Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
II PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN ( NẾU CẦN BỔ XUNG MỜI CÁC THẦY CÔ CHO Ý KIẾN ) XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP 1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Câu 1: Cho dãy số (un ) biết u1 un 3un 1, n 2 Xác định số hạng tổng quát dãy Hướng dẫn giải 1 un 3un un 3un un 3(un )(1) 2 2 1 5 Đặt v n un v1 u1 2 (1) 3vn , n 2 Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q 3 5 v1.q n 3n Nên 5 un vn 3n , n 1, 2, 2 Do Câu 2: A lim a) Tính giới hạn theo n n3 n n b) Cho dãy số (un) xác định : u1 11 un 1 10un 9n, n Tìm cơng thức tính un Hướng dẫn giải A lim a) Tính giới hạn A lim n3 n n n2 n3 n n lim Ta có: 1 lim n n2 1 1 1 n n n n A Vậy b) Ta có: u1 11 10 u2 10.11 102 100 u3 10.102 9.2 1003 1000 u 10 n n 1 Dự đoán: n Chứng minh: n 1 n n3 n n Ta có: u1 11 10 , công thức (1) với n 1 k Giả sử công thức (1) với n k ta có: uk 10 k Ta có: uk 1 10 10k k 9k 10k 1 k 1 Công thức (1) với n k n Vậy un 10 n, n N 1.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG Câu 3: un Cho dãy số un 1 n u n xác định u1 1, u2 2, un 2 un 2un 1 , n 1 Tìm Hướng dẫn giải lim Dễ thấy dãy cho dãy số dương, khơng có số hạng dãy Từ công thức un 2 u 2 n , n 1 un 1 truy hồi dãy ta có un 1 Đặt un 1 , n 1 v1 2, 1 2 , n 1 un , ta dãy số Dễ thấy dãy dãy số dương 2, n 1 Do 1 5 1 , n 1 vn vn 2 Vậy ta có 5 f x 2 , x 2; f ' x 0, x x Ta có x Xét hàm số Do có hai dãy đơn điệu dãy b lim v2 n 1 n hai dãy bị chặn nên chúng có giới hạn Giả sử ta có hệ a 2 b a b ab 1 b 2 a a b 1 a b 1 ab 1 Ta thấy có a b 1 thỏa mãn giới hạn cần tìm Câu 4: Tìm số dãy số Viết lại un un 1 4un2 4un 0, n 1 u2004 thỏa mãn điều kiện: Hướng dẫn giải un 1 4un – un f un Nhận xét: với f x 0;1 x 0;1 f x 4 x – x a lim v2 n n 0;1 u2003 0;1 u2002 0;1 u1 0;1 u Vì vậy: 2004 Với u1 tồn : a u1 sin a 2 2 2 Lúc đó: u2 4 sin a (1 – sin a ) sin 2a ; u3 4 sin 2a (1 – sin 2a ) sin 4a 1 cos(2n ) n u sin (2 a ) 2 Quy nạp ta được: n 1 1 2004 c os(2 ) u2004 2 2 cos(22004 ) 0 22004 k 2005 (2k 1), k Z 2 1 2005 (2k 1) k 22003 2 2 Vì a nên 2003 Do k Z nên: k 0;1; 2; ; –1 Từ có tất 2003 u1 sin 2005 (2k 1) , k {0;1; ;2 2003 1} 2 giá trị u1 thỏa tốn: 2003 u Do có tất dãy số n thỏa điều kiện cho Câu 5: Cho x1 , x2 , , xn , nghiệm dương phương trình tan x x theo thứ tự tăng dần Tính lim xn xn n Hướng dẫn giải x k ; k f '( x ) 0 Ta có cos x Xét hàm số f ( x ) tan x x , với => f ( x) tăng từ đến k ; k phương trình tan x x có nghiệm xk Suy ra: khoảng yk ; lim yn xk yk k với tan y tan x y n n 2 => n n n => lim xn xn n Câu 6: = lim n y n n yn n 1 = lim yn yn n u1 2014 u un2 (1 2a)un a n 1, 2, ( u ) n Cho dãy số xác định sau: n 1 Tìm điều kiện a để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải Ta có: un 1 un (un a) 0 un 1 un ; n 1, 2,3, * Suy dãy số (un ) tăng; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy bị chặn 2 Giả sử tồn lim un L ( L ) , chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un (1 2a )un a ta 2 có: L L (1 2a ) L a L a * - Nếu có số k mà uk a un a; n k nên L a trái với kết lim un L a 2 Do đó: uk a với k 1, 2, hay un (1 2a)un a a, n 1, 2,3, nói riêng u12 (1 2a)u1 a a a u1 a a 2014 a từ ta 2014 a 2015 * Đảo lại: Nếu 2014 a 2015 a u1 a (u1 a 1)(u1 a ) 0 u12 (1 2a )u1 a a 0 u2 a u1 u2 a u2 a Bằng quy nạp ta chứng minh a un a, n 1, 2,3, (H/s trình bày ra) Như dãy (un ) tăng, bị chặn bới a , dãy (un ) có giới hạn hữu hạn Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim un a Câu 7: Cho hai dãy số an bn xác định sau: a1 2, b1 1 , Chứng minh an bn an 1 2an bn an bn ; bn 1 an 1.bn , n 1, 2, có giới hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng: 2n.sin n n 1 b an n sin cos n sin 3 ; (2) 2n.sin Từ (1), (2) tồn lim an n lim bn n n 3 lim an lim n n sin cos n sin 3 Ngoài ra: 2n.sin lim bn lim an lim cos n n a , bn Vậy hai dãy n Câu 8: n 3 n 3 có giới hạn chung x1 x x xn ; n 1 n 1 n n2 Cho dãy số (xn) thỏa mãn: Chứng minh dãy số có giới hạn Hướng dẫn giải *) Ta chứng minh xn n Thật vậy: n 1 n n 1 với n (1) k k 1 Giả sử (1) với n k 1: xk k x2 xk 2 xk 1 k 1 xk k2 k 1 x k k 1 k k = k k 1 k k 1 k k k 1 1 k 1 2 k k k 1 k 1 k k 2 (đpcm) x *) Ta chứng minh n có giới hạn x NX: n tăng xn với n 1 1 1 xn xn xn 1 xn n n n 1 x1 xn n với n Ta có x Vậy n có giới hạn 1.4 PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ 1.5 DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH 1.6 SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC Câu 9: Cho dãy số Un U1 U U n ; n 1, 2,3, * n 1 U n định Tính U 2013 Hướng dẫn giải Tính tan 21 2.tan tan 1 tan tan tan U n 1 U n tan * Từ ta viết U n tan 1 U n tan n 1 1 U1 8 3 Theo quy nạp từ 6047 U 2013 tan 2013 tan 8 3 24 Vậy 1.7 CÁC DẠNG KHÁC x1 1 xn 1 xn , n 1 xn xn Câu 10: Cho dãy số thực xác định sau: 25 x625 625 x Chứng minh rằng: ( kí hiệu phần nguyên số thực x ) Hướng dẫn giải 1 n n xn n H n , n 1 H n 1 n Ta chứng minh rằng: , với xn21 xn2 2 xn , x1 1 quy nạp xn n Với n 1 giả sử đến n Tức xn n Từ suy xn21 n n nxn n xn xn2 xn2 n 1 1 n 1 x n n xn2 k 1 k k 1 xk 1 n Hn n H n nxn n H n 8 n Việc ta chứng minh H 625 Ta có BĐT H n 1 ln n thật vậy, 1 1 f x ln x 1 ln x ln x 1 x x x Xét hàm số f x 1 , x x x 1 x 1 hàm số f x giảm khoảng 0; f x 0, x , ta suy ln x 1 ln x * x 1 áp dụng 1 ln ln1 ln ln ln 625 ln 624 1 ln 625 625 625 625 x625 625 H 625 626 25 x625 625 Từ đó: MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA yn thỏa mãn y1 0, yn 1 y1 y2 yn , n 1 yn Chứng minh dãy số n có giới hạn n Câu 11: Cho dãy số Hướng dẫn giải 3 y Từ giả thiết ta có yn 1 yn yn , n 2 , dãy số n n2 dãy tăng, 3 2 yn 1 yn yn yn ( yn 1) yn 1 ( yn 1) yn21 yn2 , n 2 yn21 yn2 y22 n y2 n y22 n y n 1 lim 0 (n 1) Mà ( n 1) n 1 nên theo định lý kẹp ta có y y y lim n 1 0 lim n 1 0 lim n 0 n 1 n n 1 Câu 12: Tìm tất số c cho dãy số dãy số (un ) thỏa mãn: un (0;1) n 1 un 1 (1 un ) c hội tụ Với giá trị c tìm tính giới hạn dãy (un ) Hướng dẫn giải Ta xét trường hợp sau + Nếu c cun c un 1 4cun ; n 1 un un (1 un ) , từ giả thiết, ta có n Từ quy nạp, ta suy un (4c) u1 Do 4c nên un n Do đó, c khơng thỏa mãn 4c c a (1 b) c a , b ; , a b 0c 2 , tồn + Nếu cho b(1 a ) c Thật 4c c a ; , 2 đặt b a x ( x 0) , vây, lấy a (1 b) c a (1 a x ) c x a(1 a ) c a Chú ý b(1 a) a(1 a) c Do đó, ta cần chọn x b a x, bất đẳng thức nêu Xét dãy số (un ) xác định a nêu n 2m un b nêu n 2m 0c khơng thỏa mãn dãy (un ) thỏa mãn giả thiết không hội tụ Thành thử, un 1 un 1 un c 4(1 u ) u (1 u ) n n n + Nếu , Suy dãy (un ) tăng bị chặn Do đó, (un ) hội tụ 1 x(1 x) x lim un x li m u , n từ giả thiết ta có hay Vậy Đặt x1 x x xn ; n 1 n 1 n n2 Câu 13: Cho dãy số (xn) thỏa mãn: Chứng minh dãy số có giới hạn Hướng dẫn giải *) Ta chứng minh xn n Thật vậy: n 1 n n 1 với n (1) k k 1 Giả sử (1) với n k 1: xk k x2 xk 2 xk 1 k 1 xk k2 k 1 x k k 1 k k k k 1 k k 1 k k k 1 1 k 1 2 k k k 1 k 1 k k 2 (đpcm) x *) Ta chứng minh n có giới hạn x NX: n tăng xn với n 1 1 1 xn xn xn 1 xn n n n 1 x1 xn n với n 1 Ta có x Vậy n có giới hạn Câu 14: Cho dãy số un xác định u1 2014, un 1 un4 20132 , n * un un 4026 n Đặt , n * u 2013 k 1 Tính lim k Hướng dẫn giải un4 20132 (un 2013)(un3 2013) 2013 (un3 2013) (un 2013) (1) + Ta có un 1 2013 un un 4026 * Từ quy nạp ta chứng minh un 2013, n 1 1 1 + Từ (1) suy un 1 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 1 2013 n 1 1 1 uk 1 2013 u1 2013 uk 1 2013 uk 1 2013 k 1 uk 2013 Do + Ta chứng minh lim un Thật vậy, ta có Suy Giả sử un 1 un un2 4026un 20132 (un 2013) 0, n * un3 un 4026 un3 un 4026 un dãy tăng, ta có 2014 u1 u2 un bị chặn lim un a a 2014 Khi a a 20132 a a 4026 a 2013 2014 ( vơ lí) Suy un khơng bị chặn trên, lim un Vậy lim lim Câu 15: Cho dãy số un (1 ) 1 uk 1 2013 xác định bởi: u1 2013 * un 1 un 2, n u1 a , u 2013 a - Vì nên đặt un21 n u u u 2 n Tìm Hướng dẫn giải a>1 1 u2 u a a a a Ta có Bằng quy nạp, ta chứng minh n un 1 a a2 n , n lim - Xét n n 2i u i a 2i a i 1 i 1 1 1 n 2i 1 2n a a a 2i a a 2n 1.0 a a i 1 a a a 1 n a a 2n 2 un 1 un21 1 1 a a 2 lim 2 a a 20132 1.0 n u u u u1 u2 un a a n 2 n a 2n a 3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN x1 2 x1 x2 3x3 (n 1) xn , n 1, n xn n ( n 1) thỏa mãn x Câu 16: Cho dãy số n lim un Tìm với un (n 1) xn Hướng dẫn giải x2 Ta có Với n 3 : x1 x2 3x3 nxn n xn (1) x1 x2 3x3 (n 1) xn ( n 1)3 xn (2) 3 Từ (1) (2) ta có nxn n xn (n 1) xn Suy xn xn ( (n 1)3 xn n n ( ) .xn n n n n 1 n n 2 2 n n ) ( ) ( ) x2 n n n 1 n 4(n 1) lim 4 xn lim un n n ( n 1) suy = 3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 3.3 CÁC DẠNG KHÁC Câu 17: u Cho hai dãy số n v n un xác định sau: u1 1, v1 2, un , un n 2 Chứng minh hai dãy un có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Ta có cos a b an n n , bn anbn u1 cos v1 suy mà n 2 u1 v1 u2 2 cos , v2 u2 v1 2 cos 2 Suy u2 v2 u3 2 cos cos , v3 u3v2 2 cos cos 2 phương pháp quy nạp ta chứng minh un un 2 cos cos 32 cos 33 cos 3n 2 2 un Mặt khác 2 cos cos 32 cos 33 cos 3n 2 2 cos sin 2 2sin nên ta có sin sin sin n3 2 un 2 n sin cot 3n 2 3 2sin 2sin 2 sin n 2 sin sin sin sin n3 2 n 2sin 2sin 32 2sin 3n sin 3n 2 2 Do cot n lim un lim n sin cot 3n 2sin lim n n n n 3 2sin 2sin n 3 3 lim n 3 tan n n * Câu 18: Với n , đặt Qn x x i a) Chứng minh đa thức i 0 Qn x 0;1 có nghiệm thực xn thuộc b) Chứng minh tồn giới hạn dãy xn Hướng dẫn giải a) Ta có Qn Qn 1 Qn 22 Qn n 0 0;1 , 1; , , n 1 nên khoảng Mặt khác, ta có det Qn x n nên đa thức ; n2 có nghiệm phương trình Q x 0 Qn x n có nghiệm xn thuộc khoảng 0;1 1 1 Qn x Qn x x n2 x x b) Ta có Q x Q x Q x 0 Do n có nghiệm khơng nghiệm n nên nghiệm phương trình n nghiệm phương trình: 1 fn x 0 x x x n2 1 f n x 0 2 x x 1 x n Ta có: f x 0;1 Nên n nghịch biến 1 f n xn 0 2 x x x n n n n Lại có: 1 1 0 2 xn xn xn n xn n 1 x n 1 n f n 1 xn f n xn f n 1 xn 1 xn xn 1 x Do dãy n dãy giảm x 0;1 x Lại có n Vậy dãy n có giới hạn GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN 4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM 4.4 CÁC DẠNG KHÁC HẾT ... TRƯNG Câu 3: un Cho dãy số un 1 n u n xác định u1 1, u2 2, un 2 un 2un 1 , n 1 Tìm Hướng dẫn giải lim Dễ thấy dãy cho dãy số dương, khơng có số hạng dãy Từ công thức un 2 u... MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA yn thỏa mãn y1 0, yn 1 y1 y2 yn , n 1 yn Chứng minh dãy số ... Như dãy (un ) tăng, bị chặn bới a , dãy (un ) có giới hạn hữu hạn Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim un a Câu 7: Cho hai dãy số an bn xác định