xác định số hạng tổng quát của dãy số

II PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN ( NẾU CẦN BỔ XUNG MỜI CÁC THẦY CÔ CHO Ý KIẾN ) XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP 1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Câu 1: Cho dãy số (un ) biết u1   un 3un   1, n 2 Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải 1 un 3un    un  3un    un  3(un   )(1) 2 2 1 5 Đặt v n un   v1 u1   2 (1)  3vn  , n 2 Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q 3 5 v1.q n   3n  Nên 5 un vn   3n   , n 1, 2, 2 Do Câu 2: A lim a) Tính giới hạn theo n  n3  n   n  b) Cho dãy số (un) xác định : u1 11  un 1 10un   9n, n   Tìm cơng thức tính un Hướng dẫn giải A lim a) Tính giới hạn A lim   n3  n   n  n2  n3  n   n lim Ta có: 1 lim  n n2 1    1           1  n n   n n  A Vậy b) Ta có: u1 11 10  u2 10.11   102 100  u3 10.102   9.2 1003 1000  u 10 n  n  1 Dự đoán: n Chứng minh:  n  1  n n3  n   n Ta có: u1 11 10  , công thức (1) với n 1 k Giả sử công thức (1) với n k ta có: uk 10  k Ta có: uk 1 10  10k  k    9k 10k 1   k  1 Công thức (1) với n k  n Vậy un 10  n, n  N 1.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG Câu 3:  un  Cho dãy số un 1 n   u n xác định u1 1, u2 2, un 2 un  2un 1 , n 1 Tìm Hướng dẫn giải lim Dễ thấy dãy cho dãy số dương, khơng có số hạng dãy Từ công thức un 2 u 2  n , n 1 un 1 truy hồi dãy ta có un 1 Đặt  un 1 , n 1 v1 2, 1 2  , n 1 un , ta dãy số Dễ thấy dãy   dãy số dương 2, n 1 Do 1 5      1  , n 1 vn  vn 2 Vậy ta có  5 f  x  2  , x   2;  f '  x    0, x x   Ta có x Xét hàm số Do có hai dãy đơn điệu dãy b  lim v2 n 1 n     hai dãy bị chặn nên chúng có giới hạn Giả sử ta có hệ   a 2  b  a b     ab 1 b 2   a  a b 1    a b 1   ab 1  Ta thấy có a b 1  thỏa mãn giới hạn cần tìm Câu 4: Tìm số dãy số  Viết lại  un  un 1  4un2  4un 0, n 1   u2004  thỏa mãn điều kiện:  Hướng dẫn giải un 1 4un  – un   f  un  Nhận xét: với f  x    0;1  x   0;1 f  x  4 x  – x  a  lim v2 n n     0;1  u2003   0;1  u2002   0;1  u1   0;1 u  Vì vậy: 2004   Với  u1  tồn :  a  u1 sin a 2 2 2 Lúc đó: u2 4 sin a (1 – sin a ) sin 2a ; u3 4 sin 2a (1 – sin 2a ) sin 4a 1  cos(2n ) n u  sin (2 a )  2 Quy nạp ta được: n 1 1 2004   c os(2  )  u2004  2 2   cos(22004 ) 0  22004    k    2005 (2k  1), k  Z 2     1  2005 (2k  1)     k  22003  2 2 Vì  a  nên 2003 Do k  Z nên: k 0;1; 2; ; –1 Từ có tất 2003    u1 sin  2005 (2k  1)  , k  {0;1; ;2 2003  1} 2  giá trị u1 thỏa tốn: 2003 u  Do có tất dãy số n thỏa điều kiện cho Câu 5: Cho x1 , x2 , , xn , nghiệm dương phương trình tan x  x theo thứ tự tăng dần Tính lim  xn  xn   n   Hướng dẫn giải     x     k ;  k  f '( x )   0   Ta có cos x Xét hàm số f ( x ) tan x  x , với => f ( x) tăng từ   đến         k  ;  k   phương trình tan x  x có nghiệm xk Suy ra: khoảng      yk    ;  lim yn  xk  yk  k với tan y  tan x  y  n    n   2   => n n n => lim  xn  xn   n   Câu 6: = lim n    y n  n    yn    n  1    = lim    yn  yn    n   u1 2014  u un2  (1  2a)un  a n 1, 2, ( u ) n Cho dãy số xác định sau:  n 1 Tìm điều kiện a   để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải Ta có: un 1  un (un  a) 0  un 1 un ; n 1, 2,3, * Suy dãy số (un ) tăng; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy bị chặn 2 Giả sử tồn lim un L ( L  ) , chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un  (1  2a )un  a ta 2 có: L L  (1  2a ) L  a  L a * - Nếu có số k   mà uk  a un  a; n k nên L  a trái với kết lim un L a 2 Do đó: uk a với k 1, 2, hay un  (1  2a)un  a a, n 1, 2,3, nói riêng u12  (1  2a)u1  a a  a  u1 a  a  2014 a từ ta 2014 a 2015 * Đảo lại: Nếu 2014 a 2015  a  u1 a  (u1  a  1)(u1  a ) 0  u12  (1  2a )u1  a  a 0  u2 a u1 u2  a  u2 a Bằng quy nạp ta chứng minh a  un a, n 1, 2,3, (H/s trình bày ra) Như dãy (un ) tăng, bị chặn bới a , dãy (un ) có giới hạn hữu hạn Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim un a Câu 7: Cho hai dãy số  an   bn  xác định sau: a1 2, b1 1 , Chứng minh  an   bn  an 1  2an bn an  bn ; bn 1  an 1.bn , n 1, 2,  có giới hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:   2n.sin n n  1 b  an  n    sin cos n sin 3 ; (2) 2n.sin Từ (1), (2) tồn lim an n   lim bn n     n   3 lim an lim n  n     sin cos n sin 3 Ngoài ra: 2n.sin lim bn lim an lim cos n  n   a  ,  bn  Vậy hai dãy n Câu 8: n   3  n 3 có giới hạn chung   x1    x  x  xn ; n 1 n 1 n n2 Cho dãy số (xn) thỏa mãn:  Chứng minh dãy số có giới hạn Hướng dẫn giải *) Ta chứng minh xn  n Thật vậy: n 1  n  n  1 với n  (1)  k  k  1 Giả sử (1) với n k 1: xk  k x2 xk 2  xk 1   k  1  xk  k2   k  1 x  k    k  1  k k = k  k  1 k  k  1  k   k  k  1   1   k  1   2 k   k    k  1 k  1  k    k     2  (đpcm) x  *) Ta chứng minh n có giới hạn x  NX: n tăng xn  với n  1 1  1            xn  xn xn 1 xn  n n  n  1 x1 xn  n  với n  Ta có x  Vậy n có giới hạn 1.4 PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ 1.5 DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH 1.6 SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC Câu 9: Cho dãy số Un  U1   U  U n   ; n 1, 2,3,  *  n 1   U n định  Tính U 2013 Hướng dẫn giải   Tính tan   21  2.tan     tan    1 tan tan       tan   U n 1    U n tan *  Từ ta viết U n  tan  1    U n tan    n  1   1 U1  8 3 Theo quy nạp từ    6047  U 2013 tan   2013  tan   8 3  24  Vậy 1.7 CÁC DẠNG KHÁC  x1 1   xn 1  xn  , n 1  xn  xn   Câu 10: Cho dãy số thực xác định sau: 25 x625  625 x Chứng minh rằng:  ( kí hiệu   phần nguyên số thực x ) Hướng dẫn giải 1 n  n xn  n  H n , n 1 H n 1     n Ta chứng minh rằng: , với xn21 xn2   2 xn , x1 1 quy nạp xn n Với n 1 giả sử đến n Tức xn n Từ suy xn21 n    n   nxn n xn xn2  xn2  n 1 1 n 1     x  n    n      xn2 k 1 k k 1 xk 1    n  Hn   n  H n   nxn n  H n 8 n   Việc ta chứng minh H 625  Ta có BĐT H n 1  ln n thật vậy, 1  1 f  x  ln  x  1  ln x  ln     x 1 x  x  x   Xét hàm số f  x   1   , x  x  x  1  x  1 hàm số f  x giảm khoảng  0;   f  x   0, x  , ta suy  ln  x  1  ln x  * x 1 áp dụng 1      ln  ln1  ln  ln    ln 625  ln 624 1  ln 625  625 625  625 x625  625  H 625  626   25 x625  625 Từ đó: MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA  yn  thỏa mãn y1  0, yn 1  y1  y2   yn , n 1  yn    Chứng minh dãy số  n  có giới hạn n   Câu 11: Cho dãy số Hướng dẫn giải 3 y Từ giả thiết ta có yn 1  yn  yn , n 2 , dãy số n n2 dãy tăng, 3 2 yn 1  yn  yn  yn ( yn  1)  yn 1 ( yn  1)  yn21  yn2  , n 2  yn21  yn2    y22  n  y2  n  y22  n   y    n 1   lim 0 (n  1) Mà ( n  1)  n 1  nên theo định lý kẹp ta có y y  y  lim  n 1  0  lim n 1 0  lim n 0 n 1 n  n 1  Câu 12: Tìm tất số c  cho dãy số dãy số (un ) thỏa mãn: un  (0;1) n 1  un 1 (1  un )  c hội tụ Với giá trị c tìm tính giới hạn dãy (un ) Hướng dẫn giải Ta xét trường hợp sau + Nếu c cun c un 1   4cun ; n 1  un un (1  un ) , từ giả thiết, ta có n Từ quy nạp, ta suy un  (4c) u1 Do 4c  nên un   n   Do đó, c khơng thỏa mãn    4c   c   a (1  b)  c a , b  ;   , a  b  0c 2   , tồn + Nếu cho b(1  a )  c Thật    4c   c  a   ;  , 2   đặt b a  x ( x  0) , vây, lấy a (1  b)  c  a (1  a  x )  c  x  a(1  a )  c a Chú ý b(1  a)  a(1  a)  c Do đó, ta cần chọn x  b a  x, bất đẳng thức nêu Xét dãy số (un ) xác định a nêu n 2m un  b nêu n 2m  0c khơng thỏa mãn dãy (un ) thỏa mãn giả thiết không hội tụ Thành thử, un 1 un 1   un c 4(1  u ) u (1  u ) n n n + Nếu , Suy dãy (un ) tăng bị chặn Do đó, (un ) hội tụ 1 x(1  x)  x lim un  x  li m u , n từ giả thiết ta có hay Vậy Đặt   x1    x  x  xn ; n 1 n 1 n n2 Câu 13: Cho dãy số (xn) thỏa mãn:  Chứng minh dãy số có giới hạn Hướng dẫn giải *) Ta chứng minh xn  n Thật vậy: n 1  n  n  1 với n  (1)  k  k  1 Giả sử (1) với n k  1: xk  k x2 xk 2  xk 1   k  1  xk  k2   k  1 x  k    k  1  k k k  k  1 k  k  1  k   k  k  1   1   k  1   2 k   k    k  1 k  1  k    k     2  (đpcm) x  *) Ta chứng minh n có giới hạn x  NX: n tăng xn  với n  1 1  1            xn  xn xn 1 xn  n n  n  1 x1 xn  n  với n 1 Ta có x  Vậy n có giới hạn Câu 14: Cho dãy số  un  xác định u1 2014, un 1  un4  20132 , n  * un  un  4026 n Đặt , n  * u  2013 k 1 Tính lim  k Hướng dẫn giải un4  20132 (un  2013)(un3  2013)  2013  (un3  2013)  (un  2013) (1) + Ta có un 1  2013  un  un  4026 * Từ quy nạp ta chứng minh un  2013, n   1 1 1     + Từ (1) suy un 1  2013 un  2013 un  2013  un  2013 un  2013 un 1  2013 n   1 1     1   uk 1  2013  u1  2013 uk 1  2013 uk 1  2013 k 1  uk  2013 Do + Ta chứng minh lim un  Thật vậy, ta có Suy Giả sử un 1  un  un2  4026un  20132 (un  2013)   0, n  * un3  un  4026 un3  un  4026  un  dãy tăng, ta có 2014 u1  u2   un  bị chặn lim un a a  2014 Khi a a  20132 a  a  4026  a 2013  2014 ( vơ lí) Suy  un  khơng bị chặn trên, lim un  Vậy lim lim Câu 15: Cho dãy số  un  (1  ) 1 uk 1  2013 xác định bởi: u1 2013  * un 1 un  2, n   u1 a  , u  2013  a - Vì nên đặt un21 n   u u u 2 n Tìm Hướng dẫn giải a>1 1  u2 u   a    a  a a  Ta có Bằng quy nạp, ta chứng minh n un 1 a  a2 n , n   lim - Xét n n  2i u    i  a  2i a i 1 i 1  1 1    n  2i 1     2n     a  a      a  2i    a    a  2n  1.0   a   a  i 1  a  a   a    1  n   a    a  2n  2  un 1 un21 1  1 a    a   2   lim 2  a    a    20132  1.0 n   u u u u1 u2 un a  a n    2 n  a  2n  a   3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN  x1 2  x1  x2  3x3   (n  1) xn   , n 1, n    xn  n ( n  1)  thỏa mãn x  Câu 16: Cho dãy số n lim un Tìm với un (n  1) xn Hướng dẫn giải x2  Ta có Với n 3 : x1  x2  3x3   nxn n xn (1) x1  x2  3x3   (n  1) xn  ( n  1)3 xn  (2) 3 Từ (1) (2) ta có nxn n xn  (n  1) xn  Suy xn   xn ( (n  1)3 xn  n n ( ) .xn  n n n n 1 n n 2 2 n n ) ( ) ( ) x2 n n n 1 n 4(n  1) lim 4  xn  lim un n n ( n  1) suy = 3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 3.3 CÁC DẠNG KHÁC Câu 17: u  Cho hai dãy số n v  n un  xác định sau: u1 1, v1 2, un    ,  un  n 2 Chứng minh hai dãy  un    có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Ta có cos a b   an  n  n  , bn  anbn   u1 cos v1 suy mà n 2   u1  v1 u2  2 cos , v2  u2 v1 2 cos 2 Suy    u2  v2  u3  2 cos cos , v3  u3v2 2 cos cos 2 phương pháp quy nạp ta chứng minh     un    un  2 cos cos 32 cos 33 cos 3n  2 2  un  Mặt khác     2 cos cos 32 cos 33 cos 3n  2 2 cos   sin 2 2sin  nên ta có     sin sin sin n3  2 un 2  n  sin cot 3n     2 3 2sin 2sin 2 sin n  2     sin sin sin sin n3 2  n     2sin 2sin 32 2sin 3n  sin 3n  2 2 Do        cot n      lim un lim  n  sin cot 3n   2sin lim  n n  n  n  3            2sin 2sin n 3 3 lim    n     3 tan n          n * Câu 18: Với n   , đặt Qn  x   x  i  a) Chứng minh đa thức i 0 Qn  x   0;1 có nghiệm thực xn thuộc b) Chứng minh tồn giới hạn dãy  xn  Hướng dẫn giải a) Ta có Qn   Qn  1 Qn  22   Qn  n  0  0;1 ,  1;  , ,   n  1 nên khoảng Mặt khác, ta có det Qn  x  n nên đa thức ; n2  có nghiệm phương trình Q   x  0 Qn  x  n có nghiệm xn thuộc khoảng  0;1 1  1 Qn  x  Qn  x       x  n2   x x b) Ta có Q  x Q  x Q   x  0 Do n có nghiệm khơng nghiệm n nên nghiệm phương trình n nghiệm phương trình: 1 fn  x      0 x x x  n2 1 f n  x      0 2 x  x  1 x  n   Ta có: f  x  0;1 Nên n nghịch biến 1 f n  xn      0 2 x x  x  n n n n Lại có:  1 1     0 2 xn xn  xn  n xn   n  1 x   n  1  n  f n 1  xn    f n  xn   f n 1  xn 1   xn  xn 1 x Do dãy n dãy giảm x   0;1 x Lại có n Vậy dãy n có giới hạn GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN 4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM 4.4 CÁC DẠNG KHÁC HẾT ... TRƯNG Câu 3:  un  Cho dãy số un 1 n   u n xác định u1 1, u2 2, un 2 un  2un 1 , n 1 Tìm Hướng dẫn giải lim Dễ thấy dãy cho dãy số dương, khơng có số hạng dãy Từ công thức un 2 u... MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA  yn  thỏa mãn y1  0, yn 1  y1  y2   yn , n 1  yn    Chứng minh dãy số ... Như dãy (un ) tăng, bị chặn bới a , dãy (un ) có giới hạn hữu hạn Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim un a Câu 7: Cho hai dãy số  an   bn  xác định