Giải toán xác định số hạng tổng quát của dãy bằng phương pháp sai phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VĂN THẠCH GIẢI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VĂN THẠCH GIẢI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Chuyên ngành Mã số : Phương pháp toán sơ cấp : 8460113 Người hướng dẫn: PGS.TS ĐINH CÔNG HƯỚNG Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Quy Nhơn, ngày tháng năm 2020 Học viên Đăng Văn Thạch Mục lục MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm số tính chất sai phân 1.2 Khái niệm số tính chất sai phân ngược 1.3 Tính tổng phương pháp sai phân 10 1.4 Một số ví dụ 11 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY 2.1 2.2 2.3 21 Hệ phương trình sai phân tuyến tính hệ số 21 2.1.1 Phương pháp 21 2.1.2 Phương pháp 22 Hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng với hệ số 24 2.2.1 Phương pháp sử dụng định lý Caley-Hamilton 24 2.2.2 Phương pháp tính lũy thừa Ma trận Jordon 33 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao hệ số 35 2.3.1 Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 35 2.3.2 Nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính cấp cao không MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 38 44 3.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số 44 3.2 Xác định số hạng tổng quát dãy véc tơ 50 Kết luận 54 Một số kí hiệu • N: Tập số tự nhiên • N˚ : Tập số tự nhiên khác • Z: Tập số nguyên • Z` : Tập số nguyên dương • R: Tập số thực • AT : Ma trận chuyển vị ma trận A Mở đầu Bài toán xác định số hạng tổng quát dãy số tốn thú vị khó, thường xuất chương trình tốn Trung học phổ thơng Để giải toán xác định số hạng tổng quát dãy số, người ta thường sử dụng phương pháp truyền thống quy nạp tốn học, sử dụng đạo hàm, tích phân, biến đổi đại số, sử dụng tính chất số phức, Tuy nhiên, câu hỏi thường đặt toán xác định số hạng tổng quát dãy số phương pháp quy nạp là: “Làm biết công thức tổng quát dãy số đó?”, “Làm sáng tác hệ thống tập hay cho học sinh?” Luận văn cung cấp câu trả lời cho câu hỏi Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu việc giải toán xác định số hạng tổng quát dãy số dãy véc tơ phương pháp sai phân Chúng hệ thống làm rõ số nội dung tài liệu tham khảo r1s, r2s, r3s, r4s Ngoài mục lục, mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương: Chương Trình bày khái niệm số tính chất sai phân, sai phân ngược, tính tổng phương pháp sai phân Chương Trình bày phương pháp giải phương trình hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương Trình bày số dạng tốn tìm số hạng tổng qt dãy số dãy véc tơ Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Đinh Công Hướng Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành bảo, hướng dẫn tận tâm, nhiệt tình thầy suốt trình thực luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Quy Nhơn, ngày tháng năm 2020 Học viên Đăng Văn Thạch Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm số tính chất sai phân Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f : R Ñ R hàm số cho trước Ta gọi sai phân cấp hàm f đại lượng ∆f pxq “ f px ` 1q ´ f pxq Giả sử với n ą ta định nghĩa sai phân cấp n ´ hàm f Khi sai phân cấp n hàm f định nghĩa sau ` ˘ ∆n f pxq “ ∆ ∆n´1 f pxq , n ě 1, ∆0 f pxq :“ f pxq Định lý 1.1.1 a Sai phân số b Sai phân cấp tốn tử tuyến tính c n pxn q “ n!, m pxn q “ 0, m ą n; m, nP Z Chứng minh a Sai phân số Thật vậy, ta có pC q “ C ´ C “ b Ta chứng minh sai phân cấp toán tử tuyến tính phương pháp quy nạp + Thật vậy, @f, g : R ÝÑ R, @α, β P R, @xP R, ta có ∆ pαf ` βg q pxq “ pαf ` βg q px ` 1q ´ pαf ` βg q pxq “ αf px ` 1q ` βg px ` 1q ´ αf pxq ´ βg pxq “ rαf px ` 1q ´ αf pxqs ` rβg px ` 1q ´ βg pxqs “ α rf px ` 1q ´ f pxqs ` β rg px ` 1q ´ g pxqs “ α∆ pf q pxq ` β∆ pg q pxq Do ∆ pαf ` βg q “ α∆ pf q ` β∆ pg q Vậy sai phân cấp tốn tử tuyến tính n +Giả sử tốn tử tuyến tính Ta cần chứng minh n`1 tốn tử tuyến tính Thật vậy, @f, g : R Ñ R, @α, β P R, @xP R, ta có n`1 pαf ` βg q pxq “ n p pαf ` βg q pxqq pα n pf q pxq ` β “α p n f pxqq ` β p “ “α n `1 pf q pxq ` β n pg q pxqq n n `1 (theo giả thiết quy nạp) g pxqq pg q pxq Do n `1 pαf ` βg q “ α n`1 f `β n `1 g Vậy sai phân cấp n ` tốn tử tuyến tính Do đó, theo nguyên lý quy nạp ta có c Ta có Giả sử k n tốn tử tuyến tính pxq “ px ` 1q ´ x “ pxk q “ k!, @k ď n Ta cần chứng minh k `1 pxk`1 q “ pk ` 1q! 41 Phương trình đặc trưng có nghiệm λ “ ´1, λ “ 1, λ “ Từ ta có x˚n “ cos nπ b Phương pháp tốn tử Từ phương trình p2.6q, ta suy ` ˘ a0 E k ` a1 E k´1 ` ` ak I xn “ fn , ` ˘ đó, E tốn tử dịch chuyển Exn “ E xn “ xn`1 Hay ta f pE q xn “ fn Do đó, ta tìm nghiệm riêng x˚n dạng fn x˚n “ f pE q Tính chất f pE q λn “ f pλq λn Chứng minh Ta có ` ˘ f pE q λn “ a0 E k ` a1 E k´1 ` ` ak I λn “ a0 E k λn ` a1 E k´1 λn ` ` ak I.λn “ a0 λn`k ` a1 λn`k´1 ` ` ak λn ` ˘ “ a0 λk ` a1 λk´1 ` ` ak λn “ f pλq λn Tính chất f pE q λn Pm pnq “ f pλE q λn Pm pnq Chứng minh Ta có f pE q λn Pm pnq “ a0 E k λn Pm pnq ` a1 E k´1 λn Pm pnq ` ` ak I.λn Pm pnq “ a0 λn`k Pm pn ` k q ` a1 λn`k´1 Pm pn ` k ´ 1q ` ak λn Pm pnq “ λn a0 λk E k Pm pnq ` λn a1 λk´1 E k´1 Pm pnq ` ` λn ak Pm pnq “ λn ra0 λk E k ` a1 λk ´ 1.E k´1 ` ` ak I sPm pnq “ λn f pλE q Pm pnq 42 1 n λn “ λ f pE q f pλq 1 Tính chất .λn Pm pnq “ λn Pm pnq f pE q f pλE q npkq λn´k n Tính chất .λ “ k! pE ´ λI qk Tính chất Chứng minh Tính chất Tính chất suy từ Tính chất Ta chứng minh Tính chất Ta chứng minh phương pháp quy nạp ‚ Với k “ 1, ta có n.λn´1 “ pn ` 1q λn ´ nλn “ λn pE ´ λI q np1q λn´1 n λ “ pE ´ λq 1! npkq λn´k n λ “ k! pE ´ λI qk npk`1q λn´pk`1q n Ta chứng minh λ “ pk ` 1q! pE ´ λI qk`1 Thật vậy, ta có ‚ Giả sử 1 pE ´ λI q λn “ k `1 1 λn k E ´ λI pE ´ λI q npkq λn´k “ “ λn´1 g pnq E ´ λI k! Suy pE ´ λI q λn´1 g pnq “ λn g pn ` 1q ´ λn g pnq “ λn ∆g pnq Từ đó, ta suy npkq λ´k ∆g pnq “ pk ` 1q! 43 npk`1q λ´k npk`1q λ´k “ g pnq “ pk ` 1q! k ` k! Do đó, ta npk`1q λn´pk`1q λ “ pk ` 1q! pE ´ λI qk`1 n Ví dụ 2.15 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân xn`2 ´ 7xn`1 ` 12xn “ 2020n Ta có f pE q “ E ´ 7E ` 12 “ pE ´ 3I q pE ´ 4I q Suy 2020n pE ´ 3I q pE ´ 4I q 2020n x˚n “ p2020 ´ 3q p2020 ´ 4q x˚n “ 2020n 4066272 Ví dụ 2.16 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân x˚n “ xn`3 ´ 10xn`2 ` 33xn`1 36xn “ 2020n Ta có f pE q “ E ´ 10E ` 33E ´ 36 “ pE ´ 3I q2 pE ´ 4I q Suy x˚n “ 2020n pE ´ 3I q pE ´ 4I q “ 2020n pE ´ 3I q p´1q n “´ 2020 pE ´ 3I q 2020n “´ 20172 44 Chương MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 3.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số Ví dụ 3.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số cho dạng công thức truy hồi sau # x1 “ 2020, xn`1 “ 2xn ` 2n ´ 1, @n P N˚ Bài tốn quy việc giải phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp với điều kiện ban đầu x1 “ 2020 pn ` x˚n Ta có số hạng tổng quát dãy xn “ x pn “ c.2n Vì phương trình đặc trưng λ ´ “ có nghiệm λ “ nên ta có x x˚n “ an ` b Thay x˚n “ an ` b vào phương trình sai phân xn`1 “ 2xn ` 2n ´ 1, 45 ta a pn ` 1q ` b “ 2an ` 2b ` 2n ´ ´an ` a ´ b “ 2n ´ # a“2 b “ ´1 Ta x˚n “ ´2n ´ Suy xn ` x˚n “ c.2n ´ 2n ´ xn “ x Từ x1 “ 2020 ta c “ 2023 Vậy xn “ 2023.2n`1 ´ 2n ´ Ví dụ 3.2 Xác định số hạng tổng quát dãy số cho dạng công thức truy hồi sau # x1 “ 2020; xn`1 “ 2xn ` n2 ` n ` 2.2n , @n P N˚ Bài toán quy việc giải phương trình sai phân tuyến tính không cấp với điều kiện ban đầu x1 “ 2020 pn ` x˚n , x˚n “ x˚n1 ` x˚n2 Ta có số hạng tổng quát dãy số xn “ x pn “ c.2n Vì phương trình đặc trưng λ ´ “ có nghiệm λ “ nên ta có x Hơn nữa, ta có x˚n1 “ an2 ` bn ` c nghiệm riêng phương trình sai phân xn`1 “ 2xn ` n2 ` n, x˚n2 nghiệm riêng phương trình xn`1 “ 2xn ` 2.2n Thay x˚n1 “ an2 ` bn ` c vào phương trình xn`1 “ 2xn ` n2 ` n ta a pn ` 1q2 ` b pn ` 1q ` c ´ 2an2 ´ 2bn ´ 2c “ n2 ` n 46 ´an2 ` p2a ´ bq n ` a ` b ´ c “ n2 ` n $ ’ ’ & a “ ´1 b “ ´3 ’ ’ % c “ ´4 Suy x˚n1 “ ´n2 ´ 3n ´ Thay x˚n2 “ an2 ` bn ` c vào phương trình xn`1 “ 2xn ` 2.2n ta A pn ` 1q 2n`1 ´ 2An.2n “ 2.2n A“ Do đó, ta x˚n2 “ 3n.2n´1 Suy xn “ c.2n ´ n2 ´ 3n ´ ` 3n.2n´1 2022 Vì x1 “ 2020 nên c “ “ 1011 Vậy xn “ 1011.2n ´ n2 ´ 3n ´ ` 3n.2n´1 Ví dụ 3.3 Tính tích phân sau ż8 ż8 xn e´x sin xdx, In “ xn e´x cos xdx Kn “ 0 Đặt u “ xn e´x, dv “ sinxdx, ta có In “ nKn´1 ´ Kn , Kn “ ´nIn ´ ` In Từ ta In ` Kn “ nKn´1 , 47 In ´ Kn “ nIn´1 , hay n pIn´1 ` Kn´1 , n Kn “ ´ pIn´1 ` Kn´1 , I0 “ , K0 “ In “ Đổi biến In “ n!xn , Kn “ n!yn , ta thu hệ xn “ xn´1 ` yn´1 , yn “ ´xn´1 ` yn´1 , x0 “ , y0 “ Hệ tương đương với hệ x n `1 “ x n ` y n , yn`1 “ ´xn ` yn , x0 “ , y0 “ Ta viết hệ dạng x pn ` 1q “ Ax pnq , với ˜ A“ 1 ´1 ¸ ˜ , x pnq “ xn yn ¸ ˜ , x p0q “ 1{ 1{ ¸ Các giá trị riêng A λ1,2 “ ˘ i Các véc tơ riêng độc lập tuyến tính A tương ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 ˜ ¸ ˜ ¸ 1 v1 “ , v2 “ ´i 48 Nghiệm tổng quát hệ ˜ ¸ n n α1 p1 ` iq ` α2 p1 ´ iq x pnq “ α ip1 ` iqn ` α2 ip1 ´ iqn ˜ `? ˘1n ` ˘ ¸ nπ nπ pα1 ` α2 q cos ` ipα1 ´ α2 qsin “ `? ˘n ` ˘ nπ pα1 ´ α2 q i cos nπ ` p α ` α q sin 2 4 ˜ `? ˘n ` ¸1 ˘ nπ nπ α cos ` iβsin “ `? ˘n ` ˘ nπ βi cos nπ ´ αsin 4 Từ ta nhận ˜ `? ˘n ` ˘¸ nπ nπ α cos ` iβsin xn “ `? ˘n ` ˘ nπ βi cos nπ ´ αsin 4 ˜ `? ˘n ` ˘¸ nπ nπ α cos ` iβsin yn “ `? ˘n ` ˘ nπ ´ αsin βi cos nπ 4 Cho n “ ta α “ 12 , βi “ 21 , dó ? n nπ nπ xn “ pcos ` sin q 4 ?2 n nπ nπ yn “ pcos ´ sin q 4 Vậy ? n nπ nπ n! In “ n`1 pcos ` sin q 4 ?2 n nπ nπ yn “ pcos ´ sin q 4 Ví dụ 3.4 Cho n, k P Z` Chứng minh với px0 , y0 q, x0 , y0 P Z` , tồn pxn , yn q, xn , yn P Z` thỏa mãn ? n ? px0 ` y k “ xn ` y n k (3.1) ? n ? px0 ´ y0 k “ xn ´ yn k (3.2) Từ suy rằng: Nếu phương trình x2 ´ ky “ 1, k P Z` có nghiệm ngun dương với k có vơ số nghiệm ngun dương Ta chứng 49 minh toán phương pháp quy nạp Ta cần chứng minh p3.1q p3.2q chứng minh tương tự Giả sử p3.1q với n tức ? ? px0 ` y0 k qn “ xn ` yn k, ta chứng minh p3.1q với n ` Ta có ? ? ? px0 ` y0 k qn`1 “ px0 ` y0 k qn px0 ` y0 k q ? “ xn x0 ` kyn y0 ` pyn x0 ` xn y0 q k ? “ xn`1 ` y n`1 k, từ ta có xn`1 “ x0 xn ` ky0 yn P Z` yn`1 “ y0 xn ` kx0 yn P Z` Chứng minh tính Giả sử tồn px1n , yn1 q, x1n , yn1 P Z` thỏa p3.1q Khi ta có ? ? ? xn ` yn k “ x1n ` yn1 k ðñ xn ´ x1n “ pyn1 ´ yn q k xn ´x1n yn1 ´yn , yn1 “ yn Giả sử yn ‰ yn1 , suy k khơng phương nên ta có điều mâu thuẫn Vậy, x1n “ xn Ta giả thuyết k khơng phương k phương k “ l2 Suy x2 ´ ky “ lx2 ´ l2 y “ ‰ x ´ ly “ ˘1; x ` ly “ ˘1, từ ta có x “ ˘; y “ 0, dó k khơng thỏa giả thuyết tốn Bây giả sử phương trình x2 ´ ky “ 1, k P Z, có nghiệm nguyên dương px0 , y0 q, x0 , y0 P Z` Khi ? ? x0 ´ ky0 “ ‰ px0 ´ ky0 qpxq ` ky0 q “ 50 Với n P Z` ta có hay px0 ´ ky0 n qpx0 ` ky0 n q “ 1, ? ? pxn ´ yn k qpxn ` yn k q “ 1, nên xn ´ kyn “ Rõ ràng, pxn , yn q cặp nghiệm phương trình x2 ´ ky “ 1, k P Z 3.2 Xác định số hạng tổng quát dãy véc tơ Ví dụ 3.5 Xác định công thức tổng quát dãy véc tơ xác định xk`1 “ Axk , k P Z, « A“ Ta có « Ak “ Do « xk “ cos pkπ {2q ´1 ff sin pkπ {2q ff ´ sin pkπ {2q cos pkπ {2q cos pkπ {2q sin pkπ {2q , @k P Z ff ´ sin pkπ {2q cos pkπ {2q c, @k P Z, với c véc tơ Ví dụ 3.6 Xác định cơng thức tổng quát dãy véc tơ xác định xk`1 “ Axk , k P Z, » fi ´1 — ffi ffi A“— ´ ´ 1 – fl ´4 51 Vì A có giá trị riêng λ1 “ λ2 “ λ3 “ ´1 nên theo Định lí 2.2.1, ta có w1 “ p´1qk , w2 “ k p´1qk´1 , w3 “ k pk ´ 1q p´1qk´2 nghiệm hệ phương trình w1 pk ` 1q “ p´1q w1 pk q , w1 p0q “ w2 pk ` 1q “ p´1q w2 pk q ` w1 pk q , w2 p0q “ w3 pk ` 1q “ p´1q w3 pk q ` w2 pk q , w3 p0q “ Suy Ak “ p´1qk I ` k p´1qk´1 pa ` I q ` k pk ´ 1q p´1qk´2 pA ` I q2 Khi » — Ak “ p´1qk — – 2 ´ 3k ´ 3k 6k ´9k ´ 9k 2 ´2k k`k ´2k fi ffi ffi fl ´6k ` 3k ` 3k Vậy nghiệm tổng quát có dạng » ´ 3k ´ 3k ´2k k ` k2 — xk “ p´1qk — 6k ´2k – ´9k ´ 9k ´6k ` 3k ` 3k fi ffi ffi c, fl với c véc tơ Ví dụ 3.7 Xác định cơng thức tổng qt dãy véc tơ xác định xk`1 “ Axk , k P Z, » fi — ffi ffi A“— 0 – fl ´3 52 Tương A có giá trị riêng λ1 “ λ2 “ λ3 “ nên w1 “ 1, w2 “ k, w3 “ k pk ´ 1q nghiệm hệ phương trình w1 pk ` 1q “ w1 pk q , w1 p0q “ w2 pk ` 1q “ w2 pk q ` w1 pk q , w2 p0q “ w3 pk ` 1q “ w3 pk q ` w2 pk q , w3 p0q “ Ak “ I ` k pA ´ I q ` k pk ´ 1q pA ´ I q2 Khi » 1— A “ — 2– k fi pk ´ 1q pk ´ 2q ´2k pk ´ 2q k pk ´ 1q k pk ´ 1q ´2 pk ` 1q pk ´ 1q k pk ` 1q k pk ` 1q ´2k pk ` 2q pk ` 2q pk ` 1q Vậy nghiệm tổng quát có dạng » pk ´ 1q pk ´ 2q ´2k pk ´ 2q k pk ´ 1q 1— xk “ — k pk ´ 1q ´2 pk ` 1q pk ´ 1q k pk ` 1q 2– pk ` 2q pk ` 1q k pk ` 1q ´2k pk ` 2q ffi ffi fl fi ffi ffi c, fl với c véc tơ Ví dụ 3.8 Xác định cơng thức tổng quát dãy véc tơ xác định xk`1 “ Axk , k P Z, » fi ´1 — ffi ffi A“— ´ – fl 0 Vì A có giá trị riêng λ1 “ ´1, λ2 “ 1, λ3 “ ´1 nên theo Định lí 2.2.1, ta có w1 “ p´1qk , w2 “ k, w3 “ k pk ´ 1q p´1qk´2 53 Suy # Ak “ p´1qk I ` k p´1qk´1 pA ` I q ` Khi » — Ak “ — – k p´1qk´1 ´ p´1qk ` ´2 p´1qk ´ ¯ k k ` ´ p´1q ´ ¯ k ´ p´1q 0 p´1q k Vậy nghiệm tổng quát có dạng ´ ¯ » k k p´1q k ` ´ p´1q ´ ¯ — k k xk “ — p´1q ´ p´1q – 0 với c véc tơ fi ffi ffi fl fi ffi ffi c, fl + pA ` I q2 54 Kết luận Luận văn đạt số kết sau: • Hệ thống, làm rõ số tính chất phép tính sai phân sai phân ngược • Hệ thống, làm rõ số phương pháp giải phương trình sai phân hệ phương trình sai phân tuyến tính • Áp dụng phương pháp sai phân để giải toán xác định số hạng tổng quát dãy số dãy véc tơ Học viên Đặng Văn Thạch 55 Tài liệu tham khảo [1] D.L Jagerman (2000), Difference Equations with Applications to Queues, Marcel Dekker Ine [2] R.P Agarwal (2000), Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications, Marcel Dekker Ine [3] L.Đ Thịnh (chủ biên), Đ.Đ Châu, P.V Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [4] N.V Mậu, Đ.C Hướng (2014), Sai phân-Định lý áp dụng, NXB ĐHQGHN ... Nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính cấp cao không MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 38 44 3.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số 44 3.2 Xác định số hạng tổng quát dãy véc... niệm số tính chất sai phân, sai phân ngược, tính tổng phương pháp sai phân Chương Trình bày phương pháp giải phương trình hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương Trình bày số dạng tốn tìm số hạng. .. TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VĂN THẠCH GIẢI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Chuyên ngành Mã số : Phương pháp toán sơ cấp : 8460113 Người hướng dẫn: PGS.TS