 Khi  2x   2x  2x  2x f     f      3   3  x  2x   f     x    27  2 a1  an 1  an2  n  1, 2,    ( a ) 3 Xét dãy n , xác định sau: * Ta chứng minh quy nạp theo n với n   ln có f ( x)  an x với x  (3) Thật vậy, n 1 theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n k Khi   2x   2x 2x 2x  2x  2x f ( x)  f  f      a f    a a  k k k 3      a2   k x ak 1.x Vậy (3) với n k  lim an 1 Thật vậy, ta thấy Tiếp theo ta chứng minh an  n  * Do đó: an 1  an  (an  1)(an  2)  , suy dãy ( an ) tăng ngặt 2 l  l  3 với l 1 , suy l 1 Vậy Dãy ( an ) tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an l lim an 1 Do từ (3) suy f ( x ) x với x  (đpcm) Bài 10 Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f  x  y  f  x  f  y f  x  e x  với x, y   với x   Hướng dẫn giải f  x    f  x   f    f   0 f   e0  0 f  x    x    f  x   f   x   f  x   f   x  0  x f  x  f     2  1  2x   x f   2  e  1  2    x   x f  x  2  e  1  f  x   f     2    x   x f   4  e  1  2    xn  f  x  2n  e  1   Dùng quy nạp theo n 1, 2, ta CM  2x0n  f  x0  2  e  1   Cố định x0   ta có n f   0  2x0n  an 2  e  1   ta có: Xét dãy n  x0n   e2   lim an lim  x0  x0 x0  n    Vậy f  x0   x0 x0   Vậy f  x   f   x  x    x  0 Kết hợp (1) (3) ta Từ (2)  2 f  x   f   x  0  f   x   x  f  x  x ta thấy Vậy  3   Kết hợp (2) (4) ta f  x  xx   Thử lại f  x  x f  x   f   x   x    x  0 Kết hợp (1) (3) ta f  x   f   x  0  f   x   x  f  x   x Từ (2) ta thấy  3   Kết hợp (2) (4) ta f  x  xx   Thử lại f  x  x 2015   x1  2016    x  x   xn  , n 1 n    n 1  n Bài 11 Cho dãy số xác định  Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn giải Trước hết, quy nạp, ta dễ dàng có xn  n 1 dãy số cho dãy tăng Ta có : x2  x1  x12  x1; x3  x2  x22  x1  x12  3x1 ; Giả sử xk  kx1 với k  Ta có: xk 1  xk  xk2  kx1  x12  (k  1) x1 k Theo nguyên lý quy nạp ta có xn  nx1 n  Ta có : mx1  m   m   x1    m  xm  m  m 2017 thật 1  m  m  2016 2015  x1 1 2016 ; : Do x m